2024年广东省数学八（下）期末复习：精选压轴题（3）

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，一次函数 $y = x + 4$ 的图象分别与x轴、y轴交于 $A ， B$ 两点，过原点O作 $O A_{1}$ 垂直于直线 $A B$ 交 $A B$ 于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1}$ 垂直于x轴于点 $B_{1}$ ，过点 $B_{1}$ 作 $B_{1} A_{2}$ 垂直于直线 $A B$ 交 $A B$ 于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 过点作 $A_{2} B_{2}$ 垂直于x轴于点 $B_{2}$ ……依此规律作下去，则点 $A_{5}$ 的坐标是（）

A、 $(- \frac{15}{4} ， \frac{1}{4})$ B、 $(\frac{15}{4} ， \frac{1}{4})$ C、 $(- \frac{7}{2} ， \frac{1}{8})$ D、 $(- \frac{31}{8} ， \frac{1}{8})$

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2. 如图1所示，四边形 $A B C D$ 为正方形，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，动点 $P$ 在正方形的边和对角线上匀速运动．如果点 $P$ 运动的时间为 $x$ ，点 $P$ 与点 $A$ 的距离为 $y$ ，且表示 $y$ 与 $x$ 的函数关系的图象大致如图2所示，那么点 $P$ 的运动路线可能为（）

A、 $A \to B \to C \to D$ B、 $A \to B \to C \to A$ C、 $A \to C \to B \to D$ D、 $A \to B \to D \to A$

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3.
由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（　　）

A、1 B、3 C、4﹣2 $\sqrt{3}$ D、4+2 $\sqrt{3}$

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4. 如图，点B ， C ， E在同一直线上，分别以 $B C ， C E$ 为边作正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ ， $B C = 2 ， C E = 4$ ， H是 $A F$ 的中点，那么 $C H$ 的长是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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5. 一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象如图所示，点 $A (- 1 ， 4)$ 在该函数的图象上，则不等式 $k x + b > 4$ 的解集为（）

A、 $x \geq - 1$ B、 $x < - 1$ C、 $x \leq - 1$ D、 $x > - 1$

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6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝ $\frac{1}{3}$ x都经过点A（3，1），当kx+b＜ $\frac{1}{3}$ x时，x的取值范围是（）

A、x＞3 B、x＜3 C、x＜1 D、x＞1

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，把矩形沿对角线 $B D$ 所在直线折叠，使点 $A$ 落在点 $E$ 处， $D E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $C E$ ．则以下结论：① $∠ B E D = 90 °$ ， ② $D E = 4$ ， ③ $∠ B D E = 30 °$ ， ④ $△ C E F$ 是等腰三角形，其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 一次函数y＝ax＋b与y＝cx＋d的图象如图所示，下列说法：
① 对于函数y＝－ax＋b来说，y随x的增大而增大； ②函数y＝ax＋d不经过第四象限；③不等式ax－d≥cx－b的解集是x≥4；④ 4(a－c)＝d－b。其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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9. 一张矩形纸片 $A B C D$ ，已知 $A B = 6$ ， $A D = 4$ ，小明按如图所示的步骤折叠纸片，则 $D G$ 的长为（）

A、4 B、2 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，点P是边 $C D$ 上的动点，点Q是边 $B C$ 上的定点，连接 $A P ， P Q$ ， $E ， F$ 分别是 $A P ， P Q$ 的中点，连接 $E F$ .点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（）

A、保持不变 B、逐渐变小 C、先变大，再变小 D、逐渐变大

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11. 如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S_{四边形BDEF}＝ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ；④S_△_AEF＝ $\sqrt{3}$ .其中正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 一根长 $30 c m$ 、宽 $3 c m$ 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠，为了美观，希望折叠完成后， $P A = P B$ ，则最初折叠时， $O N$ 的长为（）

A、 $7.5 c m$ B、 $12.5 c m$ C、 $10.5 c m$ D、 $13.5 c m$

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13. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $a$ 的解析式为 $y = \sqrt{3} x + 1$ ，直线 $b$ 的解析式为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，直线 $a$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，以 $O A$ 为边作第一个等边三角形 $Δ O A B$ ，交直线 $b$ 于点 $B$ ，过点 $B$ 作 $y$ 轴的平行线交直线 $a$ 于点 $A_{1}$ ，以 $A_{1} B$ 为边作第二个等边三角形△ $A_{1} B B_{1}$ ，交直线 $b$ 于点 $B_{1}$ ， $\dots$ ，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（）

