湖南省邵阳市2024届高三下学期第三次联考数学试卷
试卷更新日期:2024-06-03 类型:高考模拟
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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1. 已知复数满足: , 其中是虚数单位,则的值为( )A、 B、1 C、2 D、42. 已知全集 , 集合 , , 如图所示,则图中阴影部分表示的集合是( )A、 B、 C、 D、或3. “”是“函数(且)在上单调递减”的( )A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件4. 下列函数对于任意 , 都有成立的是( )A、 B、 C、 D、5. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切,则实数的值为( )A、0 B、 C、1 D、0或16. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件,甲加工的次品率为 , 乙加工的次品率为 , 加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的 , , 任取一个零件,如果取到的零件是次品,则它是乙工厂加工的概率为( )A、 B、 C、 D、7. 已知双曲线的焦点在圆上,且圆与直线有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为( )A、 B、 C、 D、8. 已知函数及其导函数的定义域均为 , 记 , 函数的图象关于点对称.若对任意 , 有 , 则下列说法正确的是( )A、不为周期函数 B、的图象不关于点对称 C、 D、
二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
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9. 下列说法正确的有( )A、若角的终边过点 , 则角的集合是 B、若 , 则 C、若 , 则 D、若扇形的周长为 , 圆心角为 , 则此扇形的半径是10. 如图所示,点为正方体形木料上底面的动点,则下列结论正确的有( )A、三棱锥的体积为定值 B、存在点 , 使平面 C、不存在点 , 使平面 D、经过点在上底面上画一条直线与垂直,若与直线重合,则点为上底面中心11. 英国数学家泰勒发现了如下公式:
, ,
某数学兴趣小组在研究该公式时,提出了如下猜想,其中正确的有( )
A、 B、(精确到小数点后两位) C、 D、当时,三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
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12. 的展开式中常数项是 . (用数字作答)13. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到:“轻绡剪翅约秋霜,点水低飞恋野塘”,描绘了蜻蜓点水的情形,蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹,截取其中一段水波纹,其形状可近似地用函数的图象来描述,如图所示,则 .14. 已知分别为三个内角的对边,且 , 则;若 , , , , 则的取值范围是 .
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15. 已知函数 .(1)、求函数的单调递增区间;(2)、若函数有且仅有三个零点,求的取值范围.16. 如图所示,四棱锥中,平面 , , , , 为棱上的动点.(1)、求证:;(2)、若 , 求直线与平面所成角的正弦值.17. 如图所示,已知点 , 轴于点 , 点为线段上的动点(不与端点重合),轴于点 , 于点 , 与相交于点 , 记动点的轨迹为 .(1)、求的方程;(2)、点是上不同的两点,关于轴对称的点为 , 记直线与轴的交点为 , 直线与轴的交点为 . 当为等边三角形,且时,求点到直线的距离的取值范围.18. 某市开展“安全随我行”活动,交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼,并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况,对统计得到的样本数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75
表中 , .
参考公式: , , , 其中 .
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(1)、依据散点图推断,与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)、依据(1)的结果和上表中的数据求出关于的回归方程.(3)、为了解佩戴头盔情况与性别的关联性,交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查,得到如下列联表:性别
佩戴头盔
合计
不佩戴
佩戴
女性
8
12
20
男性
14
6
20
合计
22
18
40
依据的独立性检验,能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联?
19. 已知数列 , , 函数 , 其中 , 均为实数.(1)、若 , , , , ,(ⅰ)求数列的通项公式;
(ⅱ)设数列的前项和为 , 求证: .
(2)、若为奇函数, , , 且 ,问:当时,是否存在整数 , 使得成立.若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.(附: , )