湖北省随州市2024届高三下学期5月模拟数学试题

试卷更新日期：2024-06-03 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {- 1, 2}, B = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 = 0}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${- 1, 3}$ B、 ${- 2, 0, 1}$ C、 ${- 1, 2, 3}$ D、 ${- 2, 0, 1, 2, 3}$

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2. 设随机变量 $X ∼ N (μ, σ^{2})$ ，且 $P (X < a) = 3 P (X \geq a)$ ，则 $P (X \geq a) =$ （）

A、0.75 B、0.5 C、0.3 D、0.25

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3. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，且满足 $f (x) > f^{'} (x) + 1, f (2) = e^{2} + 1$ ，则不等式 $e^{- x} f (x) \geq e^{- x} + 1$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[- 1, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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4. 设 $5 π < θ < 6 π$ ， $c o s \frac{θ}{2} = a$ ，则 $s i n \frac{θ}{4}$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{1 + a}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{1 - a}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{1 + a}}{2}$ D、 $- \sqrt{\frac{1 - a}{2}}$

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5. 已知l ， m是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则 $l ⊥ m$ B、若 $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m / / α$ C、若 $l / / m$ ， $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ D、若 $α / / β$ ，且 $l$ 与 $α$ 所成的角和 $m$ 与 $β$ 所成的角相等，则 $l / / m$

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6. 在等腰 $△ A B C$ 中， $A C = C B = 2, ∠ C A B = 30 °, △ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，点 $P$ 在优弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上运动，则 $[\vec{P O} - 2 (\frac{\vec{P A}}{| \vec{P A} |} + \frac{\vec{P B}}{| \vec{P B} |})] \cdot \vec{P C}$ 的最小值为（）

A、4 B、2 C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $- 6$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a + 2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的离心率为 $2$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 3$ D、 $3$

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8. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $4$ ，则下列结论正确的是（）

A、勒洛四面体最大的截面是正三角形 B、若P、Q是勒洛四面体 $A B C D$ 表面上的任意两点，则PQ的最大值为 $4$ $\sqrt{2}$ C、勒洛四面体 $A B C D$ 的体积是 $8 \sqrt{6} π$ D、勒洛四面体 $A B C D$ 内切球的半径是 $4 - \sqrt{6}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 设正实数a ， b满足 $a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最小值4 B、 $\sqrt{a b}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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10. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，则（）

A、异面直线 $D D_{1}$ 与 $B_{1} F$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、点 $P$ 为正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 内一点，当 $D P / /$ 平面 $B_{1} E F$ 时， $D P$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、过点 $D_{1}$ ， $E$ ， $F$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面周长为 $2 \sqrt{13} + \sqrt{2}$ D、当三棱锥 $B_{1} - B E F$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上时，球 $O$ 的表面积为 $6 π$

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11. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}, x \in R$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 有且只有2个零点 B、函数 $f (x)$ 的递减区间为 $(- 3, 1)$ C、函数 $f (x)$ 存在最大值和最小值 D、若方程 $f (x) = a$ 有三个实数解，则 $a \in (- 2 e, 6 e^{- 3})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3), \vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则 $λ =$ ．

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13. 等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 前n项和分别为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$ ，且 $(3 n + 2) T_{n} = (2 n + 1) S_{n}$ ，则 $\frac{b_{5} + b_{3}}{a_{7}} =$ ．

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14. 已知圆 $C : (x - 6)^{2} + (y - 8)^{2} = 1$ 和两点 $A (0, - m)$ ， $B (0, m) (m > 0)$ ．若圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $A P ⊥ B P$ ，则 $m$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的外接圆半径为 $R$ ，面积为 $S$ ，已知 $A$ 为锐角，且 $(b^{2} + c^{2} - 2 R^{2}) \tan A = 4 S$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $S$ 的最大值.

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16. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $S_{2} + S_{3} = S_{4}$ ， $4 a_{3} + 6 a_{7} = b_{6}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{\log_{2} b_{n}} + \frac{\log_{2} b_{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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17. 某大学为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生按照

10 ： 1

的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：

男生身高频率分布表

男生身高

（单位：厘米）

$[160 ， 165)$

$[165 ， 170)$

$[170 ， 175)$

$[175 ， 180)$

$[180 ， 185)$

$[185 ， 190]$

频数

女生身高频数分布表

女生身高

（单位：厘米）

$[150 ， 155)$

$[155 ， 160)$

$[160 ， 165)$

$[165 ， 170)$

$[170 ， 175)$

$[175 ， 180]$

频数

(1)、估计这1000名学生中女生的人数；

(2)、估计这1000名学生中身高在

[170 ， 190]

的概率；

(3)、在样本中，从身高在

[170 ， 180]

的女生中任取3名女生进行调查，设

X

表示所选3名学生中身高在

[170 ， 175)

的人数，求

X

的分布列和数学期望.（身高单位：厘米）

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18. 如图1，在 $△ A B C$ 中，D ， E分别为 $A B, A C$ 的中点；O为 $D E$ 的中点， $A B = A C = 2 \sqrt{5}$ ， $B C = 4$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2，点F是线段 $A_{1} B$ 上的一点（不包含端点）．

(1)、求证： $A_{1} O ⊥ B D$ ；

(2)、若直线 $E C$ 和平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，求三棱锥 $A_{1} - D E F$ 的体积．

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19. 已知 $O$ 是坐标原点，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M$ 在椭圆上，若 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积最大时 $∠ F_{1} M F_{2} = 120 °$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l ： x = 2$ 与椭圆 $C$ 在第一象限交于点 $N$ ，点 $A$ 是第四象限的点且在椭圆 $C$ 上，线段 $A B$ 被直线 $l$ 垂直平分，直线 $N B$ 与椭圆交于另一点 $D$ ，求证： $O N // A D$ .

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