A、 $2^{2019}$ B、 $2^{2000}$ C、4038 D、4040

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二、填空题

14. 如图，正方形 $A B C D$ 中，在 $A D$ 的延长线上取点 $E ， F ，$ 使 $D E = A D ， D F = B D$ ，连接 $B F$ 分别交 $C D ，$ $C E$ 于 $H ， G$ ，下列结论：
① $E C = 2 D G$ ；② $∠ G D H = ∠ G H D$ ；③ $S_{Δ C D G} = S_{四边形 D H G E}$ ；④图中有8个等腰三角形．
其中正确的有 (填序号)，

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15. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中，动点P从点B出发，沿 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 运动至点A停止，设点P运动的路程为 $x$ ， $△ A B P$ 的面积为 $y$ ，如果 $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图2所示，则矩形 $A B C D$ 的周长是．

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16. 如图，在平面直角坐标系xOy中， $△$ ABC的顶点B，C的坐标分别为(- $\sqrt{2}$ ， 0)，(2 $\sqrt{2}$ ， 0)，点A在y轴上，点D为AC的中点，DE⊥AB于点E，若∠ABD＝∠DBC，则DE＝．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 的交点为 $O$ ，矩形的长、宽分别为 $7 c m$ 、 $4 c m$ ， $E F$ 过点 $O$ 分别交 $A B$ 、 $C D$ 于 $E$ 、 $F$ ，那么图中阴影部分面积为 $c m^{2}$ ．

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18. 如图，已知平面直角坐标系中有一点 $A (3 ， 3)$ ，且一次函数 $y = - x + 2$ 与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，在直线 $B C$ 上存在一动点M，连接 $O M$ ， $A M$ ，当点M运动到 $O M + A M$ 最短时， $A M$ 的长度是．

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19. 如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿着C→A→D运动至终点D ，设点P运动的路程为x ， △BCP的面积为y ，若y与x的函数图象如图2所示，则图中 $a$ 的值为．

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20. 如图，在边长为 $a$ 的等边 $△ A B C$ 中，分别取 $△ A B C$ 三边的中点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，得 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；再分别取 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 三边的中点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ，得 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；这样依次下去 $\dots$ ，经过第 $2022$ 次操作后得 $△ A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ ，则 $△ A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ 的面积为．

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21. 菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上. ∠ABC＝120°，点A(－6，0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则△PDE周长的最小值是 .

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三、解答题

22. 如图1，点C、D是线段AB同侧两点，且AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，连接BC，AD交于点E.

(1)、求证：AE＝BE；

(2)、如图2，△ABF与△ABD关于直线AB对称，连接EF.
①判断四边形ACBF的形状，并说明理由；
②若∠DAB＝30°，AE＝5，DE＝3，求线段EF的长.

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23. 已知，如图①，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = B C = 4$ $\sqrt{5}$ ，点E为 $C D$ 上的一动点，连接 $B E$ ，过点C作 $C H ⊥ B E$ 于点H ，以 $C H$ 为腰作等腰直角 $△ H C G ， ∠ H C G = 90 ° ，$ 连接 $D H$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 为正方形；

(2)、如图②，当D ， H ， G三点共线时，求 $D H^{2} + D G^{2}$ 的值；

(3)、求 $D H$ 的最小值．

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24. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，连接 $A E$ ，且 $∠ B A E = 30 °$ ，点 $F$ 是 $A E$ 的中点．

(1)、求 $A E$ 的长；

(2)、过点 $F$ 作直线 $G H$ ，分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $G$ ， $H$ ，且 $G H = A E$ ，求 $A G$ 的长；

(3)、如图2，过点 $F$ 作 $A E$ 的垂线，分别交 $A B$ ， $B D$ ， $C D$ 于点 $M$ ， $O$ ， $N$ ，连接 $O E$ ，求 $∠ A E O$ 的度数．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - 3 x + 3$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A C$ ，过点B，C作直线，交x轴于点D．

(1)、点C的坐标为▲；求直线 $B C$ 的表达式；

(2)、若点E为线段 $B C$ 上一点，且△ABE的面积为 $\frac{5}{2}$ ，求点E的坐标；

(3)、在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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26. 如图，直线 $y = k x + b$ 与x轴、y轴分别交于点 $A (4 ， 0) 、 B (0 ， 4)$ ，点P在x轴上运动，连接 $P B$ ，将 $△ O B P$ 沿直线 $B P$ 折叠，点O的对应点记为 $O^{'}$ ．

