江西省八校协作2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

试卷更新日期：2024-06-03 类型：月考试卷

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一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 下列命题为真命题的是（）

A、小于 $9 0^{°}$ 的角都是锐角 B、钝角一定是第二象限角 C、第二象限角大于第一象限角 D、若 $c o s θ < 0$ ，则 $θ$ 是第二或第三象限的角（）

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (x, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、-4 B、2 C、4 D、8

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3. 已知 $(1 - i) z = 2$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 s i n (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 s i n (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$

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5. 已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，且 $\vec{A O} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $\frac{11}{18}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{13}{18}$ D、 $\frac{7}{9}$

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6. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x + φ - \frac{π}{3}) (| φ | < \frac{π}{2})$ 是偶函数，要得到函数 $g (x) = s i n 2 x$ 的图象，只需将函数 $f (x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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7. 下列函数中同时具有性质：①最小正周期是π，②图象关于点 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ 对称，③在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上为减函数的是（）

A、 $y = s i n (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ B、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = c o s (2 x - \frac{π}{6})$

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8. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (c o s θ, s i n θ)$ ，则下列说法错误的是（）

A、存在 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，使得 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、存在 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，使得 $\vec{a} / / \vec{b}$ C、对于任意 $θ \in (0, \frac{π}{2}), \vec{a} \cdot \vec{b} \in (1, 2]$ D、对于任意 $θ \in (0, \frac{π}{2}), | \vec{a} - \vec{b} | \in [1, \sqrt{3})$

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二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（）

A、 $a = 7, b = 14, A = 3 0^{°}$ ，有两解 B、 $a = 30, b = 25, A = 15 0^{°}$ ，有一解 C、 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{6}, A = 6 0^{°}$ ，无解 D、 $a = 6, b = 9, A = 4 5^{°}$ ，有两解

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10. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边BC上，且 $C D = 2 D B$ ，点 $E$ 在AD上，且 $\vec{A D} = 3 \vec{A E}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ B、 $\vec{C E} = \frac{1}{3} \vec{A D} - \vec{A C}$ C、 $\vec{C E} = \frac{2}{9} \vec{A B} + \frac{8}{9} \vec{A C}$ D、 $\vec{C E} = \frac{2}{9} \vec{A B} - \frac{8}{9} \vec{A C}$

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11. 关于函数 $f (x) = {\begin{array}{l} s i n x, s i n x ⩽ c o s x, \\ c o s x, s i n x > c o s x, \end{array}$ 下列说法正确的是（）

A、该函数是以 $π$ 为最小正周期的周期函数 B、当且仅当 $x = π + k π (k \in Z)$ 时，该函数取得最小值-1 C、该函数的图象关于 $x = \frac{5 π}{4} + 2 k π (k \in Z)$ 对称 D、当且仅当 $2 k π < x < \frac{π}{2} + 2 k π (k \in Z)$ 时， $0 < f (x) ⩽ \frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ，则 $| \vec{a} | =$ .

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13. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = \frac{2}{5}$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{4}) =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为 $a, b, c, c o s^{2} A = s i n^{2} B + c o s^{2} C + s i n A s i n B, c = \sqrt{3}, a = 1$ ，则 $C =$ ； $△ A B C$ 的面积为.

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四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $a = 2 \sqrt{2}, A = 4 5^{°}, B = 3 0^{°}$ ，解这个三角形.

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16. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (- 2, 1)$ .

(1)、求 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $c o s θ$ 的值；

(3)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + k \vec{b}$ 互相平行，求 $k$ 的值.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n^{2} x + c o s^{2} x - 2 s i n (π - x) c o s (π + x)}{s i n (\frac{9 π}{2} - x) - c o s (\frac{13 π}{2} + x)}$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{12})$ 的值；

(2)、已知 $f (α) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $s i n 2 α$ 的值.

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18. 已知向量 $\vec{m} = (2 c o s ω x, - 1), \vec{n} = (s i n ω x - c o s ω x, 2)$ ，其中 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + 3$ ，若函数 $f (x)$ 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知向量 $\vec{m} = (a, \sqrt{3} b), \vec{n} = (c o s A, s i n B)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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