湖南省邵阳市2024届高三下学期第三次联考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-03 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z$ 满足： $z (1 + i) = i^{2024} - i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $| z |$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、2 D、4

查看试题解析
2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | 1 \leq x \leq 6}$ ，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 6}$ B、 ${x | x < - 1}$ C、 ${x | x > 6}$ D、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 6}$

查看试题解析
3. “ $0 < a < 1$ ”是“函数 $f (x) = a^{x} - a$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $R$ 上单调递减”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 下列函数对于任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 成立的是（）

A、 $f (x) = l n x$ B、 $f (x) = x^{2} + 1$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$

查看试题解析
5. 已知曲线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + l n x + \frac{1}{2}$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与抛物线 $x^{2} = a y$ 也相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、0或1

查看试题解析
6. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为 $5 %$ ，乙加工的次品率为 $8 %$ ，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的 $40 %$ ， $60 %$ ，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{12}{17}$

查看试题解析
7. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦点在圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 上，且圆 $O$ 与直线 $l : x - y - 2 b = 0$ 有公共点，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(1, \sqrt{2}]$ C、 $(1, \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{2}, 2]$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，函数 $f (2 x + 3)$ 的图象关于点 $(- 1, 1)$ 对称．若对任意 $x \in R$ ，有 $f (x + 3) = x + f (3 - x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 不为周期函数 B、 $f (x)$ 的图象不关于点 $(1, 1)$ 对称 C、 $g (211) = \frac{1}{2}$ D、 $f (985) = 1$

查看试题解析

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的有（）

A、若角 $α$ 的终边过点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则角 $α$ 的集合是 ${α | α = \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z}$ B、若 $c o s (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n (α + \frac{2 π}{3}) = \frac{3}{5}$ C、若 $t a n α = 2$ ，则 $s i n^{2} α + s i n α c o s α = \frac{6}{5}$ D、若扇形的周长为 $8 c m$ ，圆心角为 $2 r a d$ ，则此扇形的半径是 $4 c m$

查看试题解析
10. 如图所示，点 $E$ 为正方体形木料 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上底面的动点，则下列结论正确的有（）

A、三棱锥 $E - A B C$ 的体积为定值 B、存在点 $E$ ，使 $C E ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ C、不存在点 $E$ ，使 $C E ∥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ D、经过点 $E$ 在上底面上画一条直线 $l$ 与 $C E$ 垂直，若 $l$ 与直线 $B_{1} D_{1}$ 重合，则点 $E$ 为上底面中心

查看试题解析
11. 英国数学家泰勒发现了如下公式：
$s i n x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdot \cdot \cdot$ ， $c o s x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdot \cdot \cdot$ ，
某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（）

A、 $s i n 1 < c o s 1$ B、 $s i n 1 \approx 0.84$ （精确到小数点后两位） C、 $c o s \frac{π}{3} < 1 - \frac{π^{2}}{18}$ D、当 $x > 0$ 时， $s i n x > x - \frac{x^{3}}{6}$

查看试题解析

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. ${(2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中常数项是．（用数字作答）

查看试题解析
13. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似地用函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象来描述，如图所示，则 $f (x) =$ ．

查看试题解析
14. 已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $s i n^{2} B + s i n^{2} C - s i n^{2} A + s i n B s i n C = 0$ ，则 $A =$ ；若 $b = 2$ ， $c = 1$ ， $\vec{B P} = t \vec{B C}$ ， $t \in [0, 1]$ ，则 ${\vec{P C}}^{2} - \vec{B C} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围是．

查看试题解析

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - k (k \in R)$ 有且仅有三个零点，求 $k$ 的取值范围．

查看试题解析
16. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A P = A B = 2 A D = 2 C D$ ， $E$ 为棱 $P C$ 上的动点．

(1)、求证： $B C ⊥ A E$ ；

(2)、若 $\vec{P E} = 2 \vec{E C}$ ，求直线 $D E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
17. 如图所示，已知点 $B (6, - 9)$ ， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，点 $M$ 为线段 $O B$ 上的动点（ $M$ 不与端点 $O, B$ 重合）， $M H ⊥ x$ 轴于点 $H$ ， $M E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $O E$ 与 $M H$ 相交于点 $Q$ ，记动点 $Q$ 的轨迹为 $Γ$ ．

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、点 $A, N$ 是 $Γ$ 上不同的两点， $N$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $N^{'}$ ，记直线 $A N^{'}$ 与 $y$ 轴的交点为 $D (0, y_{0})$ ，直线 $A N$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ．当 $△ P N^{'} N$ 为等边三角形，且 $y_{0} < - 1$ 时，求点 $P$ 到直线 $A D$ 的距离的取值范围．

查看试题解析
18. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数 $y$ 与天数 $x$ 的情况，对统计得到的样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 10)$ 作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{Y}$
$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} Y_{i}$
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75
表中 $Y_{i} = l n y_{i}$ ， $\bar{Y} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10} Y_{i}$ ．
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、依据散点图推断， $y = b x + a$ 与 $y = e^{b x + a}$ 哪一个更适合作为未佩戴头盔人数 $y$ 与天数 $x$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、依据（1）的结果和上表中的数据求出 $y$ 关于 $x$ 的回归方程．

(3)、为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
性别
佩戴头盔
合计
不佩戴
佩戴
女性
8
12
20
男性
14
6
20
合计
22
18
40
依据 $α = 0.10$ 的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？

查看试题解析
19. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c s i n x$ ，其中 $n \in N^{*}$ ， $a, b, c$ 均为实数．

(1)、若 $a = - b = 1$ ， $c = 0$ ， $f (a_{n}) = (a_{n} - a_{n + 1}) f^{'} (a_{n})$ ， $b_{1} = 2$ ， $b_{n} = l n (\frac{a_{n}}{a_{n} - 1})$ ，
（ⅰ）求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（ⅱ）设数列 ${\frac{b_{n}}{(b_{n} - 1) (b_{n + 1} - 1)}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} \geq - n^{2} + n + \frac{2}{3}$ ．

(2)、若 $f (x)$ 为奇函数， $f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 1$ ， $b, c \in Q$ ， $a_{n + 2} = {\begin{array}{l} f (\frac{π}{2} + a_{n + 1}) - \frac{π}{2}, a_{n + 1} < a_{n} \\ f (a_{n + 1}), a_{n + 1} \geq a_{n}, \end{array}$ 且 $a_{2} = 6 a_{1} = 6$ ，
问：当 $n \geq 2$ 时，是否存在整数 $m$ ，使得 $m \leq a_{n}$ 成立．若存在，求出 $m$ 的最大值；若不存在，请说明理由．（附： $s i n 6 \approx - 0.28$ ， $c o s 5.72 \approx 0.85$ ）

查看试题解析

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{Y}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{10} x_{i} Y_{i}$
5.5	8.7	1.9	301	385	79.75

$α$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

性别	佩戴头盔		合计
性别	不佩戴	佩戴
女性	8	12	20
男性	14	6	20
合计	22	18	40