广西壮族自治区柳州市柳北区、鱼峰区2024年中考数学模拟试卷

试卷更新日期：2024-06-05 类型：中考模拟

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一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1. 全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约3830000公顷．用科学记数法表示3830000是（）

A、 $3.83 \times 1 0^{6}$ B、 $0.383 \times 1 0^{6}$ C、 $3.83 \times 1 0^{7}$ D、 $0.383 \times 1 0^{7}$

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2. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 $\frac{a^{3}}{a^{2}} = a (a \neq 0)$ C、 $(a^{3})^{2} = a^{5}$ D、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$

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4. 若二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > \frac{1}{2}$ B、 $x > 2$ C、 $x \geq \frac{1}{2}$ D、 $x \geq 2$

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5. 如图，点A ， B ， C都在 $⊙ O$ 上，若 $∠ C = 34 °$ ，则 $∠ A O B$ 为（）

A、 $68 °$ B、 $56 °$ C、 $60 °$ D、 $34 °$

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6. 如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（）

A、 $∠ B A D$ B、 $∠ A C B$ C、 $∠ B A C$ D、 $∠ D A C$

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7. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 是以点O为位似中心的位似图形， $O A : O D = 2 : 5$ ， $△ A B C$ 的周长为8，则 $△ D E F$ 的周长为（）

A、12 B、18 C、20 D、50

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8. 如图是一个六边形质保徽章，该六边形的内角和是（）

A、 $900 °$ B、 $720 °$ C、 $540 °$ D、 $360 °$

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9. 一组数据2，3，4，x，6的平均数是4，则x是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（）步．

A、15 B、6 C、9 D、12

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11. 某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对 $(m ， n)$ ，在坐标系中进行描点，则正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接 $A E$ ．若 $A D$ 平分 $∠ O A E$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图象经过 $A E$ 上的两点A ， F ，且 $A F = E F$ ， $△ A B E$ 的面积为18，则k的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、14

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二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）

13. 因式分解： $4 x^{2} - 1$ = .

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14. 把二次函数 $y = 2 x^{2}$ 的图象向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．

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15. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a $- b$ .（填“>”“=”或“<”）

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16. 将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若 $O A = 5$ 厘米，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度为厘米．（结果保留 $π$ ）

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17. 如图，与斜坡 $C E$ 垂直的太阳光线照射立柱 $A B$ （与水平地面 $B F$ 垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若 $B C = 2$ 米， $C D = 8$ 米，斜坡的坡角 $∠ E C F = 30 °$ ，则立柱 $A B$ 的高为米．（结果保留根号）

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18. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ ，当 $- 3 \leq x \leq 0$ 时，此时函数的最小值是．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

19. 计算： $| - 2 | - \frac{1}{2} \times 2 + (π - 1)^{0}$ ．

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20. 解方程： $\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x}$ ．

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ， $A B = B C$ ， $A D ⊥ D C$ 于点 $D$ ．

(1)、用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线，交 $C D$ 于点 $E$ ； $($ 不写作法，保留作图痕迹 $)$

(2)、连接 $A E .$ 求证：四边形 $A B C E$ 是菱形．

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22. 某日下午，某校组织学生观看“天宫课堂”第二课重播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图（图①）和扇形统计图（图②）．
请根据图中信息，回答下列问题：

(1)、共调查了名学生，图2中A所对应的圆心角度数为；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．

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23. 某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；1件甲种电子产品比1件乙种电子产品的销售额多300元．

(1)、求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？

(2)、若使甲乙两种电子产品的销售总额不低于5400万元，则至少销售甲种电子产品多少万件？

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24. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， P是 $⊙ O$ 的直径 $A B$ 延长线上一点， $∠ P C B = ∠ O A C$ ，过点O作 $B C$ 的平行线交 $P C$ 的延长线于点D ．

(1)、试判断直线 $P C$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $P C = 4$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ，求线段 $O D$ 的长．

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25. 【综合与实践】
【问题背景】
如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．
如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实验操作】上午 $9 : 00$ ，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为 $30 c m$ ，开始放水后，每隔 $10 m i n$ 记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间
$9 : 00$
$9 : 10$
$9 : 20$
$9 : 30$
$9 : 40$
流水时间 $t / m i n$
0
10
20
30
40
水面高度 $h / c m$
30
29
28.1
27
25.8
【建立模型】小组讨论发现：“ $t = 0$ ， $h = 30$ ”是初始状态下的准确数据，每隔 $10 m i n$ 水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】

(1)、利用 $t = 0$ 时， $h = 30$ ； $t = 10$ 时， $h = 29$ 这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；

(2)、利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为 $10 c m$ 时是几点钟？

(3)、经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差。通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值；

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26. 【探究与证明】如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O ，记 $△ C O D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A O B$ 的面积为 $S_{2}$ ．

(1)、【问题解决】如图①，若 $A B / / C D$ ，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{O C \cdot O D}{O A \cdot O B}$
小红同学展示出如下正确的证明办法，请在横线上将内容补充完整．
证明：过点D作 $D E ⊥ A C$ 交 $A C$ 于点E ，过点B作 $B F ⊥ A C$ 交 $A C$ 于点F ，如图①所示：则 $∠ D E O = ∠ B F O = 90 °$
∴ $D E$ $B F$ （填写位置关系）
∴ $△ D O E ∽ △$ ；
∴ $\frac{D E}{B F} =$ ；
∵ $S_{1} = \frac{1}{2} O C \cdot D E$ ；
$S_{2} = \frac{1}{2} O A \cdot B F$ ；
∴ $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{1}{2} O C \cdot D E}{\frac{1}{2} O A \cdot B F} = \frac{O C \cdot D E}{O A \cdot B F} = \frac{O C \cdot O D}{O A \cdot O B}$ ．

(2)、【探索推广】如图②，若 $A B$ 与 $C D$ 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3)、【拓展应用】如图③，在 $O A$ 上取一点E ，使 $O E = O C$ ．过点E作 $E F / / C D$ 交 $O D$ 于点F ，点H为 $A B$ 的中点， $O H$ 交 $E F$ 于点G ，且 $O G = 2 G H$ ，若 $\frac{O E}{O A} = \frac{5}{6}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 值．

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记录时间	$9 : 00$	$9 : 10$	$9 : 20$	$9 : 30$	$9 : 40$
流水时间 $t / m i n$	0	10	20	30	40
水面高度 $h / c m$	30	29	28.1	27	25.8