河北省名校联盟2024届高三下学期4月第二次联考数学试题

试卷更新日期：2024-06-03 类型：月考试卷

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一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | x = 3 n - 1, n \in Z}, B = {x | 0 < x < 6}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1, 4}$ B、 ${1, 5}$ C、 ${2, 4}$ D、 ${2, 5}$

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2. 已知椭圆E： $x^{2} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ 经过点 $(\frac{1}{2}, \sqrt{3})$ ，则E的长轴长为

A、1 B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 已知 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{3} | \vec{b} |$ ，且 $⟨ \vec{a}, \overset{⇀}{b} ⟩ = \frac{5 π}{6}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ B、 $- 3 \vec{a}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{a}$ D、 $3 \vec{a}$

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4. 已知 $a = s i n 0.5, b = 3^{0.5}, c = l o g_{0.3} 0.5$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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5. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 $a, b, m (m > 0)$ 为整数，若 $a$ 和 $b$ 被 $m$ 除得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (m o d m)$ ．若 $a = C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + ⋯ + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}, a \equiv b (m o d 9)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、2018 B、2020 C、2022 D、2024

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6. 已知实数 $x, y$ 满足 $m x^{2} + 2 y^{2} = 4 (m > 0)$ ，若 $| x + 2 y |$ 的最大值为4，则 $m =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望 $E (X) =$ （）

A、 $\frac{21}{16}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{15}{8}$

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{2} D_{1}$ 的棱长为 $2, P$ 为线段 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $P - B C D$ 外接球半径的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{29}}{4}, 2]$ B、 $[\frac{\sqrt{21}}{4}, \sqrt{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{11}}{1}, \sqrt{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{7}}{4}, \sqrt{3}]$

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C : (x - a)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ ， $a \in R$ ，则( )

A、两圆的圆心距 $| O C |$ 的最小值为1 B、若圆O与圆C相切，则 $a = \pm 2 \sqrt{2}$ C、若圆O与圆C恰有两条公切线，则 $- 2 \sqrt{2} < a < 2 \sqrt{2}$ D、若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2

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10. 设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）
A 若 $(1 + i) z = - i$ ，则 $| z | = 1$

A、对任意复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，有 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$ B、对任意复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，有 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ C、在复平面内，若 $M = {z | | z - 2 | \leq 2}$ ，则集合M所构成区域的面积为 $6 π$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内的一点，点E是线段 $C C_{1}$ 上的一点，则下列说法正确的是（）

A、当点P是线段 $A_{1} D$ 的中点时，存在点E，使得 $A_{1} E ⊥$ 平面 $P B_{1} D_{1}$ B、当点E为线段 $C C_{1}$ 的中点时，过点A，E， $D_{1}$ 的平面截该正方体所得的截面的面积为 $\frac{9}{4}$ C、点E到直线 $B D_{1}$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ D、当点E为棱 $C C_{1}$ 的中点且 $P E = 2 \sqrt{2}$ 时，则点P的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分

12. 已知 $b > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{a + 4^{b x}}{2^{x}}$ 是奇函数，则 $a =$ ， $b =$ .

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13. 已知 $A (- 1, 0), B (- 4, 0), | P B | = 2 | P A |$ ，若平面内满足到直线 $l : 3 x + 4 y + m = 0$ 的距离为1的点P有且只有3个，则实数 $m =$ ．

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ （公差不为0）和等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，如果关于 $x$ 的实系数方程 $1003 x^{2} - S_{1003} x + T_{1003} = 0$ 有实数解，则以下1003个方程 $x^{2} - a_{i} x + b_{i} = 0 (i = 1, 2, ⋯, 1003)$ 中，有实数解的方程至少有个.

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四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，E为以BC为直径的半圆弧上一点，平面 $A B C D ⊥$ 平面BCE ， O为BC的中点，M为CE的中点， $B E = A B = A D = D C = 2$ ， $B C = 4$ ．

(1)、求证： $D M ∥$ 平面ABE；

(2)、求平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值．

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16. 用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则

(1)、在数字1，3相邻的条件下，求数字2，4，6也相邻的概率；

(2)、对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - x + a s i n x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in (0, π)$ 时， $f (x) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于A、B两点， $O$ 为坐标原点，且 $O A ⊥ O B$ ， $O P ⊥ A B$ ，垂足为点 $P$ ．

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、求 $△ O A B$ 面积的取值范围．

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19. 设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系 $f$ ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 $f$ ： $A \to B$ 为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作 $\bar{\bar{A}} = \bar{\bar{B}}$ .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作 $\bar{\bar{A}} \neq \bar{\bar{B}}$ .
例如：对于集合 $A = N^{*}$ ， $B = {2 n | n \in N^{*}}$ ，存在一一对应关系 $y = 2 x (x \in A, y \in B)$ ，因此 $\bar{\bar{A}} = \bar{\bar{B}}$ .

(1)、已知集合 $C = {(x, y) | x^{2} + y^{2} = 1}$ ， $D = {(x, y) Unsupported character | \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1}$ ，试判断 $\bar{\bar{C}} = \bar{\bar{D}}$ 是否成立?请说明理由；

(2)、证明：① $\bar{\bar{(0, 1)}} = \bar{\bar{(- \infty, + \infty)}}$ ；
② $\bar{\bar{N^{*}}} \neq \bar{\bar{{x | x \subseteq N^{*}}}}$ .

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