2024年广东省数学八（下）期末复习：精选压轴题（1）

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，已知点 $A (- 2 ， 3) ， B (2 ， 1)$ ，当直线 $y = k x - 1$ 与线段 $A B$ 有交点时，k的取值范围是（）

A、 $k \geq 1$ B、 $k \leq - 2$ 或 $k \geq 1$ C、 $k \leq - 2$ D、 $- 2 \leq k \leq 1$

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2. 如图，点A的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点B在直线 $y = - x$ 上运动，当线段 $A B$ 最短时，点B的坐标为（）

A、（0，0） B、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$

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3. 菱形 $O A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ， $∠ A O C = 30 °$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{3} ， 1)$ B、 $(1 ， \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{3} ， \sqrt{2})$ D、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$

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4. 已知一次函数 $y = k x + 3 k - 2$ （ $k \neq 0$ ， k是常数），则下列结论正确的是（）

A、若点 $A (2 ， 8)$ 在一次函数 $y = k x + 3 k - 2$ 的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2； B、若 $3 k - 2 > 0$ ，则一次函数 $y = k x + 3 k - 2$ 图象上任意两点 $E (a_{1} ， b_{1})$ 和 $F (a_{2} ， b_{2})$ 满足： $(a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2}) < 0$ C、一次函数 $y = k x + 3 k - 2$ 的图象不一定经过第三象限 D、若对于一次函数 $y = t x + 7 (t \neq 0)$ 和 $y = k x + 3 k - 2$ ，无论x取任何实数，总有 $t x + 7 > k x + 3 k - 2$ ，则k的取值范围是 $0 < k < 3$ 或 $k < 0$

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5. 点P从某四边形的一个顶点A出发，沿着该四边形的边逆时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，点P与该四边形对角线交点的距离为y，表示y与x的函数关系的大致图像如图所示，则该四边形可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 与 $∠ A C B$ 邻补角的平分线 $C D$ 相交于点 $D$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ 于点 $E$ ， $C D / / B A$ ， $D E = 5$ ， $C E = 3$ ，则 $A B$ 的长度为．（）

A、 $\frac{28}{25}$ B、 $\frac{56}{25}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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7. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ .若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 60$ ，则 $S_{2}$ 的值是（）

A、30 B、20 C、18 D、10

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8. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $O$ 为 $A C$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别与 $A B$ ， $C D$ 交于点 $E$ ， $F$ ，连接 $B F$ 交 $A C$ 于点 $M$ ，连接 $D E$ ， $B O$ ．若 $∠ C O B = 60 °$ ， $F O = F C$ ，则下列结论：① $F B ⊥ O C$ ， $O M = C M$ ；② $△ E O B ≌ △ C M B$ ；③四边形 $E B F D$ 是菱形；④ $M B ： O E = 3 ： 2$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 如图，矩形 $A B C D$ 对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，E为 $O B$ 上一点，连接 $A E 、 C E$ ， F为 $C E$ 的中点，连接 $O F$ ，若 $∠ A E O = 90 ° ， O E = 3 ， O F = 2$ ，则 $A O$ 的长为．

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10. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为 $(3 ， 0)$ ，以线段 $O A$ 为边在第四象限内作等边 $△ A B O$ ，点 $C (a ， 0) (a > 3)$ 为x轴正半轴上一动点，连接 $B C$ ，以线段 $B C$ 为边在第四象限内作等边 $△ C B D$ ，直线 $D A$ 交y轴于点E ，则四边形 $A B D C$ 的面积是．（结果用含a的式子表示）

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11. 如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE，延长 EF 交 CD 于 G，接 CF，AG．下列结论：① AE∥FC；②∠EAG=45°，且BE+DG=EG；③ $S_{Δ C E F} = \frac{1}{9} S_{正方形 A B C D}$ ；④ AD=3DG，正确的是(填序号)．

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12. 如图，▱ $A B C D$ 中， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = 6$ ， $∠ B C D = 135 °$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 的线段 $E F ⊥ A C$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，以下说法中： $① A E = A F$ ； $② ∠ D A E = 2 ∠ C A E$ ； $③ E F = \sqrt{5}$ ； $④ △ D O E$ 的面积与 $△ A O D$ 的面积比为 $7$ ： $12 .$ 其中，正确的序号有．

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13. 如图， $D$ 是 $△ A B C$ 内一点， $B D ⊥ C D ， A D = 7 ， B D = 4 ， C D = 3 ， E ， F ， G ， H$ 分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长为.

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14. 编程兴趣小组为半径为0.2米的圆形扫地机器人编制了如图所示的程序，若扫地机器人在无障碍的实验室平地上按照编制的程序扫地，则这个扫地机器人扫过的实验室平地的面积是米 $^{2}$ ．

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15. 如图， $R t △ A B C$ 的两条直角边 $A B > A C$ ，分别以 $A B ， A C$ 为边作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C G F$ ．点H是线段 $D E$ 上一点，连接 $H B$ ，作矩形 $B C K H$ ．线段 $H K$ 与 $E A$ 交于点P，线段 $K C$ 与 $B F$ 交于点Q，连接线段 $B Q$ 和 $C P$ 的中点M，N． $△ A B C ， △ H E P$ 和四边形 $C G F Q$ 的面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 和 $S_{3}$ ．给出下列四个结论：
① $H B^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ ；② $E P = Q F$ ；③ $S_{1} > S_{2} + S_{3}$ ；④ $∠ N M A + ∠ A B C = 45 °$ ．

