广东省深圳福田区2024年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2024-06-05 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1. 计算 $(- 2024) \times (- 1)$ 的结果为（）

A、2024 B、﹣2024 C、 $\frac{1}{2024}$ D、 $- \frac{1}{2024}$

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2. 截至2023年12月底，全国累计发电装机容量约2920000000千瓦，这个容量用科学记数法可表示为（）

A、 $0.292 \times 1 0^{9}$ 千瓦 B、 $2.92 \times 1 0^{9}$ 千瓦 C、 $0.292 \times 1 0^{10}$ 千瓦 D、 $2.92 \times 1 0^{10}$ 千瓦

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3. 计算 ${(a b)}^{2}$ 正确的是（）

A、 $a^{2} b$ B、 $a b^{2}$ C、 $a^{2} b^{2}$ D、 $a^{3} b^{3}$

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4. 车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下：
生产个数（个）
6
7
8
9
10
11
13
15
16
工人人数（人）
1
2
4
1
2
1
1
2
1
为提高工作效率和工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖，奖励大多数”的措施，决定用这一天的众数来作为生产定额，则定额数量为（）

A、7个 B、8个 C、9个 D、10个

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5. 如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知 $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B A C = α$ ， $B C = h$ ，则AB的长为（）

A、 $\frac{h}{s i n α}$ B、 $\frac{h}{c o s α}$ C、 $h s i n α$ D、 $h c o s α$

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6. 如图，在已知 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：①分别以A ， C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ， N；②作直线MN交AC于点E ，交BC于点F ，连接AF ．若 $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，则 $∠ F A B$ 的大小为（）

A、70° B、80° C、90° D、100°

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7. 如图，点A ， B ， C在半径为3的⊙O上， $∠ A C B = 30 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为（）

A、3 B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、 $\frac{3 π}{2}$

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8. 如图1，是简易伽利略温度计的结构示意图，图2反映了其工作原理，在 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ 三个时刻，观察到液面分别处于管壁的A ， B ， C三处．测得 $A B = B C = 3 c m$ ，且已知 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 两个时刻的温差是2℃，则 $t_{1}$ 时刻的温度比 $t_{3}$ 时刻的温度（）

A、高6℃ B、低6℃ C、高4℃ D、低4℃

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9. 如图，若设从2019年到2021年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为x ，根据这个统计图可知，x应满足（）

A、 $x = \frac{14.5 % + 54.5 % + 452.3 %}{3}$ B、 $14.5 % {(1 + x)}^{2} = 452.3 %$ C、 $1.98 {(1 + x)}^{2} = 16.9$ D、 $1.73 {(1 + x)}^{2} = 3.06$

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，一束光线从AB上的点P出发，以垂直于AB的方向射出，经镜面AC ， BC反射后，需照射到AB上的“探测区”MN上，已知 $M N = 2$ ， $N B = 1$ ，则AP的长需满足（）

A、 $\frac{14}{5} \leq A P \leq \frac{24}{5}$ B、 $\frac{18}{5} \leq A P \leq \frac{24}{5}$ C、 $\frac{19}{5} \leq A P \leq \frac{29}{5}$ D、 $\frac{24}{5} \leq A P \leq \frac{32}{5}$

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 因式分解： $m^{3} - 9 m =$ ．

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12. 甲、乙两位选手各10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是 $s_{甲}^{2} = 0.8$ ， $s_{乙}^{2} = 0.4$ ，则选手成绩更稳定。（填“甲”或“乙”）

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13. 如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”。把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则 $x + y - 3 =$ ．

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14. 如图，在平行四边形OABC中，点C在y轴正半轴上，点D是BC的中点，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过A ， D两点，且 $△ A C D$ 的面积为2，则 $k =$ ．

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15. 如图，正方形ABCD的边长为4，F为对角线AC上一动点，延长BF ， AD交于点E ，若 $B F \cdot B E = 24$ ，则 $C F =$ ．

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三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）

16. 计算： ${(- 2024)}^{0} - \sqrt{8} + {(- \frac{1}{3})}^{- 1} + 4 c o s 45 °$ ．

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17. 先化简，再求值： $(\frac{2}{x - 2} + 1) \div \frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x = 4$ ．

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18. “龙腾冰雪，逐梦亚冬”，壮观的冰雪大世界吸引了众多的“南方小土豆”，寒假初期，班长委托甲、乙、丙、丁、戊5位同学组团先到哈尔滨了解景点情况．第一天，5位同学中的甲、乙、丙3位被指派分别前往冰雪大世界、东北虎林园、中央步行街三个景点（分别用A ， B ， C表示）考查，其余2位须在上述3个景点中任选一个考查，且每人每天刚好只够考查一个景点．

