新疆乌鲁木齐市第61中学2024届高三下学期5月月考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-03 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = l o g_{2} (x + 4) - 2$ ，则 $f (- 4) =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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2. 已知集合 $A = {x | x > 2}$ ， $B = {x | x < 2 m}$ ，且 $∁_{R} B \subseteq A$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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3. 已知 $i$ 为虚数单位， $a$ 为实数，复数 $z = (a - 2 i) (1 + a i)$ 在复平面内对应的点为 $Z$ ，则“ $1 \leq a < \sqrt{2}$ ”是“点 $Z$ 在第四象限”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视人数分别为（）

A、 $600, 72$ B、 $1200, 90$ C、 $1200, 300$ D、 $600, 80$

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5. 已知椭圆 $C : x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，直线 $l : y = x + m$ ，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（）

A、 $(- \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3})$ B、 $(- \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $(- \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

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6. 函数 $f (x) = a x + c o s x$ 在 $R$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- ∞, - 1] \cup [1, + ∞)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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7. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q ，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n + 1}, S_{n}, S_{n + 2}$ 成等差数列，则q的值为（）.

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 设 $5 π < θ < 6 π$ ， $c o s \frac{θ}{2} = a$ ，则 $s i n \frac{θ}{4}$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{1 + a}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{1 - a}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{1 + a}}{2}$ D、 $- \sqrt{\frac{1 - a}{2}}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则下列结论中正确的是（）

A、两人都投中的概率为0.72 B、至少一人投中的概率为0.88 C、至多一人投中的概率为0.26 D、恰好有一人投中的概率为0.26

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10. 已知圆锥的母线长为6，侧面积为 $18 π$ ，则下列说法正确的是（）

A、该圆锥的体积为 $9 \sqrt{3} π$ B、该圆锥的内切球的体积为 $2 \sqrt{3} π$ C、该圆锥的外接球的表面积为 $48 π$ D、该圆锥的内接正方体的棱长为 $12 \sqrt{3} - 18$

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11. 函数 $f (x) = (x^{2} - a x - 1) (x - b)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ，则 $a b$ 的取值可以是（）

A、0 B、1 C、－1 D、 $- \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。

12. 已知 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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13. 光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为 $\frac{9}{10}$ ，则 $\vec{H E} + \vec{F B} + \frac{1}{9} \vec{D C} =$ ．

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14. 已知直线 $y = x$ 与圆C： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 11$ 相交于A，B两点，则|AB|＝．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 2 a_{2}$ ， $S_{3} = a_{2}^{2}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \frac{1}{a_{3}^{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n}^{2}} < 1 (n \in N^{*})$ ．

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16.

(1)、用两种以上的方法证明正弦定理．

(2)、仿照正弦定理的证法证明 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} a b s i n C$ ，并运用这一结论解决下面的问题：
①在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $C = 150 °$ ，求 $S_{△ A B C}$ ；
②在 $△ A B C$ 中，已知 $c = 10$ ， $A = 45 °$ ， $C = 30 °$ ，求b和 $S_{△ A B C}$ ；

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17. 如图，在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $E$ 是 $A_{1} C$ 的中点， $D$ 是线段 $A C$ 上的点， $A_{1} C ⊥ E D$ ， $A_{1} A = A B = \frac{\sqrt{2}}{2} B C$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $E B D$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $B C E$ 所成角的正弦值.

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18. 如图， $A_{1}, A$ 为椭圆的两个顶点， $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆的两个焦点．

(1)、求椭圆的方程及离心率；

(2)、过线段 $O A$ 上异于O ， A的任一点K作 $O A$ 的垂线，交椭圆于P ， $P_{1}$ 两点，直线 $A_{1} P$ 与 $A P_{1}$ 交于点M ．求证：点M在双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a x^{2}}{1 + x}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性．

(2)、若 $f (x)$ 有三个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ．
①求 $a$ 的取值范围；
②求证： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > - 2$ ．

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新疆乌鲁木齐市第61中学2024届高三下学期5月月考 数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。

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