湖北省潜江市、天门市、仙桃市2024年中考数学模拟考试试卷

试卷更新日期：2024-06-06 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）

1. $- 2024$ 的绝对值是（）

A、2024 B、 $- 2024$ C、 $\frac{1}{2024}$ D、 $- \frac{1}{2024}$

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2. 右图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（）

A、正方体 B、长方体 C、六棱柱 D、六棱锥

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3. 三峡电站总装机容量约22500000千瓦，是世界上装机容量最大的水电站.数22500000用科学记数法表示为（）

A、 $0.225 \times 1 0^{8}$ B、 $2.25 \times 1 0^{7}$ C、 $2.25 \times 1 0^{8}$ D、 $22.5 \times 1 0^{7}$

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4. 如图，直线 $a ∥ b$ ， $△ A B C$ 的顶点 $C$ 在直线 $b$ 上，直线 $a$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $∠ 1 = 150 °$ ， $∠ A B C = 48 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、18° B、20° C、28° D、30°

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5. 某校举行“交通安全”知识竞赛，甲、乙两班的参加人数均为40人，平均分均为91分（满分100分），甲班中位数87，乙班中位数91，甲班方差4.9，乙班方差3.2，规定成绩大于或等于90分为优异.下列说法正确的是（）

A、甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B、甲班的优异成绩与乙班一样多 C、乙班的成绩比甲班的成绩稳定 D、小亮得90分将排在乙班的前20名

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6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 k x + k^{2} + k = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $- 1$ 或 $- 2$ B、 $- 1$ 或2 C、2 D、 $- 1$

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7. 阅读以下作图步骤：
①在 $O A$ 和 $O B$ 上分别截取 $O C ， O D$ ，使 $O C = O D$ ；②分别以 $C ， D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内交于点 $M$ ；③作射线 $O M$ ，连接 $C M ， D M$ ，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $C M = D M$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ 且 $C M = D M$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $O D = D M$ D、 $∠ 2 = ∠ 3$ 且 $O D = D M$

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8. 如图，将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，则小水杯水面的高度 $h$ （cm）与注水时间 $t$ （min）的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，扇形的圆心角为120°，点 $C$ 在圆弧上， $∠ A B C = 30 °$ ， $O A = 2$ ，阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2 π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0$ ）经过点 $(- 1, - 1)$ ， $(0, 1)$ ，当 $x = - 2$ 时，与其对应的函数值 $y > 1$ .有下列结论：① $a b c > 0$ ；②关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c - 3 = 0$ 有两个不等的实数根；③ $a + b + c > 7$ .其中，正确结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分）

11. 化简 $3 y {(- 2 x y)}^{2}$ 的结果是.

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12. 不等式组 ${\begin{cases} \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 \\ 7 x - 3 < 2 (x + 1) \end{cases}$ 的解集是.

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13. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在 $⊙ O$ 上， $∠ B = 65 °$ ， $∠ C = 32 °$ ， $∠ B O C = 100 °$ ，则 $∠ O A D =$ 度.

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14. 一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球后（不放回），再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号都是偶数的概率为.

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15. 如图，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $D$ 是 $A B$ 上的一个动点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $C D$ ，将 $C D$ 绕点 $C$ 顺时针旋转90°得到 $C E$ ，连接 $D E$ ， $D E$ 与 $A C$ 相交于点 $F$ ，连接 $A E$ .下列结论：① $△ A C E ≌ △ B C D$ ；②若 $∠ B C D = 25 °$ ，则 $∠ A E D = 65 °$ ；③ $D E^{2} = 2 C F \cdot C A$ ；④若 $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $A D = 2 B D$ ，则 $A F = \frac{5}{3}$ .其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题（本大题共9个题，满分75分）

16. 计算： $| 2 - \sqrt{2} | + 3^{- 1} - \sqrt{\frac{1}{9}} + {(3 - \sqrt{3})}^{0}$ ；

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17. 如图，B是 $A D$ 的中点， $B C ∥ D E$ ， $B C = D E$ .求证： $∠ C = ∠ E$ ．

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18. 某校兴趣小组通过调查，形成了如表调查报告（不完整）.

调查目的	1.了解本校初中生最喜爱的球类运动项目. 2.给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议.
调查方式	随机抽样调查	调查对象	部分初中生
调查内容	调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A.篮球 B.乒乓球 C.足球 D.排球 E.羽毛球
调查结果
建议	……

结合调查信息，回答下列问题：

(1)、本次调查共抽查了多少名学生？

(2)、估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数；

(3)、假如你是小组成员，请向该校提一条合理建议.

