新疆乌鲁木齐101中2023-2024学年高三（下）月考数学试卷（4月份）

试卷更新日期：2024-06-03 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合 $A = {x | x \leq a}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x < 0}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则 $a$ 的取值范围是( )

A、 $a \geq 5$ B、 $a \geq 4$ C、 $a < 5$ D、 $a < 4$

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2. 若复数 $z$ 满足方程 $z = (z + 1) i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点在（）．

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1：3：6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（）

A、30 B、40 C、60 D、80

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4. 已知对任意实数 $x$ ，有 $f (- x) = - f (x)$ ， $g (- x) = g (x)$ ，且 $x < 0$ 时，导函数分别满足 $f^{'} (x) > 0$ ， $g^{'} (x) < 0$ ，则 $x > 0$ 时，成立的是( )

A、 $f^{'} (x) > 0$ ， $g^{'} (x) < 0$ B、 $f^{'} (x) > 0$ ， $g^{'} (x) > 0$ C、 $f^{'} (x) < 0$ ， $g^{'} (x) < 0$ D、 $f^{'} (x) < 0$ ， $g^{'} (x) > 0$

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5. 若直线 $y = k x + 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 总有公共点，则 $m$ 的取值范围是( )

A、 $m > 1$ B、 $m \geq 1$ 或 $0 < m < 1$ C、 $0 < m < 5$ ，且 $m \neq 1$ D、 $m \geq 1$ ，且 $m \neq 5$

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6. 若函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + a x - 1$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围（）

A、 $a \geq \frac{1}{3}$ B、 $a \leq \frac{1}{3}$ C、 $a > \frac{1}{3}$ D、 $a < \frac{1}{3}$

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7. 已知 $c o s 2 α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $s i n α =$ （）（ $α$ 是 $2 α$ 的半角）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $- S_{2}$ ， $2 S_{5}$ ， $S_{7}$ 成等差数列，且 $a_{2} a_{5} = 3 a_{4}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{32}$ C、 $\pm \frac{3}{16}$ D、 $\frac{3}{16}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 经过抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，则下列结论中正确的是( )

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 10$ B、 $△ A O B$ 面积的最小值为 $8$ C、以焦半径 $A F$ 为直径的圆与直线 $x = 0$ 相切 D、 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |} = \frac{1}{4}$

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10. 下面命题正确的是（）

A、不等式 $x^{2} - (2 m - 1) x + (m^{2} - m) < 0$ 的解集为 $(m - 1, m)$ B、不等式 $\frac{x - m}{x - (m - 1)} \leq 0$ 的解集为 $[m - 1, m]$ C、不等式 $m x^{2} - m x - 1 < 0$ 在 $1 \leq x \leq 3$ 是恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为 $(- \infty, \frac{1}{6})$ D、函数 $f (x) = x^{2} - m x + 4$ 在区间 $(1, 5)$ 内有一个零点，则实数 $m$ 的范围为 $(5, \frac{29}{5})$

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11. 已知事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = 0.6$ ， $P (B) = 0.2$ ，则下列结论正确的是( )

A、 $P (\bar{A}) = 0.8, P (\bar{B}) = 0.4$ B、如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P (A \cup B) = 0.6$ C、如果 $A$ 与 $B$ 互斥，那么 $P (A ⋃ B) = 0.8$ D、如果 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $P (\bar{A} \cdot \bar{B}) = 0.32$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 6, | \vec{b} | = 4$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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13. 若一个正 $n$ 棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为 ${2, 3}$ ，则 $n$ 的最小值为

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + t a n θ x + 3$ ， $(θ \neq \frac{π}{2})$ 在区间 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, 1]$ 上的单调函数，其中 $θ$ 是直线l的倾斜角，则 $θ$ 的所有可能取值区间为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. $△ A B C$ 中的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $4 b = \sqrt{5} a$ ， $A = 2 B$ .

(1)、求 $c o s A$ ；

(2)、若 $b = 5$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 上一点，且 $A D = 7$ ，求 $△ B C D$ 的面积.

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16. 已知正项数列 ${a_{n}} (n \in N_{+})$ 中， $a_{3} = 5$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 ▲ ．请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答．
条件：① $a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ ；② $n (a_{n} + 1) = 2 S_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{{(a_{n} + 1)}^{2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A C = 2$ ，点 $E$ 在 $P D$ 上，且 $P E = 2 E D$ ．

(1)、在棱 $P C$ 上是否存在一点 $F$ ，使得 $B F / /$ 平面 $A E C$ ？若存在，求点 $F$ 的位置，若不存在，请说明理由；

(2)、求二面角 $D - A C - E$ 的平面角的大小．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C$ 的顶点在原点，且该抛物线经过点 $A (2, 2)$ ，其焦点 $F$ 在 $x$ 轴上.

(1)、求过点 $F$ 且与直线 $O A$ 垂直的直线的方程；

(2)、设过点 $M (m, 0) (m > 0)$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $D$ ， $E$ 两点， $| M E | = 2 | D M |$ ，求 $\frac{{| D E |}^{2} + 1}{| O M |}$ 的最小值.

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19. 设函数 $f (x) = x (x^{2} - 3 x + a)$ ， $a \in R$

(1)、当 $a = - 9$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上为减函数，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数在区间 $(0, 2)$ 内存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | > | f (x_{1}) + f (x_{2}) |$ ，求 $a$ 的取值范围.

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