四川省遂宁市射洪市2023-2024学年高三下学期高考模拟测试理科数学试题

试卷更新日期：2024-06-03 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 3 < x < 2}$ ， $B = \{x \in Z | x \geq 0\}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${- 2, 0, 1}$ C、 ${0}$ D、 ${0, 1}$

查看试题解析
2. 复数 $\frac{i}{3 + i}$ （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）

A、815号学生 B、616号学生 C、200号学生 D、8号学生

查看试题解析
4. 已知 $\cos (α - \frac{π}{3}) - \cos α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $s i n (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
5. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊂α，n∥α，则m，n为异面直线；
②若α∥γ，β∥γ，则α∥β；
③若m⊥β，m⊥γ，α⊥β，则α⊥γ；
④若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．
则上述命题中真命题的序号为（　　）

A、①② B、②③ C、③④ D、②④

查看试题解析
6. 在 $Δ A B C$ 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + 2 y \vec{A C} (x > 0, y > 0)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、8 D、9

查看试题解析
7. 下列函数满足 $f (l o g_{2} 3) = - f (l o g_{3} 2)$ 的是（）

A、 $f (x) = 1 + l n x$ B、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = 1 - x$

查看试题解析
8. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ ，（其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）其图象如图所示，为了得到 $g (x) = - A c o s ω x$ 的图象，可以将 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度

查看试题解析
9. 设 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，直线 $l$ 过左焦点 $F_{1}$ 且垂直于一条渐近线，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的渐近线分别交于点 $A, B$ ，点 $B$ 在第一象限，且 $\vec{O F_{1}} + \vec{O B} - 2 \vec{O A} = \vec{0}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{7}{3}$

查看试题解析
10. 为弘扬中国优秀传统文化，某市决定举办“经典诵读”知识竞赛.竞赛规则：参赛学生从《红楼梦》、《论语》、《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛.某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛.因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有( )种

A、132 B、148 C、156 D、180

查看试题解析
11. 设 $O$ 为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点， $P, Q$ 两点在 $C$ 上，且 $P, Q$ 关于坐标原点对称， $c o s ∠ P F_{1} Q = \frac{1}{3}$ ，则 $| O P | =$ （）

A、 $\frac{7}{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{13}{5}$

查看试题解析
12. 已知 $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x) = x_{}^{2} - 2 a x + 2 l n x$ 的两个极值点，且 $x_{1} < x_{2}$ ，当 $a \geq \frac{5}{2}$ 时，不等式 $f (x_{1}) \geq m x_{2}$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $（ - \infty ， - \frac{9}{8} - l n 2]$ B、 $[- \frac{9}{8} - l n 2, 0]$ C、 $[- \frac{9}{8} - l n 2, 0 ）$ D、 $[- \frac{9}{8} - l n 2, + \infty ）$

查看试题解析

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若 $x, y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 2 \\ - x + 2 y \leq 2 \\ x + y \geq 1 \end{array}$ ，设 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为．

查看试题解析
14. 已知两圆的方程分别为x²+y²-4x=0和x²+y²-4y=0，则这两圆公共弦的长等于．

查看试题解析
15. 如图，有三座城市 $A ， B ， C$ ．其中 $B$ 在 $A$ 的正东方向，且与 $A$ 相距120 $k m$ ； $C$ 在 $A$ 的北偏东30°方向，且与 $A$ 相距60 $k m$ ．一架飞机从城市 $C$ 出发，沿北偏东75°航向飞行．当飞机飞行到城市 $B$ 的北偏东45°的D点处时，飞机出现故障，必须在城市 $A$ ， $B$ ， $C$ 中选择一个最近城市降落，则该飞机必须再飞行 $k m$ ，才能降落．

查看试题解析
16. 在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所有棱长均为2，∠BAD=60°，P为CC₁的中点，点Q在四边形DCC₁D₁内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（填序号）.

①当点Q在线段CD₁上运动时，四面体A₁BPQ的体积为定值
②若AQ∥面A₁BP，则AQ的最小值为 $\sqrt{6}$
③若△A₁BQ的外心为M，则 $\vec{A_{1} B} \cdot \vec{A_{1} M}$ 为定值2
④若AQ= $\sqrt{7}$ ，则点Q的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．
年龄 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70]
保费 x 2x 3x 4x 5x

(1)、用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费 $x$ 至少为多少元?（精确到整数元）

(2)、随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在[50， 60）的老人中每 15人就有 1人患该项疾病，年龄在[60，70] 的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在[50， 60）和[60，70] 的老人中各随机选取1人，记X表示选取的这 2人中患该疾病的人数，求X的数学期望.

查看试题解析
18. 已知等比数列 ${a_{n}^{}}$ 的前n项和 $S_{n}^{} = \frac{3_{}^{n + 1}}{2} - m$ .

(1)、求数列 ${a_{n}^{}}$ 的通项公式，并求 $m$ 的值；

(2)、令 $b_{n} = (- 1)^{n} l o g_{3} a_{n}$ ，设 $T_{n}^{}$ 为数列 ${b_{n}^{}}$ 的前n项和，求 $T_{2 n}^{}$ .

查看试题解析
19. 如图，四棱锥P-ABCD中，PA=PD，PA⊥PD，底面ABCD中，AD∥BC，AD=2PC=2BC=4CD，∠ADC=60°，E是线段AP上一点，设 $\vec{A E} = λ \vec{E P}$

(1)、若 $λ$ =1，求证： $B E$ ∥平面 $P C D$ ；

(2)、是否存在点 $E$ ，使直线 $B E$ 与平面 $P A D$ 所成角为30⁰ ，若存在，求出 $λ$ ；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
20. 已知过点 $(0, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，抛物线在点 $A$ 处的切线为 $l_{1}$ ，在 $B$ 点处的切线为 $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 交于点 $M$ ，当直线 $l$ 的倾斜角为45°时， $| A B | = 4 \sqrt{6}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设线段 $A B$ 的中点为 $N$ ，求 $\frac{| A B |}{| M N |}$ 的取值范围．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = l n (x + n)$ ，直线 $l : y = x + m$ 为曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的一条公切线.

(1)、求 $m, n$ ；

(2)、若直线 $l^{'} : y = s (0 < s < 1)$ 与曲线 $y = f (x)$ ，直线 $l$ ，曲线 $y = g (x)$ 分别交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ 三点，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列，求 $s$ 的个数.

查看试题解析

四、请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】

22. 如图，在极坐标系中，已知点 $M (2 ， 0)$ ，曲线 $C_{1}$ 是以极点 $O$ 为圆心，以 $O M$ 为半径的半圆，曲线 $C_{2}$ 是过极点且与曲线 $C_{1}$ 相切于点 $(2 ， \frac{π}{2})$ 的圆.

(1)、分别写出曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、直线 $θ = α$ （ $0 < α < π$ ， $ρ \in R$ ）与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别相交于点 $A$ ， $B$ （异于极点），求 $△ A B M$ 面积的最大值.

查看试题解析

五、【选修4—5：不等式选讲】

23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 3 - 2 | x |$ 的解集；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + | x - 5 |$ 的最小值为 $m$ ，正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = m$ ，证明： $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a} \geq 4$ .

查看试题解析

年龄	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70]
保费	x	2x	3x	4x	5x