浙江省金华市婺城区2024年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2024-06-05 类型：中考模拟

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列各数中，最小的数是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、0 C、 $- 3$ D、2

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2. 2024年春运期间，金华轻轨交通日均客运量约108200人次．将数108200用科学记数法表示为（）

A、 $108.2 \times 1 0^{3}$ B、 $10.82 \times 1 0^{4}$ C、 $1.082 \times 1 0^{4}$ D、 $1.082 \times 1 0^{5}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{4}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ D、 $(a b)^{2} = a^{2} b^{2}$

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4. 在下面的四个几何体中，三视图相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点M ， N是 $A B$ 的三等分点，分别以 $A M$ ， $A N$ 为边作正方形．正方形 $A B C D$ 被分为如图所示的三个区域．小明同学在正方形 $A B C D$ 内进行撒豆子试验，以下说法正确的是（）

A、豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B、豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C、豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D、豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同

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6. 已知 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{| a | + 1}{x}$ （a为常数， $x > 0$ ）图像上的两点，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $0 < y_{2} < y_{1}$ B、 $0 < y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < 0$ D、 $y_{1} < y_{2} < 0$

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7. 为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，点A表示另一处观测台，若 $A M ⊥ B M$ ，那么起火点M在观测台A的（）

A、南偏东 $44 °$ B、南偏西 $44 °$ C、北偏东 $46 °$ D、北偏西 $46 °$

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8. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线交点为O ， E是 $A D$ 的中点，作 $E F ⊥ B D$ 于点F ， $E G ⊥ A C$ 于点G ，连接 $F G$ ．若 $A C = 10 ， B D = 24$ ，则 $F G$ 的长为（）

A、12 B、10 C、 $6.5$ D、5

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9. 根据各图中保留的作图痕迹，能判断射线 $A D$ 平分 $∠ B A C$ 的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，当 $y \geq t$ 时， $x \leq - m - 2$ 或 $x \geq - m + 4$ ．若 $A (- m - 3, p)$ ， $B (2 m, q)$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上的两点，且 $p > q$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $- 1 < m < \frac{5}{3}$ B、 $m < - 1$ 或 $m > \frac{5}{3}$ C、 $- \frac{5}{3} < m < 1$ D、 $m < - \frac{5}{3}$ 或 $m > 1$

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二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11. 使分式 $\frac{x}{x - 2}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是．

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12. 因式分解： $a^{2} + 2 a =$ ．

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13. 为了解游客在A ， B ， C三个城市旅游的满意度，拟定了三种收集数据的方案：①在多家旅游公司调查1000名导游；②在A城市调查1000名游客；③在三个城市各调查1000名游客．其中最合理的方案是．

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14. 把直尺、圆片和两个同样大小的含 $30 °$ 角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点 $B$ ， $C$ ．若 $A B = 4$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长为．

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15. 我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式 $S = π r^{2}$ ，可得 $π = \frac{S}{r^{2}}$ ，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得 $π$ 的估计值为（结果保留根号）．

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16. 如图，在 $▱$ $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 7$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别是 $A D$ 、 $B C$ 上的动点， $A M = C N$ ，连结 $M N$ ，作 $C D$ 关于 $M N$ 的对称线段 $C^{^{'}} D^{^{'}}$ ，当 $C^{^{'}} D^{^{'}}$ 与 $▱$ $A B C D$ 的某边平行时， $A M =$ ．

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三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）

17. 下面是小明同学解不等式 $\frac{x - 1}{3} \geq \frac{x}{2}$ 的过程：
去分母，得 $3 (x - 1) \geq 2 x$ …第一步
去括号，得 $3 x - 3 \geq 2 x$ …第二步
移项、合并同类项，得 $x ≥ 3$ …第三步
小明的解答过程从第 ▲ 步开始出现错误，请写出你认为正确的解答过程．

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18. 设关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ ，已知① $b = 2$ ， $c = 1$ ；② $b = - 2$ ， $c = - 3$ ；③ $b = 1$ ， $c = 2$ ．请在上述三组条件中选择其中一组 $b$ ， $c$ 的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程．

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19. 对于有理数 $a$ ， $b$ ，定义新运算“ $△$ ”，规则如下： $a △ b = a b - a - b + 4$ ，如 $3 △ 5 = 3 \times 5 - 3 - 5 + 4 = 11$ ．

