广东省茂名市高州市2024年高三第一次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 < 0}$ ， $B = {x | | x | \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 4, - 2)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- 2, 2)$ D、 $[- 2, 2]$

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2. 已知 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z i - z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $x \neq 0, n \in N^{*}$ ，则“ $n = 8$ ”是“ ${(2 x^{3} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式中存在常数项”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等等，其公式为： $f (x) = k a^{b^{- x}}$ （其中 $k > 0, b > 0$ ， $a$ 为参数）．某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现 $a = e$ ．若 $x = 1$ 表示该新产品今年的年产量，估计明年 $(x = 2)$ 的产量将是今年的 $e$ 倍，那么 $b$ 的值为（ $e$ 为自然数对数的底数）（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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5. 已知 $c o s (α + π) = - 2 s i n α$ ，则 $\frac{s i n^{2} α - 3 c o s (α + \frac{π}{2}) c o s α}{c o s 2 α + 1} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{7}{8}$

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6. 已知 $T_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的乘积，且 $a_{1} = 2, T_{n}^{2} = a_{n}^{n + 1}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、16 B、32 C、64 D、128

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l : y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，直线 $A F_{1}$ 与椭圆交于另一点 $D$ ，若直线 $A D$ 与 $B D$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 曲线 $y = l n x$ 与曲线 $y = x^{2} + 2 a x$ 有公切线，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2}]$ B、 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 3 = 0$ ，则（）

A、圆 $C$ 的圆心坐标为 $(- 1, - 1)$ B、圆 $C$ 的周长为 $2 \sqrt{5} π$ C、圆 $M : {(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ 与圆 $C$ 外切 D、圆 $C$ 截 $y$ 轴所得的弦长为3

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10. 中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐代，如今逐渐演化为赏月、颂月等活动，以月之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡，思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足珍贵的文化遗产．某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A、样本的众数为75 B、样本的 $71 %$ 分位数为75 C、样本的平均值为68.5 D、该校学生中得分低于60分的约占 $20 %$

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11. 已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2) + f (x) = 0, f (2 x + 1)$ 为偶函数，则下面一定成立的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (2024) = 1$ C、 $f (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 2024$

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12. 如图，已知圆锥顶点为 $P$ ，其轴截面 $△ P A B$ 是边长为2的为等边三角形，球 $O$ 内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切）， $Q$ 是球 $O$ 与圆锥母线 $P B$ 的交点， $M$ 是底面圆弧上的动点，则（）

A、球 $O$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{27} π$ B、三棱锥 $A - Q B M$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $M A + M Q$ 的最大值为3 D、若 $M$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 中点，则平面 $P M Q$ 截球 $O$ 的截面面积为 $\frac{π}{7}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为盏．

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14. 如图， $△ A B C$ 在边长为1的小正方形组成的网格中，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ ．

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15. 已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线 $l : y = k x + 1$ 分别与 $C$ 的左、右支交于 $M, N$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $△ O M N$ 的面积为 $\sqrt{6}$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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16. 已知函数 $f (x)$ 的图象过点 $(0, 1)$ ，其导函数 $f^{'} (x) = A c o s (2 x + φ) (A > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，若函数 $f (t x) = 1 (t > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有两个零点，则实数 $t$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $b s i n (B + C) = a s i n \frac{A + C}{2}$ ．

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若 $D$ 是 $A C$ 边的中点，且 $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = S_{4} + S_{3}$ ， $2 a_{3 n} - 3 a_{2 n} = 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面．某汽车厂为把好质量关，对送来的某个汽车零部件进行检测．

(1)、若每个汽车零部件的合格率为0.9，从中任取3个零部件进行检测，求至少有1个零部件是合格的概率；

(2)、若该批零部件共有20个，其中有4个零部件不合格，现从中任取2个零部件，求不合格零部件的产品数 $X$ 的分布列及其期望值．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $B B_{1} = \sqrt{6}$ ， $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $N$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $M$ 为线段 $A C$ 上的动点．

(1)、当 $M$ 为中点时，求证： $M N ∥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、当 $C M = \frac{2}{3}$ 时，求直线 $M N$ 与平面 $B C_{1} M$ 所成角的正弦值．

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21. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $F$ 为抛物线的焦点， $P, Q$ 其为准线上的两个动点，且 $P F ⊥ Q F$ ．当 $| P F | = 2 | Q F |$ 时， $| P Q | = 5$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、若线段 $P F, Q F$ 分别交抛物线 $C$ 于点 $A, B$ ，记 $△ P Q F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B F$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = 9 S_{2}$ 时，求 $| P Q |$ 的长．

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} + a s i n x$ ， $x \in [0, + \infty)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时， $f (x) \geq b x + 1$ 在 $[0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 0, f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上存在零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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