湖南省永州市东安县2024年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2024-06-05 类型：中考模拟

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的）

1. $c o s 6 0^{°}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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2. 如图是一种零件的实物图，则它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知线段a，b，c，d成比例，且 $a = 3 b, c = 12 c m$ ，则线段 $d$ 的长为（）

A、 $4 c m$ B、 $6 c m$ C、 $9 c m$ D、 $36 c m$

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4. 若点 $A (x_{1}, y_{1})$ ，点 $B (x_{2}, y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图乐上，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、不能确定

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5. 如图是由5个小正方形连接而成的图形，它需再添加一个小正方形，折叠后才能围成一个正方体．图中的黑色小正方形分別由四位同学补画，其中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 $m$ 的某种气体，当改变容积 $V$ 时，气体的密度 $ρ$ 也迋之改变， $ρ$ 与 $V$ 满足关系式 $ρ = \frac{m}{V}$ ，它的图象如图所示，则该气体的质量 $m$ 为（）

A、 $1.4 k g$ B、 $5 k g$ C、 $6.4 k g$ D、 $7 k g$

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7. 如图，在矩形ABCD中， $B E ⊥ A C$ 于点 $F$ ，若 $B F = 1, B C = \sqrt{3}$ ，则DE的长度为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 如图是某驿站配置的椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄 $A D ⊥$ 滚轮连杆AB，且 $A D = 20 c m, A B = 160 c m$ ，连杆AB与底座BC的夹角为 $6 0^{°}$ ，则该椭圆机的机身高度（点 $D$ 到地面的距离）为（）

A、 $80 \sqrt{2} c m$ B、 $80 \sqrt{3} c m$ C、 $(80 \sqrt{2} + 20) c m$ D、 $(80 \sqrt{3} + 10) c m$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，以BC边为直径作 $⊙ O$ 交AC于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交AB于点 $E$ ．若 $D$ 为AC的中点， $B E = 3 D E$ ，则 $t a n ∠ B A C$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 如图，矩形ABCD的边AD在 $y$ 轴上，点 $B$ 的坐标为 $(\sqrt{5}, - 2)$ ，将矩形绕点 $A$ 逆时针旋转得到矩形AEFG，此时，点 $B$ 的对应点 $E$ 与点 $D$ 的对应点 $G$ 均落在 $x$ 轴上，则点 $F$ 的坐标为（）

A、 $(- 2 \sqrt{5}, 2)$ B、 $(- 3, 2)$ C、 $(- 3, \sqrt{5})$ D、 $(- 2 \sqrt{5}, \sqrt{5})$

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二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C, A B = 10, ∠ B = 6 0^{°}, ∠ C = 4 5^{°}$ ，则AC的长为．

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12. 如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点 $O$ ），灯泡发出的光线照射 $△ A B C$ 后，在地面上形成阴影 $△ D E F$ ．已知灯泡距离地面 $3 m$ ，灯泡距离纸片 $1 m$ ，则阴影 $△ D E F$ 与纸片 $△ A B C$ 的面积比为．

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13. 数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG=30°，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角∠AFG=45°，已知测倾器的高度为1.6米，C，B，D在一条直线上．则车辆限高杆的高度为米．（结果（留根号）

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，EF，CF分别交对角线BD于点G，H，I，若 $△ A B E$ 的面积为6，则图中阴影部分的面积为．

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15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与AB相交于点 $M$ ，与BC相交于点 $N$ ，若点 $B$ 的坐标为 $(4, 2), △ M O N$ 的面积是 $\frac{15}{4}$ ，则 $k$ 的值为．

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三、解答题（共8小题、共75分．解答应写出过程）

16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点A，B，C的坐标分别是 $(- 3, 4) 、 (- 4, 1) 、 (- 2 ， 2)$ ，结合平面直角坐标系解答下列问题．

(1)、画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A'B'C'，并写出点B的坐标；

(2)、以点 $O$ 为位似中心，画出一个三角形，使它与 $△ A B C$ 的相似比为 $\frac{1}{2}$ ，且不在同一象限．

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17. 如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象相交于点A（6，-3-2n），点 $B (n, - 3)$ ，与 $y$ 轴交干点 $C$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、点 $D$ 是点 $C$ 关于 $x$ 铀的对称点，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、直挍写出不等式 $a x + b < \frac{k}{x}$ 的解集．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是AB上一点，连接CD，点 $E$ 在CD上，连接BE，已知 $B D = B E$ ，且 $∠ A C B = ∠ B E D$ ．

(1)、求证： $△ B E C ~ △ C D A$ ；

(2)、若 $B D = 4, D E = 3, B C = 5$ ，求CE的长.

