浙江省丽水、湖州、衢州三地市2024年高考4月质检数学试卷

试卷更新日期：2024-06-07 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 $A =$ “第一枚出现奇数点”，事件 $B =$ “第二枚出现偶数点”，则 $A$ 与 $B$ 的关系是（）

A、互斥 B、互为对立 C、相互独立 D、相等

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2. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则 $m =$ ( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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3. 复数 $z$ 满足 $| i z | = 1 (i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $| z - 4 + 3 i |$ 的最小值是( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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4. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} | = 2$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为( )

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{6}$ ， $3 a_{4}$ ， $- a_{5}$ 成等差数列，则 $\frac{S_{4}}{S_{2}} =$ ( )

A、 $3$ B、 $9$ C、 $10$ D、 $13$

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6. 将函数 $f (x) = c o s 2 x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若对满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$ 的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，有 $| x_{1} - x_{2} |_{m i n} = \frac{π}{6}$ ，则 $φ =$ ( )

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0), F_{1}, F_{2}$ 为左、右焦点， $P$ 为椭圆上一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，直线 $l$ ： $y = - x + t$ 经过点 $P .$ 若点 $F_{2}$ 关于 $l$ 的对称点在线段 $F_{1} P$ 的延长线上，则 $C$ 的离心率是( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 满足 $x_{1}^{2} + 2 x_{1} + 1 = x_{1} 2^{x_{1}}$ ， $x_{2}^{2} + 3 x_{2} + 1 = x_{2} 3^{x_{2}}$ ， $x_{3}^{2} + 4 x_{3} + 1 = x_{3} 4^{x_{3}}$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是( )

A、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ B、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ 的平均数是 $\bar{x}$ ，方差是 $s^{2}$ ，极差为 $R$ ，则下列判断正确的是( )

A、若 $a x_{1} + b$ ， $a x_{2} + b$ ， $a x_{3} + b$ ， $a x_{4} + b$ ， $a x_{5} + b$ ， $a x_{6} + b$ 的平均数是 $\bar{x_{0}}$ ，则 $\bar{x_{0}} = a \bar{x} + b$ B、若 $x_{1}$ ， $2 x_{2}$ ， $3 x_{3}$ ， $4 x_{4}$ ， $5 x_{5}$ ， $6 x_{6}$ 的极差是 $R_{1}$ ，则 $R_{1} > R$ C、若方差 $s^{2} = 0$ ，则 $x_{1} = x_{2} = x_{3} = x_{4} = x_{5} = x_{6}$ D、若 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6}$ ，则第 $75$ 百分位数是 $\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$

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10. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ 且 $A B = B C = 2$ ，直线 $A_{1} C$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则( )

A、线段 $A_{1} C$ 上存在点 $D$ ，使得 $A_{1} B ⊥ A D$ B、线段 $A_{1} C$ 上存在点 $D$ ，使得平面 $D B B_{1} ⊥$ 平面 $D C C_{1}$ C、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ D、点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) \cdot f (x - y) = f^{2} (x) - f^{2} (y)$ ， $f (1) = 2$ ， $f (x + 1)$ 为偶函数，则( )

A、 $f (3) = 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (2) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 0$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $B = \frac{π}{4}$ ， $c = \sqrt{2}$ ， BC边上的高等于 $\frac{1}{3} a$ ，则 $△ A B C$ 的面积是， $s i n A =$ .

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13. 已知圆 $C$ ： $m x^{2} + (2 m - 1) y^{2} - 2 a x - a - 2 = 0$ ，若对于任意的 $a \in R$ ，存在一条直线被圆 $C$ 所截得的弦长为定值 $n$ ，则 $m + n =$ ．

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14. 已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为 $1$ ，若棱长为 $a$ 的正方体能整体放入正四面体 $A - B C D$ 中，则实数 $a$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，记 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{5} = a_{3} + 20$ ， $S_{15} = a_{2} a_{3} a_{8}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $d > 0, b_{n} = \frac{4 S_{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < n + \frac{1}{2}$ .

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16. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥ C D$ ， $A D = C D$ ， $∠ A D B = ∠ B D C$ ， $E$ 为线段 $A C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、设 $A B = B D = 3, \vec{B F} = 2 \vec{F D}, \vec{E F} \cdot \vec{B D} = 0$ ，求直线 $C F$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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17. 设函数 $f (x) = e^{x} - l n (x + a)$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq a$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 4 x$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在抛物线 $E$ 上，且 $A$ 在 $x$ 轴上方， $B$ 和 $C$ 在 $x$ 轴下方 $(B$ 在 $C$ 左侧 $)$ ， $A$ ， $C$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，延长线段 $C B$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $Q A$ ．

(1)、证明： $\frac{| O M |}{| O Q |}$ 为定值 $(O$ 为坐标原点 $)$ ；

(2)、若点 $Q$ 的横坐标为 $- 1$ ，且 $\vec{M B} \cdot \vec{M C} = \frac{8}{9}$ ，求 $△ A Q B$ 的内切圆的方程．

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19. 为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别 $.$ 若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率 $($ 即检出概率 $)$ 为 $p_{1}$ ；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率 $($ 即虚警概率 $)$ 为 $p_{2} .$ 已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为 $0.2 .$ 现用 $2$ 台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器 $($ 功能一致 $)$ 进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动．

(1)、若 $p_{1} = 0.8$ ， $p_{2} = 0.02$ ．
（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；
（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率 $($ 精确到 $0.001)$ ；

(2)、若监测系统在监测识别中，当 $0.8 \leq p_{1} \leq 0.9$ 时，恒满足以下两个条件： $①$ 若判定有珍稀动物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为 $0.9$ ； $②$ 若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为 $0.9 .$ 求 $p_{2}$ 的范围 $($ 精确到 $0.001)$ ．
$($ 参考数据： $\frac{\sqrt{35.04}}{6} = 0.9866, \frac{\sqrt{35.01}}{6} = 0.9861, {0.98}^{2} = 0.9604)$

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