浙江省台州市路桥区2024年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2024-06-05 类型：中考模拟

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的边数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} \cdot x^{5} = x^{10}$ B、 $x^{8} \div x^{2} = x^{6}$ C、 ${(a^{4})}^{4} = a^{8}$ D、 ${(x y^{2})}^{2} = x y^{4}$

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4. 在数轴上表示不等式 $3 x < x + 2$ 的解集，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将含 $45 °$ 角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若 $m ∥ n$ ， $∠ 1 = 30 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $90 °$

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6. 甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时比乙多做 $6$ 个零件，甲做 $90$ 个零件所用时间与乙做 $60$ 个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个？如果设乙每小时做 $x$ 个零件，那么列方程正确的是（）

A、 $\frac{90}{x} = \frac{60}{x + 6}$ B、 $\frac{90}{x + 6} = \frac{60}{x}$ C、 $\frac{90}{x - 6} = \frac{60}{x}$ D、 $\frac{90}{x} = \frac{60}{x - 6}$

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7. 已知一组数据： $a, b, c, d, a$ ，把这组数据中的每个数据都加上 $1$ 后得到一组新数据，新数据与原数据相比，统计量不会发生变化的是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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8. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (b - 3) x - b = 0$ ，该方程的根的情况为（）

A、无实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、与b的取值有关

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9. 如图， $A B$ 是半圆O的直径，C ， D是 $A B$ 的三等分点，点P在 $\overset{⌢}{A C}$ 上，点Q在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，若 $∠ A P Q = 121 °$ ，则点Q在（）

A、 $A P$ 上 B、 $P C$ 上 C、 $C D$ 上 D、 $D B$ 上

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10. 已知二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} + m x + n, y_{2} = 2 n x^{2} + m x + 1$ （ $m ， n$ 为常数， $n \neq 0$ ）的最小值分别为 $p ， q$ ，（）

A、若 $p + q = 0$ ，则 $p = q = 0$ B、若 $p - q = 0$ ，则 $p = q = 0$ C、若 $p + q = 1$ ，则 $p = q = 0.5$ D、若 $p - q = 1$ ，则 $p = 1 ， q = 0$

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 要使二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则x的值可以是（写出一个即可）

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12. 因式分解： $a^{2} - 1$ =.

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13. 一个不透明的盒子里装有6个红球，3个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从盒子里随机摸出一个小球是红球的概率是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $s i n A = \frac{4}{5}$ ，则 $c o s C$ 的值为

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15. 当 $x > 1$ 时，直线 $y = m x$ （m为常数， $m \neq 0$ ）在直线 $y = x + 1$ 的上方，则m的取值范围为．

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16. 如图，将平行四边形 $A B C D$ 绕点A逆时针旋转得到平行四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，其中点 $B^{'} A$ 恰好在 $B C$ 上， $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 与 $A D$ 交于点E ，若 $A B = 3$ ， $B C = 5$ ， $B B^{'} = 2$ ，则

(1)、 $A E$ 的长为；

(2)、 $\frac{S_{△ A B^{'} E}}{{S_{四边形}}_{A E C^{'} D^{'}}}$ 的值为．

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三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）

17. 以下是亮亮解方程 $\frac{3 x - 1}{2} - 1 = x$ 的解答过程．
解：去分母，得 $3 x - 1 - 1 = 2 x$ ．
移项，得 $3 x - 2 x = 1 + 1$ ．
合并同类项，得 $x = 2$ ．
亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

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18. 图 $1$ 、图 $2$ 均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $1$ ，小正方形的顶点称为格点，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．

(1)、如图 $1$ ，在 $A B$ 上找一点 $E$ ，连接 $D E$ ，使 $∠ A D E = ∠ C$ ；

(2)、如图 $2$ ，在 $A B$ 上找一点 $F$ ，连接 $D F$ ，使 $∠ A F D = ∠ C$ ．（此小题保留作图痕迹）

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19. 为了增强学生的防溺水意识，某校组织了防溺水知识测试，并随机抽查了240名学生的测试成绩，根据测试成绩绘制成频数分布表和如图所示的未完整的频数分布直方图．
防溺水知识测试成绩频数分布表防溺水知识测试成绩频数分布直方图
组别
分数（分）
频数
A
$60 \leq x < 70$
30
B
$70 \leq x < 80$
90
C
$80 \leq x < 90$
a
D
$90 \leq x < 100$
60

(1)、求a的值，并把防溺水知识测试成绩频数分布直方图补充完整；

(2)、已知该校共有1200名学生参加了防溺水知识测试，测试成绩不低于90分的为优秀，请你估计该校防溺水知识测试成绩优秀的学生人数．

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20. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点，连接 $A E$ 并延长，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $B C = C F$ ；

(2)、连接 $A C$ ，若 $A B = 2 ， A E ⊥ A B$ ，求 $A C$ 的长．

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21. 一次函数 $y ₁ = k x + b$ （k ， b为常数，k≠0）的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{6}{x}$ 的图象交于点 $A (2, m)$ 与点 $B (n, - 2)$ ．

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、点 $C$ 在一次函数 $y ₁ = k x + b$ 的图象上，将点 $C$ 向右平移6个单位长度得到点 $D$ ，若点 $D$ 恰好落在反比例函数 $y_{2} = \frac{6}{x}$ 的图象上，求点 $C$ 的坐标．

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22. 如图，D为 $⊙ O$ 上一点，点A在直径 $B E$ 的延长线上，过点B作 $B C ⊥ A B$ 交 $A D$ 的延长线于点C ，且 $B C = C D$ ．

(1)、求证：直线 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = \sqrt{5}$ ， $A E = 1$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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23. 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌 $M N$ 的距离 $M P = a$ ．现以点M为原点， $M N$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（ $d m$ ）表示球与点M之间的水平距离，y（ $d m$ ）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为 $y = - \frac{1}{50} {(x - 10)}^{2} + b$ ；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球， $P B$ 段抛物线可以看作是由 $P A$ 段抛物线向左平移得到．

(1)、当 $a = 4$ 时，
①求b的值；
②求点A ， B之间的距离；

(2)、已知 $B C$ 段抛物线的最大高度为 $\frac{b}{2}$ ，且它的形状与 $P A$ 段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．

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24. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E在 $B C$ 上（不与点B ， C重合），点F在边 $C D$ 上， $B E = C F$ ，连接 $A E ， B F$ 交于点M ．

(1)、求证： $A E ⊥ B F$ ；

(2)、如图2，连接 $B D$ 与 $A E$ 交于点G ，连接 $C G$ 交 $B F$ 于点H ．
①求证： $∠ H B C = ∠ H C B$ ；
②当 $C H = 2 G H$ 时，求 $\frac{G M}{G E}$ 的值；

(3)、如图3，若E是 $B C$ 的中点，以点B为圆心， $B M$ 为半径作 $⊙ B$ ， P是 $⊙ B$ 上的一个动点，连接 $D P$ 交 $A E$ 于点N ，则 $\frac{D P}{D N}$ 的最大值为．

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组别	分数（分）	频数
A	$60 \leq x < 70$	30
B	$70 \leq x < 80$	90
C	$80 \leq x < 90$	a
D	$90 \leq x < 100$	60