湖北省随州市广水市2024年中考数学二模考试试卷

试卷更新日期：2024-06-05 类型：中考模拟

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一、单选题（共10题，每题3分，共30分）

1. $- 2$ 的相反数是（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 < 3 \\ x + 1 > 3 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $x < 4$ B、 $x > 2$ C、 $2 < x < 4$ D、无解

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3. 如图，正六棱柱，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $x + 5 x = 5 x$ B、 $5 x - 3 x = 2$ C、 ${(x^{2})}^{3} = x^{5}$ D、 $x^{6} \div x^{3} = x^{3}$

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5. 在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：

成绩/m

1.95

2.00

2.05

2.10

2.15

2.25

人数

2

3

9

8

5

3

这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（）

A、2.10，2.05 B、2.10，2.10 C、2.05，2.10 D、2.05，2.05

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6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩余椽的运费恰好等于一株椽的价钱.根据题意可列方程 $3 (x - 1) = \frac{6210}{x}$ ，其中 $x$ 表示（）

A、剩余椽的数量 B、这批椽的数量 C、剩余椽的运费 D、每株椽的价钱

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7. 关于一次函数 $y = 2 x - 1$ 的图象，下列说法不正确的是（）

A、直线不经过第二象限 B、直线与 $y$ 轴的交点是 $(0, - 1)$ C、直线经过点 $(- 1, 3)$ D、当 $x > 0$ 时， $y > - 1$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 3, 6)$ 、 $B (- 9, - 3)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，相似比为 $\frac{1}{3}$ ，把 $△ A B O$ 缩小，则点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(- 9, 18)$ C、 $(- 9, 18)$ 或 $(9, - 18)$ D、 $(- 1, 2)$ 或 $(1, - 2)$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ B O D = 100 °$ ，则 $∠ E C D$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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10. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线 $y = - a x^{2} + 3 x - c$ 与 $y = 2 x^{2} - 3 x - c + a$ 关于 $x$ 轴对称，则 $a + 2 c$ 的值为（）

A、0 B、 $- 4$ C、4 D、 $- 1$

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二、填空题（共5题，每题3分，共15分）

11. 计算： $(2024 - π)^{0} + | 1 - \sqrt{2} | + {(\frac{1}{3})}^{- 1} =$ .

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12. 2022年3月23日，备受瞩目的中国空间站“天宫课堂”第二课，通过架设在太空约3600万米的中继卫星与地面之间顺利开讲，其中3600万用科学记数法可表示为.

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13. 一批电子产品的抽样合格率为 $75 %$ ，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买个这样的电子产品，可能会出现1个次品.

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14. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，已知点B ， C关于原点对称，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， E是 $B C$ 的中点，连结 $A E$ ， $P$ 是边 $A D$ 上一动点，沿过点 $P$ 的直线将矩形折叠，使点 $D$ 落在 $A E$ 上，且对应点为 $D^{'}$ ，当 $△ A P D^{'}$ 是直角三角形时， $P D$ 的长为.

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三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 化简： $[(3 a - b)^{2} + (a + b) (a - b)] \div 2 a$

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $F$ 在 $C B$ 的延长线上， $A F = A C$ ，求证：四边形 $A F B D$ 是平行四边形.

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18. 《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”请问此问题中的绳长、井深各是多少尺？

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19. 近来，由于智能聊天机器人 $C h a t G P T$ 的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题.有关人员开展了 $A$ ， $B$ 两款 $A I$ 聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 $x$ 表示，分为四个等级：不满意 $x < 70$ ，比较满意 $70 \leq x < 80$ ，满意 $80 \leq x < 90$ ，非常满意 $x \geq 90$ ），下面给出了部分信息：抽取的对 $A$ 款 $A I$ 聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
抽取的对 $B$ 款 $A I$ 聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100.
抽取的对A ， B款 $A I$ 聊天机器人的评分统计表
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
$A$
88
$b$
96
$45 %$
$B$
88
87
$c$
$40 %$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述图表中 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为哪款 $A I$ 聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；

(3)、在此次测验中，有200人对 $A$ 款 $A I$ 聊天机器人进行评分、160人对 $B$ 款 $A I$ 聊天机器人进行评分，估计此次测验中对 $A I$ 聊天机器人不满意的共有多少人？

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20. 如图，某楼房 $A B$ 顶部有一根天线 $B E$ ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点 $C$ ， $D$ ， $A$ ，在点 $C$ 处测得天线顶端 $E$ 的仰角为 $60 °$ ，从点 $C$ 走到点 $D$ ，测得 $C D = 5$ 米，从点 $D$ 测得天线底端 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，已知 $A$ ， $B$ ， $E$ 在同一条垂直于地面的直线上， $A B = 25$ 米.

(1)、求 $A$ 与 $C$ 之间的距离；

(2)、求天线 $B E$ 的高度.（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果保留整数）

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21. 如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $A D$ 垂直过点 $C$ 的直线 $C D$ ，垂足为 $D$ 点，并且 $A C$ 平分 $∠ D A B$ ， $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ .

(1)、求证：直线 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $s i n ∠ C A D = \frac{3}{5}$ ，求 $\frac{A F}{A C}$ 的值.

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22. 武汉市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有 $20 %$ 的损耗，加工费 $m$ （万元）与原料的质量 $x$ （吨）之间的关系为 $m = 50 + 0.2 x$ ，销售价 $y$ （万元/吨）与原料的质量 $x$ （吨）之间的关系如图所示.

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、在进价不超过248万元的情况下，原料的质量 $x$ 为多少吨时，销售收入为300万元；

(3)、原料的质量 $x$ 为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出）

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23. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ，点 $D$ 在射线 $A C$ 上，连接 $B D$ ，将 $B D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $α$ ，得到线段 $D E$ ，连接 $B E$ ， $C E$ .

(1)、当点 $D$ 在线段 $A C$ 上时，
①如图1，当 $α = 60 °$ 时，请直接写出线段 $C E$ 与线段 $A D$ 的数量关系是， $∠ D C E =$ °；
②如图2，当 $α = 90 °$ 时，求 $\frac{A D}{C E}$ 的值；

(2)、如图3，当 $α = 90 °$ 时，点 $D$ 在 $A C$ 的延长线上，过点 $A$ 作 $A N / / D E$ 交 $B D$ 于点 $N$ ，若 $A D = 2 C D$ ，求 $\frac{A N}{C E}$ 的值.

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24. 抛物线 $y = \frac{2}{3} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于A ， B两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，已知 $A (- 1, 0)$ ， $C (0, 2)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ P C D$ 是以 $C D$ 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)、点 $E$ 是线段 $B C$ 上的一个动点，过点 $E$ 作 $x$ 轴的垂线与抛物线相交于点 $F$ ，当 $△ B C F$ 面积 $S$ 最大时，求点 $E$ 的坐标及 $S$ 的最大.

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设备	平均数	中位数	众数	“非常满意”所占百分比
$A$	88	$b$	96	$45 %$
$B$	88	87	$c$	$40 %$

成绩/m	1.95	2.00	2.05	2.10	2.15	2.25
人数	2	3	9	8	5	3