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19. 如图，AB是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点 $A$ 处测得灯塔 $C$ 位于北偏东 $6 0^{°}$ 方向后，以每小时40海里的速度沿北偏东 $3 0^{°}$ 方向航行，经过2小时后到达点 $D$ 处，在 $D$ 处测得灯塔 $C$ 位于南编东 $5 4^{°}$ 方向，已知灯塔 $C$ 距离海岸的距离BC是44海里，求此时货船与灯塔之间的距离CD.（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38， $\sqrt{3} \approx 1.73$ )

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20. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，BC是 $⊙ O$ 的切线，以AO，OC为邻边作 $▱ A O C D$ ，边AD交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接EC.

(1)、求证：EC是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 6, t a n ∠ C O B = \frac{4}{3}$ ，求 $s i n ∠ D C E$ 的值．

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21. 请阅读下列材料，完成相应的任务：

著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．

比如有这样一个题目：设有两只电阻，分到为 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ ，问并联后的电阻值 $R$ 是多少?

我们可以利用公式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ 求得 $R$ 的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线 $l$ 上任取两点A，B，分别过点A，B作直线 $l$ 的垂线，并在这两条垂线上分别截取 $A C = R_{1}, B D = R_{2}$ ，且点C，D位于直线 $l$ 的同侧，连接AD，BC，交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥$ 直线 $l$ ，则线段EF的长度就是并联后的电阻值 $R$ ．

证明： $∵ E F ⊥ l, C A ⊥ l$ ，

$∴ ∠ E F B = ∠ C A B = 9 0^{°}$ ，

又 $∵ ∠ E B F = ∠ C B A$ ，

$∴ △ E B F ~ △ C B A ($ 依据1），

$∴ \frac{B F}{A B} = \frac{E F}{A C}$ （依据2）．

同理可得： $: \frac{A F}{A B} = \frac{E F}{B D}$ ，

$∴ \frac{B F}{A B} + \frac{A F}{A B} = \frac{E F}{A C} + \frac{E F}{B D}$
∴ $I = \frac{E F}{A C} + \frac{E F}{B D}$ ，
∴ $\frac{1}{E F} = \frac{1}{A C} + \frac{1}{B D}$ ，
即： $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ .

(1)、上面证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是谁：

依据1：.
依据2：.

(2)、如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R₁=3千欧，R₂=6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长．

(3)、受以上作图法的启发，小明提出了已知R₁和R，求R₂的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C=90°，AC=BC=R₁ ，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD=R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R₂ ．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．

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22. 某数学小组在研究函数 $y = - \frac{2}{x + 1} + 2$ 时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：

(1)、①x与 $y$ 的几组对应值如下表，请补全表格；
$x$
$⋯$
-4
-3
-2
$- \frac{3}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
1
2
$\frac{5}{2}$
3
$⋯$
$y$
$⋯$
$\frac{8}{3}$
3
4
6
-2
$\frac{2}{3}$
1
$\frac{4}{3}$
$\frac{3}{2}$
$⋯$
②在下图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；

(2)、我们知道，函数 $y = a (x - h)^{2} + k (a \neq 0, h > 0, k > 0)$ 的图象是由二次函数 $y = a x^{2}$ 的图象向右平移 $h$ 个单位，再向上平移 $k$ 个单位得到的．类似地，请直接写出将 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象经过怎样的平移可以得到 $y = \frac{2}{x + 1} + 2$ 的图象．

(3)、若一次函数 $y = - \frac{1}{3} x + 2$ 的图象与函数 $y = - \frac{2}{x + 1} + 2$ 的图象交于A，B两点，连接OA，OB，求 $△ A O B$ 的面积．

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23. 在 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 中， $∠ A C B = ∠ C D E = 9 0^{°}, A C = B C, C D = D E$ ，点 $F$ 是AB的中点，连接AE，DF，将 $△ C D E$ 绕着点 $C$ 旋转一周，试判断AE和DF的关系.

(1)、【探索发现】
如图①，当点E在AC上时，AE和DF的数量关系为、直线AE和直线DF相交所成的锐角的度数为；

(2)、【验证猜想】
如图②，当点 $E$ 不在AC上时，(1)中的关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请写出新关系，并说明理由；

(3)、【拓展应用】
若CD=5，BC=13，将△CDE绕着点C旋转一周的过程中，当D，E，B三点共线时，直接写出DF的长.

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$x$	$⋯$	-4	-3	-2	$- \frac{3}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	$\frac{5}{2}$	3	$⋯$
$y$	$⋯$	$\frac{8}{3}$	3	4	6	-2	$\frac{2}{3}$	1	$\frac{4}{3}$		$\frac{3}{2}$	$⋯$