其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

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16. 如下图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把 $△ A B D$ 沿着AD翻折，得到 $△ A E D$ ， DE与AC交于点F．若点F是DE的中点， $A D = 8$ ， $△ A E F$ 的面积为9，则点B、E之间的距离为．

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三、解答题

17. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $A$ 坐标为 $(3 ， 0)$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = 3 x$ 与直线 $l_{1}$ 相交于点 $C$ ，点 $C$ 的横坐标为 $1$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的解析式；

(2)、在 $x$ 轴上是否存在一点 $E$ ，使得 $△ A C E$ 是以 $A C$ 为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 $E$ 的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、如图2，点 $D$ 是 $x$ 轴上一动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，分别交 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 于点 $M 、 N$ ，当 $M N ＝ 2$ 时，求点 $D$ 的坐标．

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18. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A = ∠ C = 30 °$ ， $A C = 4$ ，点D是直线 $B C$ 上一动点，以 $A D$ 为边，在 $A D$ 下方作等边 $△ A D E$ ．

(1)、直接写出 $A B$ 的长， $A B =$ ；

(2)、当点D从点B运动到点C时，求点E的运动路径长；

(3)、当 $A E ⊥ C E$ 时，求出 $C D$ 的值．

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19. 已知在正方形 $A B C D$ 中，

(1)、如图1，点 $M$ 、 $N$ 分别为 $A D$ 、 $C D$ 边上的动点，且 $D M = C N$ ，连接 $C M$ 、 $B N$ 交于点 $P$ ，点 $G$ 为正方形 $A B C D$ 对角线的交点．
①猜想线段 $C M$ 与 $B N$ 之间有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想，不需证明；
②下列结论：甲同学认为 $\frac{P C + P G}{P B}$ 的值不变；乙同学认为： $\frac{P B - P C}{P G}$ 的值不变，其中只有一个结论正确，请选择正确的结论并求其值；

(2)、如图2， $△ A E F$ 是等腰三角形， $∠ A F E = 90 °$ ，求证： $C E = \sqrt{2} D F$ ．

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $O A B C$ 的顶点是 $O (0 ， 0)$ ， $A (2 ， 2)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (4 ， 0)$ ，点P是x轴上一动点，连接 $O B ， A P$ ．

(1)、求直线 $O B$ 的解析式；

(2)、若 $∠ P A O = ∠ A O B$ ，求点P的坐标；

(3)、当点P在线段 $O C$ （点P不与点C重合）上运动时，设 $P A$ 与线段 $O B$ 相交于点D，以 $D A ， D C$ 为边作平行四边形 $A D C E$ ，连接 $B E$ ，求 $B E$ 的最小值．

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21. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm.点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s.连接PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t（0＜t＜5）.

(1)、当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？

(2)、设四边形OQCD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；

(3)、是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

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22. 如图，直线l₁：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l₂：y＝-x+b与x轴交于点A，且经过定点B（-1，5），直线l₁与l₂交于点C（2，m）．

(1)、求k、b和m的值；

(2)、求△ADC的面积；

(3)、在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)、若动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向点A运动，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

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23. 已知，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 °$ ，点 $M$ 为 $B C$ 边上一点，连接 $A M$ ，将线段 $A M$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $α$ 得到 $A N$ ，连接 $M N$ ．

(1)、如图 $1$ ，当 $∠ B A C = α = 90 °$ 时，
①求证： $M N^{2} = C M^{2} + B M^{2}$ ；
②当 $△ A M N$ 的周长取最小值为 $4 + 2 \sqrt{2}$ 时，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、如图 $2$ ，当 $∠ A C B = 30 °$ ， $α = 120 °$ 时，若 $C N = A N$ ，求 $\frac{B M}{B C}$ 的值．

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24. 【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．

(1)、【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．显然， $∠ D A B = ∠ B = 90 °$ ， $A C ⊥ D E$ ．请用 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别表示出梯形 $A B C D$ ，四边形 $A E C D$ ， $△ E B C$ 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： $S_{梯形 A B C D} =$ ， $S_{△ E B C}$ ， $S_{四边形 A E C D} =$ ，则它们满足的关系式为，经化简，可得到勾股定理．

(2)、如图2，河道上 $A$ ， $B$ 两点（看作直线上的两点）相距160米， $C$ ， $D$ 为两个菜园（看作两个点）， $A D ⊥ A B$ ， $B C ⊥ A B$ ，垂足分别为 $A$ ， $B$ ， $A D = 70$ 米， $B C = 50$ 米，现在菜农要在 $A B$ 上确定一个抽水点 $P$ ，使得抽水点 $P$ 到两个菜园 $C$ ， $D$ 的距离和最短，则该最短距离为米．

(3)、【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式 $\sqrt{x^{2} + 9} + \sqrt{(12 - x)^{2} + 36}$ 的最小值 $(0 < x < 12)$ ．

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25. 在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F ，连接BF、DE如图1．

(1)、求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)、若DE＝DC ， ∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH ．

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26. 如图，平面直角坐标系中，直线 $y = k x + b$ 与x轴交于点A(6，0)，与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C(a，4).

(1)、求点C的坐标及直线AB的表达式；

(2)、如图，在x轴上有一点E，过点E作直线 $ι ⊥$ $x$ 轴，交直线y=2x于点F，交直线 $y = k x + b$ 于点G，若GF的长为3.求点E的坐标；

(3)、在 $y$ 轴上是否存在一点 $F$ ，使以 $O 、 C 、 F$ 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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