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19. 某数学小组要测量学校路灯 $P 一 M 一 N$ 的顶部到地面的距离 $P E$ ，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从 $A$ 处测得路灯顶部 $P$ 的仰角 $α$
$α = 58 °$
从 $D$ 处测得路灯顶部 $P$ 的仰角 $β$
$β = 31 °$
测角仪到地面的距离
$A B = D C = 1.6$ m
两次测量时测角仪之间的水平距离
$B C = 2$ m
计算路灯顶部到地面的距离 $P E$ 约为多少米？（结果精确到0.1米.参考数据： $c o s 31 ° \approx 0.86$ ， $t a n 31 ° \approx 0.60$ ， $c o s 58 ° \approx 0.53$ ， $t a n 58 ° \approx 1.60$ ）

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20. 在直角坐标系中，已知 $k_{1} k_{2} \neq 0$ ，设函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ 与函数 $y_{2} = k_{2} (x - 2) + 5$ 的图象交于点 $A$ 和点 $B$ .已知点 $A$ 的横坐标是2，点 $B$ 的纵坐标是 $- 4$ .

(1)、求函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ 与函数 $y_{2} = k_{2} (x - 2) + 5$ 的表达式；

(2)、过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，在第二象限交于点 $C$ ；过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线，在第四象限交于点 $D$ .
求证：直线 $C D$ 经过原点.

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21. 如图，等腰 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ，点 $E$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 上的点（不与点 $A$ ， $C$ 重合），连接 $B E$ 并延长至点 $G$ ，连接 $A E$ 并延长至点 $F$ ， $B E$ 与 $A C$ 交于点 $D$ .

(1)、求证： $∠ G E F = ∠ C E F$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $B C = 6$ ，点 $D$ 是 $A C$ 的中点，求 $B D$ 的长.

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22. 如图1，公园草坪的地面 $O$ 处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图.开始喷水后，若喷水口在 $O$ 处，水线落地点为 $A$ ， $O A = 4$ m；若喷水口上升1.5m到 $P$ 处，水线落地点为 $B$ ， $O B = 6$ m.

(1)、求水线最高点与点 $B$ 之间的水平距离；

(2)、当喷水口在 $P$ 处时，
①求水线的最大高度；
②身高1.5m的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与 $O$ 的水平距离应满足什么条件？请说明理由.

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23. 综合与实践：

(1)、【思考尝试】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点 $F$ ， $G D ⊥ D F$ ， $A G ⊥ D G$ ， $A G = C F$ ，求证：四边形 $A B C D$ 为正方形；

(2)、【实践探究】小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点 $F$ ， $A H ⊥ C E$ 于点 $H$ ， $G D ⊥ D F$ 交 $A H$ 于点 $G$ ，请探究线段 $F H$ ， $A H$ ， $C F$ 之间的数量关系并说明理由；

(3)、【拓展迁移】小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A B$ 上一点， $A H ⊥ C E$ 于点 $H$ ，点 $M$ 在 $C H$ 上，且 $A H = H M$ ，连接 $A M$ ， $B H$ ，请探究线段 $B H$ 与 $C M$ 的数量关系并说明理由.

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24. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，且自变量 $x$ 的部分取值与对应函数值 $y$ 如下表：
$x$
…
$- 1$
0
1
2
3
4
…
$y$
…
0
$- 3$
$- 4$
$- 3$
0
5
…

(1)、求二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的表达式；

(2)、若将线段 $A B$ 向下平移，得到的线段与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象交于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ 在 $Q$ 左边）， $R$ 为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象上的一点，当点 $Q$ 的横坐标为 $m$ ，点 $R$ 的横坐标为 $m + \sqrt{2}$ 时，求 $t a n ∠ R P Q$ 的值；

(3)、若将线段 $A B$ 先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数 $y = \frac{1}{t} (a x^{2} + b x + c)$ 的图象只有一个公共点，其中 $t$ 为常数，请直接写出 $t$ 的取值范围.

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测量项目	测量数据
从 $A$ 处测得路灯顶部 $P$ 的仰角 $α$	$α = 58 °$
从 $D$ 处测得路灯顶部 $P$ 的仰角 $β$	$β = 31 °$
测角仪到地面的距离	$A B = D C = 1.6$ m
两次测量时测角仪之间的水平距离	$B C = 2$ m

$x$	…	$- 1$	0	1	2	3	4	…
$y$	…	0	$- 3$	$- 4$	$- 3$	0	5	…