(1)、关于“第一天”的以下事件：

①甲考查A景点；

②乙考查A景点；

③丁考查A景点；

④丁、戊两人都考查A景点．

其中，是随机事件的是（填序号），

(2)、结合本题条件，仿第（1）问写两条事件，要求它们是随机的等可能事件。

事件①： ▲ ；事件②： ▲ ．

(3)、小明对如下问题：“求5位同学在这一天中，恰好有两位同学在冰雪大世界考查的概率是多少？”他是这样解的：

解：5名同学与景点的匹配关系，可能形成如下几种人员分布状态：

景区人员数	冰雪大世界（A）	东北虎林园（B）	中央步行街（C）
第一种	1人	3人	1人
第二种	1人	1人	3人
第三种	1人	2人	2人
第四种	2人	1人	2人
第五种	2人	2人	1人
第六种	3人	1人	1人

总共有6种等可能的分布状态，其中A景区恰好有两人的占两种，

所以，P（恰好有两位同学在冰雪大世界考查） $= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ．

请对以上解法给出评价，并给出你的解法．（要求列表或用树状图，景区用字母表示）

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19. 坐拥1200余座公园的深圳被誉为“千园之城”，当前，这些公园正在举办一系列“公园十市集”消费体验活动。笑笑在“五一”假期租了一个公园摊位，销售“文创雪糕”与“K牌甜筒”，其中一个“文创雪糕”的进货价比一个“K牌甜筒”的进货价多1元，用800元购进“K牌甜筒”的数量与用1200元购进“文创雪糕”的数量相同．

(1)、求：每个“文创雪糕”、“K牌甜筒”的进价各为多少元？

(2)、“K牌甜筒”每个售价5元．根据销售经验，笑笑发现“文创雪糕”的销量y（个）与售价x（元/个）之间满足一次函数关系： $y = - 20 x + 200$ ，且售价不高于10元．若“文创雪糕”与“K牌甜筒”共计每天最多能进货200个，且所有进货均能全部售出．
问：“文创雪糕”销售单价为多少元时，每天的总利润W（元）最大，此时笑笑该如何进货？

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20. 如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接AD ， CD ，过点C作 $C E ∥ A D$ 交AB于点E ，连接DE ， DB ．

(1)、证明： $D C = D E$ ．

(2)、如图2，过点D作⊙O的切线交EC的延长线于点F ，若 $A D = \sqrt{2}$ ，且 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ ，求EF的长．

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21. 背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用．
材料一：基本介绍
如图1，是双目视觉测距的平面图。两个相机的投影中心 $O_{l}$ ， $O_{r}$ 的连线叫做基线，距离为t ，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f ，两投影面的长均为l（t ， f ， 1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心 $O_{l}$ ， $O_{r}$ 分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点 $P_{l}$ ， $P_{r}$ 表示． $d_{1}$ ， $d_{2}$ 分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
材料二：重要定义
①视差——点P在左、右相机的视差定义为 $d = | d_{1} - d_{2} |$ ．
②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）．
③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区．
材料三：公式推导片段
以下是小明学习笔记的一部分：
如图3，显然， $△ O_{l} P_{l} E ∽ △ P O_{l} H$ ， $△ O_{r} P_{r} F ∽ △ P O_{r} H$ ，可得 $\frac{f}{z} = \frac{E P_{l}}{Q_{l} H} = \frac{F P_{r}}{O_{r} H}$ ，
所以， $\frac{f}{z} = \frac{E P_{l} + F P_{r}}{O_{l} H + O_{r} H}$ （依据）…
任务：

(1)、请在图2中（A ， B ， C ， D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．

(2)、填空：材料三中的依据是指；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为．

(3)、如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时， $d_{1} = 0.05 m m$ ，当M刚好经过点 $O_{r}$ 的正上方时，视差 $d = 0.02 m m$ ，在整个成像过程中，d呈现出大﹣小﹣大的变化规律，当d恰好减小到上述 $d_{1}$ 的 $\frac{1}{3}$ 时，开始变大．
①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 ▲ （友情提示：注意横、纵轴上的单位： $1 m = 1000 m m$ ）；
②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．

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22.

(1)、【初步探究】
如图，四边形ABCD是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（____）

A、 $P A + P D = P B + P C$ B、 $P A + P C = P B + P D$ C、 $P A^{2} + P D^{2} = P B^{2} + P C^{2}$ D、 $P A^{2} + P C^{2} = P B^{2} + P D^{2}$

(2)、【深入探究】
如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上一动点，连接PA ， PC ， PD ，设 $P A = x$ ， $P C = y$ ．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论）
①求 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值；
②直接写出 $| x - y |$ 的最大值，并直接写出此时PD的长．

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生产个数（个）	6	7	8	9	10	11	13	15	16
工人人数（人）	1	2	4	1	2	1	1	2	1