(1)、求 $3 △ (- 4)$ 的值．

(2)、请你判断交换律在“ $△$ ”运算中是否成立？并给出证明．

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20. 网约车给人们的出行带来了便利．数学兴趣小组的同学对A公司和B公司两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各10名司机月收入情况（单位：千元）：
A公司司机：4，5，9，10，4，5，5，5，4，9
B公司司机：4，5，7，8，6，7，6，5，6，6
整理数据：画出统计表和统计图．
A公司网约车司机收入频数分布表：
月收入
4千元
5千元
9千元
10千元
人数（个）
3
4
2
1
B公司网约车司机收入扇形统计图
根据以上信息，分析数据如表：

平均月收入/千元
中位数
众数
方差
A公司
a
5
5
5
B公司
6
b
6
1.2
根据上述信息，回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $m =$ ；

(2)、请求出扇形统计图中圆心角n的度数；

(3)、小明的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，请从平均数、中位数、众数、方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司．

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 上一点，且 $A E = A D$ ，过点D作 $D F ⊥ A E$ 于点F ．

(1)、求证： $A F = B E$ ．

(2)、已知 $B C = 5$ ， $C D = 3$ ．求 $E F$ 的长．

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22. 随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．已知某型号汽车刹车时速度为 $20$ 米 $/$ 秒，设刹车后行驶的时间为 $t$ 秒，刹车后速度为 $v$ 米 $/$ 秒，刹车后行驶的距离为 $s$ 米．已测得刹车后的运动速度 $v$ 与运动时间 $t$ 之间满足关系式： $v = - 5 t + 20$ ．刹车后行驶的距离 $s$ 与 $t$ 的函数图象如下图所示，该图像是抛物线 $s = p t ² + q t$ $(p$ ， $q$ 为常数， $p \neq 0)$ 的一部分．

(1)、当该汽车刹车后速度为 $10$ 米 $/$ 秒时，求刹车后行驶的时间．

(2)、求 $p$ 、 $q$ 的值，以及该汽车刹车后行驶的最大距离．

(3)、一司机驾驶该型号汽车，在以 $20$ 米 $/$ 秒的速度行驶中，突然发现导航提示前面 $38$ 米处路面变窄，于是立即刹车．为确保安全通过窄路，需要将车速降低到 $5$ 米 $/$ 秒以下．请通过计算说明该司机能否在到达窄路时将车速降低到 $5$ 米 $/$ 秒以下？

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23. 【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置．
生活情境：如图1是安装在外墙上的挡雨棚．矩形 $B B_{1} C_{1} C$ 为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架 $B C$ ， $A B$ 及 $B_{1} C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 的端点 $A$ ， $C$ ， $A_{1}$ ， $C_{1}$ 固定在外墙上， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 与 $O O_{1}$ 平行， $A A_{1} = 2$ 米．图 $2$ 是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为 $60 °$ $(∠ B P M = 60 °)$ ，安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面 $O O_{1} C_{1} C$ （不包括 $O O_{1}$ ）上．
数学活动：数学学习小组通过研究支架 $A B$ 、 $B C$ 的长度，支架端点 $A$ ， $C$ 的距离以及支架 $A B$ 与 $B C$ 夹角 $α$ （ $∠ A B C$ ＝ $α$ ），对雨棚进行了重新设计．图 $3$ 是第一小组的设计示意图，其中 $A B = B C$ ， $s i n \frac{α}{2} = \frac{5}{13}$ ， $A C = 1$ 米．如图 $4$ 是第二小组的设想，其中 $A C = 1$ 米， $a = 45 °$ ，
问题解决：

(1)、【任务一】计算第一小组设计的雨棚所需挡雨板的面积．

(2)、【任务二】第一小组所设计的雨棚应如何安装？即确定点A的安装位置（结果保留根号）．

(3)、【任务三】在第二小组的设想下，拟定了以下2个问题，请你选择其中一个进行探究，并直接写出答案．
问题1：探索 $O A$ 的最大值；
问题2：探索 $O A$ 最大时 $∠ A C B$ 的度数．

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24. 如图1，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连结 $A C$ ， $A D$ ．在 $\overset{⌢}{A D}$ 上取点 $F$ ，使 $∠ F C D = ∠ B C D$ ， $C F$ 交 $A B$ 、 $A D$ 分别于点 $P$ 、 $Q$ ，连结 $A F$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ C F .$

(2)、当 $A C = F C$ 时，求 $\frac{C D}{A B}$ 的值．

(3)、如图2， $A F$ ， $C D$ 的延长线于点 $G$ ，连结 $D F$ ．若 $F Q = 3$ ， $C Q = 8$ ，
①求 $A Q$ 的长；
②求 $△ F D G$ 的周长．

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	平均月收入/千元	中位数	众数	方差
A公司	a	5	5	5
B公司	6	b	6	1.2

月收入	4千元	5千元	9千元	10千元
人数（个）	3	4	2	1