(1)、求k、b的值；

(2)、若点 $O^{'}$ 恰好落在直线 $A B$ 上，求 $△ O B P$ 的面积；

(3)、将线段 $P B$ 绕点P顺时针旋转45°得到线段 $P C$ ，直线 $P C$ 与直线 $A B$ 的交点为Q ，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得 $△ P B Q$ 为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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27. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{3}{4} x + b$ 分别与x轴，y轴交于点A ， B ，且点A的坐标为 $(4 ， 0)$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形．

(1)、填空： $b =$ ；

(2)、求点D的坐标；

(3)、若点P是线段 $A B$ 上的一个动点（点A ， B除外），试探究：在x上方是否存在另一个点Q ，使得以O ， B ， P ， Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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28. 如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．

(1)、求证：AE＝CE；

(2)、如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；

(3)、在（2）的条件下，若OE＝ $\sqrt{2}$ ，求CE的长．

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29. 如图， $A M$ 是 $△ A B C$ 的中线， $D$ 是线段 $A M$ 上一点（不与点 $A$ 重合）． $D E ∥ A B$ 交 $A C$ 于点 $F$ ， $C E ∥ A M$ ，连接 $A E$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 与 $M$ 重合时，证明 $△ A B D ≌ △ E D C$ ；

(2)、如图1，当点 $D$ 与 $M$ 重合时，求证：四边形 $A B D E$ 是平行四边形；

(3)、如图2，当点 $D$ 不与 $M$ 重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．

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30. 已知，在等边三角形 $A B C$ 中，点E在 $A B$ 上，点D在 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ．

(1)、【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为 $A B$ 的中点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请你直接写出结论： $A E$ $D B$ （填“＞”、“＜”或“＝”）．

(2)、【特例启发，解答题目】如图2，当点E为 $A B$ 边上任意一点时，确定线段 $A E$ 与 $D B$ 的大小关系，请你写出结论，并说明理由． $A E$ ▲ $D B$ （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作 $E F ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点F ．（请你完成以下解答过程）．

(3)、【拓展结论，设计新题】在等边三角形 $A B C$ 中，点E在直线 $A B$ 上，点D在线段 $C B$ 的延长线上，且 $E D = E C$ ，若 $△ A B C$ 的边长为1， $A E = 2$ ，求 $C D$ 的长（直接写出结果）．

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31. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ 、 $C D$ 上的中点，连接 $A F$ 、 $B E$ ， $A F$ 与 $B E$ 相交于点 $G$ (如图1)

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ D A F$ ；

(2)、如图2，连接 $B F$ ，取 $B F$ 中点 $H$ ，连接 $G H$ (如图 $2$ )，若正方形边长为 $4$ ，则 $G H =$ (直接写出答案)；

(3)、平移图1中线段 $A F$ ，使点 $A$ 与点 $B$ 重合，点 $J$ 在线段 $D C$ 的延长线上，连接 $E J$ ，取 $E J$ 中点 $K$ ，连接 $C K$ (如图 $3$ )，请猜想线段 $C J$ 与线段 $C K$ 的数量关系，并证明你的猜想．

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32. 已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，点H是AF的中点，连接BH，HE

(1)、如图所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；

(2)、如图所示，点在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明。

(3)、如图，点B、E、F在同一条直线上，求证： $B H ⊥ E H$ .

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33. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点A在x轴正半轴，点D在矩形的边 $B C$ 上， $A C$ 与 $O D$ 相交于点G ， $∠ O A C = ∠ C O D = 30 °$ ，对角线 $A C$ 解析式为： $y = k x + 3$ ．

(1)、求D点坐标和k的值；

(2)、平行于x轴的直线m ，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $O C$ 方向移动，到达点C时停止，运动时间为t秒，平移过程中，直线m与线段 $O D$ 、 $A C$ 分别交于点E、F ．
①记线段 $E F$ 的长度为L ，当点F在点E右边时，求L与t的函数关系式；
②当四边形 $C E F D$ 为平行四边形时，求t的值，并说明此时的平行四边形是否为菱形；

(3)、在（2）的情况下，以 $E F$ 为边向下作等边 $△ E F P$ （点P在线段 $E F$ 下方）， $△ E F P$ 与 $△ A O C$ 重叠部分的面积记为S ．填空：当 $t = \frac{3}{2}$ 秒时，S的值；当E点落在 $G D$ 中点时，S的值．

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