湖南省岳阳市平江县2024年中考数学二模试卷

试卷更新日期：2024-06-05 类型：中考模拟

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 在 $\sqrt{2}$ ， 0， $- 1$ ， 2这四个实数中，最大的数是（）

A、0 B、 $- 1$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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2. 根据有关部门测算，2024年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为（）

A、 $2.51 \times 1 0^{8}$ B、 $2.51 \times 1 0^{7}$ C、 $25.1 \times 1 0^{7}$ D、 $0.251 \times 1 0^{9}$

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3. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不等式组 ${\begin{cases} 3 - x \geq 1 \\ 2 x > - 2 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 以下调查中，适合全面调查的是（）．

A、了解全国中学生的视力情况 B、检测“神舟十六号”飞船的零部件 C、检测台州的城市空气质量 D、调查某池塘中现有鱼的数量

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6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 中的两个，能让红灯发光的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边AB上，过点D作 $D E ∥ B C$ ，交AC点E ．若 $A D = 2$ ， $B D = 3$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为 $y = \frac{2}{x - 1}$ 的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（）

A、图象与x轴没有交点 B、当 $x > 0$ 时 $y > 0$ C、函数图象关于原点成中心对称 D、y随x的增大而减小

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9. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A ， B ， C ， D ，连接AB ，则 $∠ B A D$ 的度数为（）

A、 $105 °$ B、 $75 °$ C、 $52.5 °$ D、 $45 °$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ （其中x是自变量），当 $0 < x < 3$ 时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $a < - 1$ 或 $a > 3$ C、 $- 3 < a < 0$ 或 $0 < a < 3$ D、 $- 1 \leq a < 0$ 或 $0 < a < 3$

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二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11. 二次根式 $\sqrt{1 - x}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．

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12. 分解因式： $2024 x^{2} - 4048 x + 2024 =$ ．

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13. 三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是 $(- \sqrt{3} ， 3)$ ，则A点的坐标是．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 4$ ，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF ．若 $S_{正方形 A M E F} = 16$ ，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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15. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $B C = 5$ ， $C D = 3$ ．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA ， DC于E ， F两点；②分别以点E ， F为圆心以大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G ．则BG的长是．

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16. 正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 .

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17. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和 $y (m)$ 与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则乙组每天挖掘m.

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18. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是4和3，则重叠部分的四边形ABCD中的对角线BD的长是．

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三、解答题（本大题共8小题，共66分，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第22-23题每小题9分，第25-26题10分）

19. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{3} t a n 30 ° + (π - 2024)^{0} + \sqrt[3]{- 8}$

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20. 已知 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，计算 $(\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的值

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21. 为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格 $60 \leq x < 70$ ，中等 $70 \leq x < 80$ ，优等 $x \geq 80$ ），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：
60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：
70，71，72，72，73．
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
类别
A
B
平均数
70
70
中位数
71
b
众数
a
67
方差
30.4
26.6

(1)、上述图表中 $a =$ ， $b =$ ， $m =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

(3)、若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？

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22. 某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：

实践探究活动记录表
活动内容	测量湖边A、B两处的距离
成员	组长：×××		组员：××××××××××××
测量工具	测角仪，皮尺等
测量示意图		说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C ．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得 $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 的度数．
测量数据	角的度数	$∠ A = 30 °$
		$∠ B = 45 °$
		$∠ C = 105 °$
	边的长度	$B C = 40.0$ 米
		$A C = 56.4$ 米

数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．

已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 45 °$ ． ▲ ．（从记录表中再选一个条件填入横线）

求：线段AB的长．（为减小结果的误差，若有需要， $\sqrt{2}$ 取1.41， $\sqrt{3}$ 取1.73， $\sqrt{6}$ 取2.45进行计算，最后结果保留整数．）

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23. 已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B = 6$ ， C为 $⊙ O$ 上一点，连接 $C A ， C B$ ．

(1)、如图①，若C为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，求 $∠ C A B$ 的大小和 $A C$ 的长；

(2)、如图②，若 $A C = 2 ， O D$ 为 $⊙ O$ 的半径，且 $O D ⊥ C B$ ，垂足为E，过点D作 $⊙ O$ 的切线，与 $A C$ 的延长线相交于点F，求 $F D$ 的长．

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24. 今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
票的种类
A
B
C
购票人数（人）
$1 ∼ 50$
$51 ∼ 100$
100以上
票价（元）
50
45
40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．

(1)、求两个旅游团各有多少人？

(2)、一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？

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25. 综合与实践
【问题情境】：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知 $A B = A C$ ， $∠ A > 90 °$ ，点E为AC上一动点，将 $△ A B E$ 以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
【独立思考】：小明：“当点D落在BC上时， $∠ E D C = 2 ∠ A C B$ ． ”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
【实践探究】：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A > 90 °$ ， $△ B D E$ 由 $△ A B E$ 翻折得到．

(1)、如图1，当点D落在BC上时，求证： $∠ E D C = 2 ∠ A C B$ ；

(2)、如图2，若点E为AC中点， $A C = 4$ ， $C D = 3$ ，求BE的长．
【问题解决】：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 $∠ A < 90 °$ 的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A < 90 °$ ， $A B = A C = B D = 4$ ， $2 ∠ D = ∠ A B D$ ．若 $C D = 1$ ，则求BC的长．

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26. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ ．

(1)、如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，-3），连接AB ．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是第四象限内抛物线上一动点，过点P作 $P H ⊥ x$ 轴于点H ，与线段AB交于点M ，作 $P K ⊥ y$ 轴于点K ，与线段AB交于点N ，求 $P M + P N$ 的最大值

(2)、如图②，直线 $y = \frac{4}{3} x + n$ 与y轴交于点C ，同时与抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 交于点D（ $- 3$ ， 0），以线段CD为边作菱形CDFE ，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．

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票的种类	A	B	C
购票人数（人）	$1 ∼ 50$	$51 ∼ 100$	100以上
票价（元）	50	45	40

类别	A	B
平均数	70	70
中位数	71	b
众数	a	67
方差	30.4	26.6