新疆维吾尔自治区2024届高三下学期第三次适应性检测数学

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 如图，集合A ， B均为U的子集， $(∁_{U} A) ∩ (∁_{U} B)$ 表示的区域为（）

A、I B、Ⅱ C、Ⅲ D、IV

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2. 下列双曲线中以 $y = \pm 2 x$ 为渐近线的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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3. 复数 $z$ 满足 $| z + 2 i | = | z |$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、-1 D、1

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4. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $2 s i n 2 α = c o s 2 α + 1$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 西安、洛阳、北京、南京和开封并称中国的五大古都.某旅游博主为领略五大古都之美，决定用两个月的时间游览完五大古都，且每个月只游览五大古都中的两个或三个（五大古都只游览一次），则恰好在同一个月游览西安和洛阳的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 设四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，侧面积为S ，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（）

A、 $S^{2} = S_{1} S_{2}$ B、 $S = S_{1} + S_{2}$ C、 $S = 2 \sqrt{S_{1} S_{2}}$ D、 $\sqrt{S} = \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}}$

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7. 已知抛物线C： $y^{2} = x$ 的焦点为F ，在抛物线C上存在四个点P ， M ， Q ， N ，若弦 $P Q$ 与弦 $M N$ 的交点恰好为F ，且 $P Q ⊥ M N$ ，则 $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| M N |} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 如图，已知 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = 1$ ， $| \vec{O C} | = \sqrt{2}$ ， $t a n ∠ A O B = - \frac{4}{3}$ ， $∠ B O C = 45 °$ ， $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B}$ ，则 $\frac{m}{n} =$ （）

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{7}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知点 $O (0, 0)$ ， $A (2, 1)$ ， $B (1, 2)$ ， $P (c o s α, s i n α) (0 \leq α < 2 π)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $α = \frac{π}{2}$ ，则 $\vec{A B} ⊥ \vec{B P}$ B、若 $\vec{A B} ∥ \vec{O P}$ ，则 $α = \frac{3 π}{4}$ C、若 $\vec{A B} \cdot \vec{O P} = - \frac{1}{5}$ ， $s i n 2 α = \frac{24}{25}$ D、 $| \vec{A P} |$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$

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10. 函数 $g (x) = s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列，向右平移 $\frac{π}{6 ω}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $y = f (x + \frac{π}{6})$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ 上单调递增 D、函数 $y = f (x) + \frac{1}{2} f^{'} (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}]$ 上的值域为 $[- 1, 1]$

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11. 已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，对任意实数x ， y满足 $f (x + y) - f (x - y) = 2 g (x) f (y)$ ， $f (2) + f (1) = 0$ 且 $f (2) \cdot f (1) \neq 0$ ，则下列结论正确的是

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (1) = - \frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 为奇函数 D、 $\sum_{n = 1}^{2024} f (n) = 2024$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式的各二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为.（用数字作答）

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13. 在 $△ A B C$ 中， $3 s i n A = 2 s i n C$ ， $c o s B = \frac{1}{3}$ .则 $s i n A =$ .

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14. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导数 $f^{'} (x)$ ，对于任意的实数 $x$ ，有 $f (x) - f (- x) + 2 x = 0$ ，当 $x \in (- \infty, 0]$ 时， $f^{'} (x) + 1 < 2 x$ .若 $f (2 + m) - f (- m) \leq 2 m + 2$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.现调查了1万个当地学生的时间利用信息，得出下图.

(1)、根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数）

(2)、从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率；

(3)、与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议.

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16. 已知底面 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ∥ D Q$ ， $P A = 3 D Q = 3$ ， $A D = 2 A B = 2$ ，且 $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $C D Q$ ；

(2)、线段 $P C$ 上是否存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与平面 $P C Q$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .若存在，求出 $\frac{P M}{P C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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17. 若一个数列从第二项起，每一项和前一项的比值组成的新数列是一个等比数列，则称这个数列是一个“二阶等比数列”，如：1，3，27，729，…….已知数列 ${a_{n}}$ 是一个二阶等比数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{3} = 64$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n + 2}{{(a_{n})}^{\frac{1}{n}} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2} = 2 a x$ 焦点的直线交抛物线于M ， N两点， $| M N |$ 的最小值为4.连接 $M O$ ， $N O$ 并延长分别交 $C_{1}$ 于A ， B两点，且点A与点M ，点B与点N均不在同一象限， $△ O M N$ 与 $△ O A B$ 的面积分别记为 $S_{△ O M N}$ ， $S_{△ O A B}$ .

(1)、求 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程；

(2)、记 $λ = \frac{S_{△ O M N}}{S_{△ O A B}}$ ，求 $λ$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{a}{2} x^{2} + a$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有三个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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