2024年广东省数学八（下）期末复习：精选压轴题（2）

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $45 °$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点 $O$ 连续旋转2023次得到正方 $O A_{2023} B_{2023} C_{2023}$ ，如果点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，那么 $B_{2023}$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(\sqrt{2} ， 0)$ C、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ D、 $(- 1 ， - 1)$

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2. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ， E是BC的中点，将 $△ A B E$ 沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF ，则CF的长为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{4}{3} \sqrt{5}$ C、 $\frac{8}{5} \sqrt{5}$ D、 $\frac{10}{3}$

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3. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，点 $C$ 和点 $D$ 分别是线段 $O B$ ， $A B$ 的中点，点 $P$ 为线段 $O A$ 上的一动点，则 $P C + P D$ 值最小时点 $P$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， 0)$ B、 $(\frac{7}{2} ， 0)$ C、 $(\frac{3}{2} ， 0)$ D、 $(1 ， 0)$

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4. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $B E = 1$ m，将它往前推6m至C处时（即水平距离 $C D = 6$ m），踏板离地的垂直高度 $C F = 4$ m，它的绳索始终拉直，则绳索 $A C$ 的长是（）

A、 $\frac{15}{2}$ m B、 $\frac{9}{2}$ m C、6m D、 $\frac{21}{2}$ m

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5. 如图，在边长为3的正方形 $A B C D$ 中， $∠ C D E = 30 °$ ， $D E ⊥ C F$ ，则 $B F$ 的长是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形面积是13，小正方形面积是1，直角三角形两条直角边长分别为a、b ，则 $a + b$ 的值是（）

A、4 B、5 C、12 D、1

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 中，点 $D$ 在 $C G$ 上， $B C = 1 ， C E = 3 ， H$ 是 $A F$ 的中点，那么 $C H$ 的长是（）

A、 $2.5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、2

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8. 如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF=20°，则∠AEF的度数（）

A、35° B、40° C、45° D、50°

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9. 如图，在边长为10的正方形 $A B C D$ 对角线上有E，F两个动点，且 $A B = \sqrt{2} E F$ ，点P是 $B C$ 中点，连接 $A E ， P F$ ，则 $A E + P F$ 最小值为（）

A、 $5 \sqrt{5}$ B、 $10 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、10

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二、填空题

10. 如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于.

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11. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 70 °$ ，延长 $B C$ 到 $E$ ，在 $∠ D C E$ 内作射线 $C M$ ，使得 $∠ E C M = 15 °$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ C M$ ，垂足为 $F$ ，若 $D F = \sqrt{5}$ ，则对角线 $B D$ 的长为.（结果保留根号）

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12. 已知，在▱ABCD中， $A D = 2 A B$ ，点F为AD的中点，过点C作 $C E ⊥ A B$ ，垂足为点E，以下结论中，正确的是．
①CF是 $∠ B C D$ 的角平分线；②连接BF，则 $∠ B F C = 120 °$ ；③若 $∠ D = 60 °$ ，则 $S_{□ A B C D} = \sqrt{3} D C^{2}$ ；④连接EF，则 $E F = F C$ ．

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 外取一点 $E$ ，连接 $A E$ ， $B E$ ， $D E$ ，过点A作 $A E$ 的垂线交 $E D$ 于点 $P$ ，若 $A E = A P = 1$ ， $P B = \sqrt{5}$ ．下列结论：① $△ A P D ≌ △ A E B$ ；②点 $B$ 到直线 $A E$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ；③ $E B ⊥ E D$ ；④ $S_{正方形 A B C D} = 4 + \sqrt{6}$ ．其中正确的是．

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14. 如图，在边长为4的菱形ABCD中， $E$ 为边AD的中点，连接CE交对角线BD于点 $F$ .若 $∠ D E F = ∠ D F E$ ，则菱形ABCD的面积为.

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15. 如图，点B、C分别在两条直线 $y = 2 x$ 和 $y = k x$ 上，点A、D是 $x$ 轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为.

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16. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为4和2，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形 $B G D H$ 的面积为．

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17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ A C$ 交 $A D$ 于 $E$ ，若 $A E = 8$ ， $B C = 14$ ， $A B = 10$ ，则 $O E$ 的长为．

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18. 如图1，在平面直角坐标系中，.平行四边形ABCD在第一象限，且BC//x轴.直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移.在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度m与直线在x轴上平移的距离t的函数图象如图2所示，那么平行四边形ABCD的面积为.

