浙江省温州市2024年高三第三次适应性考试数学试卷

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A, B, C$ 成等差数列，则 $s i n (A + C) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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2. 平面向量 $\vec{a} = (m, 2), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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3. 设 $A, B$ 为同一试验中的两个随机事件，则“ $P (A) + P (B) = 1$ ”是“事件 $A, B$ 互为对立事件”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $m \in N^{*}$ ， ${(1 + x)}^{2 m}$ 和 ${(1 + x)}^{2 m + 1}$ 的展开式中二项式系数的最大值分别为 $a$ 和 $b$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $a = b$ C、 $a > b$ D、 $a, b$ 的大小关系与 $m$ 有关

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5. 已知 $s i n (β + \frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $s i n (α - 2 β) c o s α - c o s (2 β - α) s i n α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 3, & x > 0 \\ 2^{x}, & x \leq 0 \end{array}$ ，则关于 $x$ 方程 $f (x) = a x + 2$ 的根个数不可能是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $C$ 上两点 $A, B$ 满足： $\vec{A F_{2}} = 2 \vec{F_{2} B}$ ， $c o s ∠ A F_{1} B = \frac{4}{5}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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8. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{n + 1} = \frac{S_{n}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{5} a_{2 i} - \sum_{i = 1}^{6} a_{2 i - 1}$ 可以是（）

A、18 B、12 C、9 D、6

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知空间两条异面直线 $a, b$ 所成的角等于60°，过点 $P$ 与 $a, b$ 所成的角均为 $θ$ 的直线有且只有一条，则 $θ$ 的值可以等于（）

A、30° B、45° C、75° D、90°

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10. 已知 $z_{1}, z_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的两个根，其中 $z_{1} = 1 + i$ ，则（）

A、 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ B、 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ C、 $p = - 2$ D、 $q = 2$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0), x \in [\frac{π}{2}, π]$ 的值域是 $[a, b]$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $b - a = 2, φ = \frac{π}{6}$ ，则 $ω$ 不存在最大值 B、若 $b - a = 2, φ = \frac{π}{6}$ ，则 $ω$ 的最小值是 $\frac{7}{3}$ C、若 $b - a = \sqrt{3}$ ，则 $ω$ 的最小值是 $\frac{4}{3}$ D、若 $b - a = \frac{3}{2}$ ，则 $ω$ 的最小值是 $\frac{4}{3}$

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三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.

12. 设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, 1)$ ，若 $P (ξ > a + 1) = P (ξ < a)$ ，则 $a =$ .

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13. 定义在 $(0, + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x y) = f (x) + f (y) - 1, f (4) = 2$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ .

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14. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (0 < p < 2)$ 焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，点 $M (1, 0)$ ，沿 $x$ 轴将坐标系翻折成直二面角，当三棱锥 $A - F M B$ 体积最大时， $p =$ .

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

15. 由四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去三棱锥 $D_{1} - A_{1} D C_{1}$ 后得到如图所示的几何体，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A C = 4, B D = 2, O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $B_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B_{1} O / /$ 平面 $A_{1} D C_{1}$ ；

(2)、若 $B_{1} O = 2 \sqrt{3}$ ，求平面 $A_{1} D C_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的大小.

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16. 设函数 $f (x) = x l n x - \frac{1}{6} x^{3}$ 的导函数为 $g (x)$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > \frac{3}{2}$ .
（参考数据： $l n 2 \approx 0.6931$ ）

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17. 已知直线 $l : y = k x + t$ 与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 相切于点 $Q$ .

(1)、试在集合 ${\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1}$ 中选择一个数作为 $k$ 的值，使得相应的 $t$ 的值存在，并求出相应的 $t$ 的值；

(2)、过点 $Q$ 与 $l$ 垂直的直线 $l^{'}$ 分别交 $x, y$ 轴于 $A, B$ 两点， $P$ 是线段 $A B$ 的中点，求点 $P$ 的轨迹方程.

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18. 现有 $n$ 张形状相同的卡片，上而分别写有数字 $m + 1, m + 2, ⋯, m + n (m \in N, n \in N^{*})$ ，将这 $n$ 张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.

(1)、若 $n = 8$ ，求抽到的4个数字互不相同的概率；

(2)、统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义 $E (X^{k})$ 为随机变量 $X$ 的 $k$ 阶矩，其中1阶矩就是 $X$ 的期望 $E (X)$ ，利用 $k$ 阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量 $X$ ，计算随机变量 $X$ 的1阶矩 $E (X)$ 和2阶矩 $E (X^{2})$ ；（参考公式： $1^{2} + 2^{2} + ⋯ + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）
（ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算 $n$ 的估计值 $\hat{n}$ .（ $\hat{n}$ 的计算结果通过四舍五入取整数）

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19. 对于给定的一个 $n$ 位自然数 $x = \bar{a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}}$ （其中 $a_{i} \in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ， $i = 1, 2, ⋯, n$ ），称集合 $M_{x}$ 为自然数 $x$ 的子列集合，定义如下： $M_{x} =$ { $\bar{b_{1} b_{2} ⋯ b_{m}} | \exists i_{1}, i_{2}, ⋯ i_{m} \in N^{*}$ 且 $i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{m} \leq n$ ，使得 $b_{k} = a_{i_{k}} (k = 1, 2, ⋯ m)$ }，比如：当 $x = \bar{001}$ 时， $M_{x} = {\bar{0}, \bar{1}, \bar{00}, \bar{01}, \bar{001}}$ .

(1)、当 $x = \bar{0012}$ 时，写出集合 $M_{x}$ ；

(2)、有限集合 $A$ 的元素个数称为集合 $A$ 的基数，一般用符号 $| A |$ 来表示.
（ⅰ）已知 $x = \bar{00111}, y = \bar{11100}, z = \bar{10101}$ ，试比较 $| M_{x} |, | M_{y} |, | M_{z} |$ 大小关系；
（ⅱ）记函数 $τ (x) = \bar{{a^{'}}_{1} {a^{'}}_{2} ⋯ {a^{'}}_{n}}$ （其中 $({a^{'}}_{1}, {a^{'}}_{2}, ⋯, {a^{'}}_{n})$ 为 $(a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n})$ 这 $n$ 个数的一种顺序变换），并将能使 $| M_{τ (x)} |$ 取到最小值的 $τ (x)$ 记为 $τ^{*} (x)$ .当 $x = \bar{202420242024}$ 时，求 $| M_{τ (x)} |$ 的最小值，并写出所有满足条件的 $τ^{*} (x)$ .

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