广东省汕头市2024年高考二模数学试卷

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 抛物线 $x^{2} = - 16 y$ 的准线方程是( )

A、 $y = 8$ B、 $y = 4$ C、 $y = - 8$ D、 $y = - 4$

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2. $(3 + 2 x)^{n}$ 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为( )

A、8 B、7 C、6 D、5

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3. 设 $x \in R$ ，则“ $x < 0$ ”是“ $l n (x + 1) < 0$ ”的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若实数a，b满足0＜a＜b，且a+b=1．则下列四个数中最大的是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、a²+b² C、2ab D、a

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5. 袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341332341144221132243331112
342241244342142431233214344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为( )

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{5}{18}$

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6. 已知两个等差数列2，6，10，…，202及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为( )

A、1678 B、1666 C、1472 D、1460

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7. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球O的表面上， $P A ⊥$ 平面ABC ， $A B ⊥ B C$ ，且 $P A = 8$ ， $A C = 6$ ，则球O的表面积为( )

A、 $10 π$ B、 $25 π$ C、 $50 π$ D、 $100 π$

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8. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n x$ 在区间 $(1,3)$ 上单调递减，则实数a的最大值为( )

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{3 e}$ C、 $\frac{1}{3 e^{3}}$ D、 $\frac{1}{e^{3}}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9. 某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为 $[30,100]$ ，若等级分 $X \sim N (80,25)$ ，则( )
参考数据： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$

A、这次考试等级分的标准差为25 B、这次考试等级分超过80分的约有450人 C、这次考试等级分在 $[65,95]$ 内的人数约为997 D、 $P (70 < X \leq 75) = 0.1359$

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10. 如图，函数 $f (x) = \sqrt{3} t a n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象与坐标轴分别交于点D、E、F ，且 $△ D E F$ 的面积为 $\frac{π}{4}$ ，则( )

A、点D的纵坐标为1 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{6}, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{3} t a n x$ 的图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2} ($ 纵坐标不变 $)$ ，再将图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到

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11. 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为 $2 α$ 时，若截面与轴所成的角为 $β$ ，则截口曲线的离心率 $e = \frac{c o s β}{c o s α} .$ 例如，当 $α = β$ 时， $e = 1$ ，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥SO中，M、N分别为SD、SO的中点，AB、CD为底面的两条直径，且 $A B ⊥ C D$ 、 $A B = 4$ ， $S O = 2 .$ 现用平面 $γ$ 截该圆锥，则( )

A、若 $M N \subset γ$ ，则截口曲线为圆 B、若 $γ$ 与SO所成的角为 $60^{\circ}$ ，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分 C、若M、A、 $B \in γ$ ，则截口曲线为抛物线的一部分 D、若截口曲线是离心率为 $\sqrt{2}$ 的双曲线的一部分，则 $O \notin γ$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 写出一个满足 $(1 + i) \cdot z \in R$ ，且 $| z | > 2$ 的复数z ， $z =$ .

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13. 已知直线 $x + y = a$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于A、B两点，且 $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} - \vec{O B} |$ ，其中O为坐标原点，则实数a的值为.

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14. 已知数列 $C_{1}$ ：0，2，0，2，0，现按规则f：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”对该数列进行变换，得到一个新数列，记数列 $C_{k + 1} = f (C_{k})$ ， $k \in N^{*}$ ，则数列 $C_{n}$ 的项数为，设 $C_{n}$ 的所有项的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2 n} =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. $△ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、 $c .$

(1)、若 $s i n A s i n B + s i n B s i n C + c o s 2 B = 1$ ， $C = \frac{3 π}{4}$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、求证： $\frac{a^{2} - b^{2}}{c^{2}} = \frac{s i n (A - B)}{s i n C} .$

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16. 设M是由满足下列条件的函数 $f (x)$ 构成的集合：①方程 $f (x) - x = 0$ 有实根；② $f (x)$ 在定义域区间D上可导，且 $f' (x)$ 满足 $0 < f' (x) < 1 .$

(1)、判断 $g (x) = \frac{x}{2} - \frac{l n x}{2} + 3$ ， $x \in (1, + \infty)$ 是否是集合M中的元素，并说明理由；

(2)、设函数 $f (x)$ 为集合M中的任意一个元素，证明：对其定义域区间D中的任意 $α$ 、 $β$ ，都有 $| f (α) - f (β) | \leq | α - β | .$

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17. 2023年，我国新能源汽车产销量占全球比重超过 $60 %$ ，中国成为世界第一大汽车出口国.某汽车城统计新能源汽车从某天开始连续的营业天数x与销售总量 $y ($ 单位：辆 $)$ ，采集了一组共20对数据，并计算得到回归方程 $\overset{\hat{}}{y} = 0.67 x + 54.90$ ，且这组数据中，连续的营业天数x的方差 $s_{x}^{2} = 200$ ，销售总量y的方差 $s_{y}^{2} = 90 .$

(1)、求样本相关系数r ，并刻画y与x的相关程度；

(2)、在这组数据中，若连续的营业天数x满足 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} = 2.2 \times 10^{4}$ ，试推算销售总量y的平均数 $\bar{y} .$
附：经验回归方程 $\overset{\hat{}}{y} = \overset{\hat{}}{b} x + \overset{\hat{}}{a}$ ，其中 $\overset{\hat{}}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\overset{\hat{}}{a} = \bar{y} - \overset{\hat{}}{b} \bar{x} .$
样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$ ， $\sqrt{5} \approx 2.236 .$

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18. 如图，矩形ABCD中， $| A B | = 4$ ， $| B C | = 2 . A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 分别是矩形四条边的中点，设 $\vec{O R} = λ \vec{O A_{2}}$ ， $\vec{A_{2} T} = (1 - λ) \vec{A_{2} C} (0 < λ < 1) .$

(1)、证明：直线 $B_{1} R$ 与 $B_{2} T$ 的交点M在椭圆K： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上；

(2)、已知PQ为过椭圆K的右焦点F的弦，直线MO与椭圆K的另一交点为N ，若 $M N / / P Q$ ，试判断 $| P Q |$ 、 $| M N |$ 、 $| A_{1} A_{2} |$ 是否成等比数列，请说明理由.

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19. 日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图 $(A)$ 、 $(B)$ 所示，并配上花结.
图 $(A)$ 中，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是正方形，且 $A B = 3$ ， $A A_{1} = 1 .$

(1)、若 $A H = A E = B_{1} E_{1} = B_{1} F_{1} = C F = C G = D_{1} G_{1} = D_{1} H_{1} = 1$ ，记点H关于平面 $F_{1} F G G_{1}$ 的对称点为 $P_{1}$ ，点H关于直线 $F_{1} G_{1}$ 的对称点为 $P_{2} .$
（i）求线段 $H P_{1}$ 的长；
(ⅱ)求直线 $P_{1} P_{2}$ 与平面ABCD所成角的正弦值.

(2)、据烘焙店的店员说，图 $(A)$ 这样的捆扎不仅漂亮，而且比图 $(B)$ 的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由 $. ($ 注意，此时AH、AE、 $B_{1} E_{1}$ 、 $B_{1} F_{1}$ 、CF、CG、 $D_{1} G_{1}$ 、 $D_{1} H_{1}$ 这8条线段可能长短不一 $)$

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