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，E是 $C D$ 上一点，且 $∠ A B E = 75 °$ ，过点E作 $E P ∥ B C$ 交 $B D$ 点P，过点P作 $P G ⊥ B C$ 于点G，连接 $A P ， G E$ ，下列结论：① $B E = \sqrt{3} D E$ ；② $A P = G E$ ；③ $D E = 4 \sqrt{3} - 4$ ；④ $B P^{2} + D P^{2} = 2 A P^{2}$ 正确的是：．

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三、解答题

20. 已知：如图， $△ A B C$ 、 $△ C D E$ 都是等边三角形， $A D$ 、 $B E$ 相交于点O，点M、N分别是线段 $A D$ 、 $B E$ 的中点．

(1)、求证： $A D = B E$ ；

(2)、求 $∠ D O E$ 的度数；

(3)、求证： $△ M N C$ 是等边三角形．

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21. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 的图象分别交x、y轴于点A、B ，点C在y轴上， $A C$ 平分 $∠ O A B$ ．

(1)、求点A、B的坐标；

(2)、求线段 $B C$ 的长；

(3)、在平面直角坐标系中是否存在点D ，使得 $△ A B D$ 是以 $A B$ 为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

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22. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象交x轴于点A ， $O A = 4$ ，与正比例函数 $y = 3 x$ 的图象交于点B ， B点的横坐标为1．

(1)、求一次函数 $y = k x + b$ 的解析式；

(2)、请直接写出 $k x + b < 3 x$ 时自变量x的取值范围；

(3)、若点P在y轴上，且满足 $△ A P B$ 的面积是 $△ A O B$ 面积的一半，求点P的坐标．

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23. 如图，矩形 $O B C D$ 中， $O B = 5$ ， $O D = 3$ ，以O为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D分别在x轴、y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足 $S_{△ P O B} = \frac{1}{3} S_{矩形 O B C D}$ ．

(1)、求 $S_{△ P O B}$ ；

(2)、求直线 $O C$ 的解析式；

(3)、当点P在矩形的对角线 $O C$ 上，求点P的坐标；

(4)、当点P到O ， B两点的距离之和 $P O + P B$ 取最小值时，求点P的坐标．

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24. 如图，平面直角坐标系中有一矩形 $O A B C$ ， $O A$ 在 $x$ 轴上， $O C$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 的坐标为 $(8 ， 4)$ ，将 $△ O A B$ 沿 $O B$ 折叠， $A$ 点与 $D$ 点重合， $O D$ 与 $B C$ 交于 $E$ ．

(1)、求 $E$ 点的坐标；

(2)、若点 $F$ 与点 $O$ 、 $B$ 、 $E$ 是平行四边形的四个顶点，求 $E F$ 所在直线的解析式．

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25. 定义：如图，只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．

(1)、如图1，点P在直线 $y = x$ 上且横坐标是4，点 $E (0 ， 2)$ ，点 $F (6 ， 0)$ ，连接 $P E ， P F$ ．判断：四边形 $P E O F$ 损矩形（填“是”或“不是”）；

(2)、如图2，点E在y轴正半轴上，点F在x轴正半轴上，点P是直线 $y = x$ 上位于第一象限的一个动点，四边形 $P E O F$ 是“损矩形”，请确定： $O E ＋ O F$ 与 $O P$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，若 $M (0 ， 6) ， N (8 ， 0)$ ，
①在直线 $l_{2}$ ： $y = 2 x$ 上找一个点Q，使得四边形 $Q M O N$ 为损矩形，求点Q的坐标；

②K点也在直线 $l_{2}$ ： $y = 2 x$ 上且 $S_{△ K M N} =$ $S_{四边形 Q M O N}$ ，直接写出K坐标．

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26. 如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一动点(不与 $B$ 、 $C$ 重合)， $C M$ 是外角 $∠ D C N$ 的平分线，点 $F$ 在射线 $C M$ 上．

(1)、当 $∠ C E F = ∠ B A E$ 时，判断 $A E$ 与 $E F$ 是否垂直，并证明结论；

(2)、若在点 $E$ 运动过程中，线段 $C F$ 与 $B E$ 始终满足关系式 $C F = \sqrt{2} B E$ ．
①连接 $A F$ ，证明 $\frac{A F}{A E}$ 的值为常量；

②设 $A F$ 与 $C D$ 的交点为 $G$ ， $△ C E G$ 的周长为 $a$ ，求正方形 $A B C D$ 的面积．

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27. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 1$ 与x轴交于点B，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 与x轴交于点C，与y轴交于点D．

(1)、直接写出点B、C的坐标：

(2)、点 $M (x ， y)$ 是直线 $y = x + 1$ 图象上一点，设 $△ B C M$ 的面积为S，请求出S关于x的函数关系式；并探究当点M运动到什么位置时（求出M点坐标即可）， $△ B C M$ 的面积为10，并说明理由．

(3)、线段CD上是否存在点P，使 $△ C B P$ 为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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28. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的四个顶点在坐标轴上，C ， D两点的坐标分别是 $(6 ， 0)$ ， $(0 ， 2 \sqrt{3})$ ， $B E ⊥ A D$ 于E ， F是 $B C$ 的中点，点 $P (a ， b)$ 在直线 $B E$ 上．

(1)、求直线 $B E$ 的解析式；

(2)、当 $D P + F P$ 的值最小时，求点P的坐标；

(3)、当 $△ D P F$ 是等腰三角形，且 $a b > 0$ 时，写出点P的坐标．

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29. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t(s)，

(1)、求AE的长；

(2)、是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

(3)、当时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分(直接写出答案)”

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