重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一（下）质检数学试卷

试卷更新日期：2024-06-03 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数 $\frac{2}{1 + 3 i}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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2. 已知两点 $A (4,1)$ ， $B (7, - 3)$ ，则与向量 $\vec{A B}$ 同向的单位向量是( )

A、 $\pm (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ B、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5}$

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3. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，下列命题中正确的是( )

A、 $\vec{A B} = \vec{B C}$ B、 $\vec{A B} = \vec{C D}$ C、 $\vec{A C} = \sqrt{2} \vec{A B}$ D、 $| \vec{A C} | = | \vec{B D} |$

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4. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 - i} - \frac{i}{1 + i} = 1 ，$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 + i$ B、 $- 2 - i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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5. 在边长为 $1$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = \frac{π}{3}$ ，若点 $P$ ， $Q$ 满足 $\vec{B P} = α \vec{B C}$ ， $\vec{D Q} = β \vec{D C}$ ，其中 $α$ ， $β > 0$ 且 $α + β = 1$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最大值为( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $3$ C、 $\frac{13}{8}$ D、 $\frac{7}{4}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $A B$ 上， $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ， $| \vec{C B} | = 4$ ，则 $\vec{C B} \cdot \vec{C D} =$ ( )

A、 $8$ B、 $10$ C、 $12$ D、 $16$

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7. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点 $.$ 点 $P$ 从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是 $5$ 且落在整点处 $.$ 则点 $P$ 到达点 $Q (33,33)$ 所跳跃次数的最小值是( )

A、 $9$ B、 $10$ C、 $11$ D、 $12$

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8. 已知平面内一正三角形 $A B C$ 的外接圆半径为 $4$ ，在三角形 $A B C$ 中心为圆心 $r (0 < r \leq 1)$ 为半径的圆上有一个动点 $M$ ，则 $| \vec{M A} + \vec{M B} + 3 \vec{M C} |$ 最大值为( )

A、 $13$ B、 $\sqrt{89}$ C、 $5 \sqrt{11}$ D、 $\sqrt{11} + 6$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知复平面内表示复数： $z = m + 1 + (m - 1) i (m \in R)$ 的点为 $M$ ，则下列结论中正确的为( )

A、若 $z \in R$ ，则 $m \neq 1$ B、若 $M$ 在直线 $y = 2 x$ 上，则 $m = 3$ C、若 $z$ 为纯虚数，则 $m = - 1$ D、若 $M$ 在第四象限，则 $- 1 < m < 1$

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10. 已知复数 $z_{1} = 2 - i ， z_{2} = 2 i$ 则（）

A、 $z_{2}$ 是纯虚数 B、 $z_{1} - z {}_{2}$ 对应的点位于第二象限 C、 $| z_{1} + z_{2} | = 3$ D、 $| z_{1} z_{2} | = 2 \sqrt{5}$

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11. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 1 ， A C = 4 ， B C = \sqrt{13} ， D$ 在 $B C$ 上， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线， $E$ 为 $A C$ 中点，下列结论正确的是（）

A、 $B E = \sqrt{3}$ B、 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、 $A D = \frac{4 \sqrt{2}}{5}$ D、 $P$ 在 $△ A B E$ 的外接圆上，则 $P B + 2 P E$ 的最大值为 $2 \sqrt{7}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知向量 $\vec{a} = (3,4)$ ，则与 $\vec{a}$ 同向的单位向量为．

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13. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，满足 $\frac{c o s A}{a} + \frac{c o s B}{b} = \frac{s i n C}{c}$ ，则 $\frac{s i n C}{s i n A s i n B} =$ ．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2$ ， $b c o s C - c c o s B = 4$ ， $\frac{π}{4} \leq C \leq \frac{π}{3}$ ，则 $t a n A$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 在锐角 $△ A B C$ 中，已知 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $2 a - c = 2 b c o s C$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $3 a + 2 c$ 的取值范围．

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16. 在复平面内复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 所对应的点为 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $i$ 是虚数单位．

(1)、 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = 3 - 4 i$ ，计算 $z_{1} \cdot z_{2}$ 与 $\vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}}$ ；

(2)、设 $z_{1} = a + b i$ ， $z_{2} = c + d i (a, b, c, d \in R)$ ，求证： $| \vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}} | \leq | z_{1} \cdot z_{2} |$ ，并指出向量 $\vec{O Z_{1}}$ 、 $\vec{O Z_{2}}$ 满足什么条件时该不等式取等号．

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17. 设 $△ A B C$ 的外接圆半径是 $\frac{1}{2}, A, C$ 均为锐角，且 $| A C | = | A B |^{2} + | B C |^{2}$ ．

(1)、证明： $△ A B C$ 不是锐角三角形；

(2)、证明：在 $△ A B C$ 的外接圆上存在唯一的一点 $D$ ，满足对平面上任意一点 $P$ ，有 $| \vec{P A} |^{2} - | \vec{P B} |^{2} = | \vec{P D} |^{2} - | \vec{P C} |^{2}$ ．

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a c o s C + \sqrt{3} a s i n C - b - c = 0$ ．

(1)、若 $a = 3,2 \vec{B D} = \vec{D C}$ ，求 $A D$ 的取值范围；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别在等边 $△ D E F$ 的边 $D E$ ， $E F$ ， $F D$ 上 $($ 不含端点 $) .$ 若 $△ D E F$ 面积的最大值为 $7 \sqrt{3}$ ，求 $c$ ．

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19. 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．
形如 $z = a + b i (a, b \in R)$ 的数称为复数，其中 $a$ 称为实部， $b$ 称为虚部， $i$ 称为虚数单位， $i^{2} = - 1 .$ 当 $b = 0$ 时， $z$ 为实数；当 $b \neq 0$ 且 $a = 0$ 时， $z$ 为纯虚数 $.$ 其中 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，叫做复数 $z$ 的模．
设 $z_{1} = a + b i$ ， $z_{2} = c + d i$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d \in R$
$z_{1} = z_{2} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a = c \\ b = d \end{array}$
如图，点 $Z (a, b)$ ，复数 $z = a + b i$ 可用点 $Z (a, b)$ 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， $x$ 轴叫做实轴， $y$ 轴叫做虚轴 $.$ 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 $.$ 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
一般地，任何一个复数 $z = a + b i$ 都可以表示成 $r (c o s θ + i s i n θ)$ 的形式，即 $\{\begin{array}{l} a = r c o s θ \\ b = r s i n θ \end{array}$ ，其中 $r$ 为复数 $z$ 的模， $θ$ 叫做复数 $z$ 的辐角，我们规定 $0 \leq θ < 2 π$ 范围内的辐角 $θ$ 的值为辐角的主值，记作 $a r g z$ ．
$r (c o s θ + i s i n θ)$ 叫做复数 $z = a + b i$ 的三角形式．

(1)、设复数 $z_{1} = r_{1} (c o s α + i s i n α)$ ， $z_{2} = r_{2} (c o s β + i s i n β)$ ，求 $z_{1} \cdot z_{2}$ 、 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 的三角形式；

(2)、设复数 $z_{3} = 1 - c o s θ + i s i n θ$ ， $z_{4} = 1 + c o s θ + i s i n θ$ ，其中 $θ \in (π, 2 π)$ ，求 $a r g z_{3} + a r g z_{4}$ ；

(3)、在 $△ A B C$ 中，已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应边 $.$ 借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
$① \frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ ；
$② a = b c o s C + c c o s B$ ， $b = a c o s C + c c o s A$ ， $c = a c o s B + b c o s A$ ．

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