河北省沧州市联考2023-2024学年高三下学期4月月考数学试题

试卷更新日期：2024-06-03 类型：月考试卷

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一、､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x ∣ (x - 2) (x + 1) \leq 4}, B = {1, 2, 3, 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2, 3, 4}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${3, 4}$

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2. 设 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 的实部是1，且 $ω = z^{2} + z \cdot \bar{z}$ 的虚部是2，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $2 i$ B、 $i$ C、1 D、2

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3. 若 $p : k = 1$ ， $q :$ 函数 $f (x) = l n \frac{k x - 1}{x + k}$ 为奇函数，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 从 $1, 2, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 20$ 中任取一个数，这个数比 $a$ 大的概率为 $\frac{3}{5}$ ，若 $a$ 恰为以上数据的第 $m$ 百分位数，则 $m$ 的值可能是（）

A、30 B、40 C、45 D、50

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5. 已知函数 $y = s i n^{2} (ω x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{4} (ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上有且仅有3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(\frac{8}{3}, 4)$ C、 $(\frac{8}{3}, 4]$ D、 $(2, 4]$

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6. 已知点 $A (- \sqrt{2}, - \sqrt{2}), B (\sqrt{2}, \sqrt{2}), M$ 是双曲线 $x y = 1$ 上任意一点，则 $| | M A | - | M B | |$ 的值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、与 $M$ 的位置有关

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7. 已知函数 $f (x) = e^{- x}$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $(a_{1}, 0)$ ，在 $x = a_{1}$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $(a_{2}, 0)$ ，依次类推，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = a_{n - 1}$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $(a_{n}, 0)$ ，则 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \frac{1}{a_{3} a_{4}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2023} a_{2024}}$ 的值是（）

A、 $\frac{2025}{2024}$ B、 $\frac{2023}{2022}$ C、 $\frac{2022}{2023}$ D、 $\frac{2023}{2024}$

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8. 设A ， B是一个随机试验中的两个事件且 $P (A) = \frac{1}{2}, P (\bar{B}) = \frac{13}{24}, P (\bar{A} B + A \bar{B}) = \frac{7}{24}$ ，则 $P (\bar{A} B) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{11}{48}$ C、 $\frac{2}{11}$ D、 $\frac{7}{13}$

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二、､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知 $α, β$ 为两个平面，且 $α \cap β = l, m, n$ 是两条不重合的直线，则下列结论正确的是（）

A、存在 $m \subset α$ ，使得 $m ⊥ β$ B、存在 $m \subset α$ ，使得 $m$ $∥$ $β$ C、对任意 $m \subset α$ ，存在 $n \subset β$ ，使得 $m ⊥ n$ D、对任意 $m \subset α$ ，存在 $n \subset β$ ，使得 $m$ $∥$ $n$

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a c o s A = c c o s C$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $a = 2, b = 3, c = \sqrt{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{5}$ C、若 $A = \frac{π}{3}, a = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 周长的最大值为 $3 \sqrt{3}$ D、若角 $A, B$ 满足 $c o s A + A < s i n B + (\frac{π}{2} - B)$ ，则 $A + B < \frac{π}{2}$

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11. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $A$ 在第一象限内，点 $P$ 在 $C$ 的准线上，则下列判断正确的是（）

A、若 $P A$ 与 $C$ 相切，则 $P B$ 也与 $C$ 相切 B、 $∠ A P B \leq \frac{π}{2}$ C、若点 $P$ 在 $x$ 轴上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值 D、若点 $P$ 在 $x$ 轴上，且满足 $| P A | = 4 | P B |$ ，则直线 $l$ 的斜率为 $\frac{5}{3}$

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三、､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 二项式 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x^{3}})}^{7}$ 的展开式中的常数项为.（用数字作答）

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13. 在棱长为 $6$ 的正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 上一点，满足 $D E = 2 A E$ ， $F$ 是 $C D$ 的中点，若 $P$ 为 $△ A B C$ 内一动点（含边界），且 $E P ⊥ B F$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为.

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14. 已知 $x > 0, y > 0, x^{3} + y^{2} - x - 2 y = 0$ ，则 $x + y$ 的最大值是.

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四、､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 某市小学课后延时服务中，为学生提供了丰富多彩的兴趣课程，其中文艺类的课程有“书法”“茶艺”“民族舞”“朗诵”，体育类的课程有“乒乓球”“足球”“韵律操”“围棋”.为了了解选课情况，现在采取抽样调查，得到下表：

文娱类
体育类

书法
茶艺
民族舞
朗诵
乒乓球
足球
韵律操
围棋
男生
18
7
8
7
20
24
4
12
女生
24
14
18
14
18
10
14
8
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、完成如下 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析学生选择兴趣课程是否与学生性别有关联；

文娱类
体育类
合计
男生
女生
合计

(2)、该市教育主管部门为进一步了解男生选课的情况，现从抽取的男生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10位男生中随机抽取3人进行座谈，设抽到的男生中选择“文娱类”兴趣课程的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望.

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，△ $A B C$ 为边长为2的正三角形， $A A_{1} = 3, D$ 为 $A C$ 中点，点 $E$ 在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C E = λ C C_{1}, 0 < λ < 1$ .

(1)、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，求证 $A_{1} E ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、设 $O_{1}$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，求直线 $C O_{1}$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时 $λ$ 的值.

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17. 如图，椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A (2, 0)$ ，上顶点为 $B (0, 1)$ ，过点 $P (2, 1)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $Γ$ 于 $C, D$ 两点.

(1)、若直线 $l$ 与 $A B$ 垂直，求 $| C D |$ ；

(2)、过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，分别交直线 $A B$ 和 $A C$ 于 $E, F$ ，记 $△ A D E, △ A E F$ 的面积分别是 $S_{1}, S_{2}$ ，判断 $| S_{1} - S_{2} |$ 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由.

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18. 抽屉原则是德国数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805~1859）首先提出来的，也称狄利克雷原则. 它有以下几个基本表现形式（下面各形式中所涉及的字母均为正整数）：
形式1：把 $n + 1$ 个元素分为 $n$ 个集合，那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素.
形式2：把 $n m + 1$ 个元素分为 $n$ 个集合，那么必有一集合中含有 $m + 1$ 个或 $m + 1$ 个以上的元素.
形式3：把无穷多个元素分为有限个集合，那么必有一个集合中含有无穷多个元素.
形式4：把 $n$ 个元素分为 $k$ 个集合，那么必有一个集合中的元素个数 $\geq \frac{n}{k}$ ，也必有一个集合中的元素个数 $\leq [\frac{n}{k}]$ .（注：若 $x \in R$ ，则 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $x$ 表示不小于 $x$ 的最小整数）. 根据上述原则形式解决下面问题：

(1)、①举例说明形式1；
②举例说明形式3，并用列举法或描述法表示相关集合.

(2)、证明形式2；

(3)、圆周上有2024个点，在其上任意标上 $1, 2, 3, ⋯, 2024$ （每点只标一个数，不同的点标上不同的数）.
①从上面这2024个数中任意挑选1013个数，证明在这1013个数中一定有两个数互质；（若两个整数的公约数只有1，则这两个整数互质）
②证明：在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} l n x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $y = f (x) - t$ 有两个不相等的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .
①证明： $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 随 $t$ 的增大而减小；
②证明： $x_{2} - x_{1} < (e + 1) t + 1$ .

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	文娱类				体育类
	书法	茶艺	民族舞	朗诵	乒乓球	足球	韵律操	围棋
男生	18	7	8	7	20	24	4	12
女生	24	14	18	14	18	10	14	8

$α$	0.10	0.05	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828