2024年深圳市数学八（下）期末复习：精选压轴题

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 1$ ， $D$ 是 $B C$ 边上一点，将 $△ A C D$ 沿 $A D$ 折叠得 $△ A E D$ ，连接 $B E$ ，若四边形 $A B E D$ 为平行四边形，则 $A E$ 的值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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2. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失 $10 %$ ，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得 $20 %$ 的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $30 %$ C、 $35 %$ D、 $50 %$

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3. 在如图所示的三角形纸片ABC中， $∠ C = 90 °$ ，沿AD折叠三角形纸片，使点C落在AB边上的E点，若此时点D恰好为BC边靠近点C的三等分点，则下列结论：
① $∠ B = 30 °$ ；② $Δ A C D ≌ Δ B E D$ ；③DE垂直平分AB；④ $S_{Δ A B C} = \sqrt{3} A C^{2}$ ，其中正确是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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4. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 4$ ， $C D = 6$ ， $∠ A = 90 °$ ， $∠ B = 120 °$ ，则 $A D$ 的长度为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $7 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3} + 3$

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5. 如图， $l_{1} ∥ l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 之间的距离为4，点 $A$ 是直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 外一点，点 $A$ 到直线 $l_{1}$ 的距离为2，点 $B$ ， $D$ 分别是直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 上的动点，以点 $B$ 为圆心， $A D$ 的长为半径作弧，再以点 $D$ 为圆心， $A B$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $C$ ，则点 $A$ 与点 $C$ 之间距离的最小值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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6. 如图，在四边形纸片 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = D C = 4 \sqrt{3}$ ， $A D = 9$ ， $∠ B C D = 30 °$ ，点 $E$ 是线段 $D C$ 的中点，点 $F$ 在线段 $B C$ 上，将 $△ C E F$ 沿 $E F$ 所在的直线翻折得到 $△ C^{'} E F$ ，连接 $A C^{'}$ ，则 $A C^{'}$ 长度的最小值是（）

A、 $7 \sqrt{3}$ B、 $\frac{7}{2} \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{2} \sqrt{3}$

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7. 在如图所示的三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，沿 $A D$ 折叠三角形纸片，使点 $C$ 落在 $A B$ 边上的 $E$ 点，若此时点 $D$ 恰好为 $B C$ 边靠近点 $C$ 的三等分点，则下列结论： $① ∠ B = 30 °$ ； $② △ A C D$ ≌ $△ B E D$ ； $③ D E$ 垂直平分 $A B$ ； $④ S_{△ A B C} = \sqrt{3} A C^{2}$ ，其中正确的是（）

A、 $① ② ③$ B、 $① ② ④$ C、 $① ③ ④$ D、 $② ③ ④$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点 $A$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(6 ， 2 \sqrt{3})$ ，将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形 $O A^{^{'}} B^{^{'}} C$ ，若直线 $l$ 把六边形 $O A B C B^{^{'}} A^{^{'}}$ 的面积分成相等的两部分，则直线 $l$ 的解析式为（）

A、 $y^{^{'}} = \sqrt{3} x$ 或 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ B、 $y = 2 \sqrt{3} x$ 或 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ C、 $y = 2 \sqrt{3} x$ 或 $y = - \frac{\sqrt{3}}{5} x + \frac{12 \sqrt{3}}{5}$ D、 $y = \sqrt{3} x$ 或 $y = - \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$

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9. 如图，在矩形ABCD中， $A B = \sqrt{3} + 2 ， A D = \sqrt{3}$ .把AD沿AE折叠，使点 $D$ 恰好落在AB边上的 $D^{^{'}}$ 处，再将 $△ A E D^{^{'}}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $α$ ，得到 $△ A^{^{'}} E D^{^{'}^{'}}$ ，使得 $E A^{^{'}}$ 恰好经过 $B D^{^{'}}$ 的中点 $F$ .设 $A^{^{'}} D^{^{'}^{'}}$ 交AB于点 $G$ ，连接 $A A^{^{'}}$ .有如下结论：① $α = 7 5^{°}$ ；② $A^{^{'}} F$ 的长度是 $\sqrt{6} - 2$ ；③ $∠ A^{^{'}} A F = 7 . 5^{°}$ ；④ $△ A A^{^{'}} F ~ △ E G F$ .上述结论中，正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

10. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{°}$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A C$ 延长BE到点 $D$ ，使得 $B D = A C$ ，连接AD，CD，若 $A B = 4 ， A D = 5$ ，则CD的长为.

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11. 为了让学生更直观地认识等腰直角三角形，林老师制作了一个等腰直角三角形教具，课余时间他把教具挂在墙上．如图，教具 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 位于同一平面内，这三个顶点到地面的距离分别为 $A F = 175 c m$ ， $B E = 145 c m$ ， $C G = 135 c m$ ，则 $A B$ 的长为 $c m$ ．

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12. 如图，在平行四边形ABCD中， $∠ B A D = 6 0^{°} ， A B = 4$ ，对角线AC、BD交于点 $O$ ，经过点 $O$ 的直线交AD于点 $E$ ，且平分 $△ A B D$ 的周长，则 $O E =$ .

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 是 $A C$ 的中点， $D$ 在 $A B$ 上且 $A D = 2 B D$ ，连接 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $F$ ，则 $\frac{S_{△ B C F}}{S_{四边形 A D F E}} =$ ．

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14. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 45 °$ ，将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 后，点 $A$ 恰好落在边 $C D$ 上的点 $E$ 处，已知 $B C = 2$ ，则 $D E$ 的长度为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外一点，若 $C D = 3$ ， $B D = 5 \sqrt{2}$ ． $∠ B D C = 75 °$ ，则线段 $A D$ 的长为．

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16. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E是BC边的中点，连接AE，延长EB至点F，使得EF=AE，过点F作FG⊥AE，垂足为M，FG分别交CD、AB于G、N两点，则 $S_{四边形 G C E M}$ =.

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三、解答题

17. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动．他们准备若干个 $30 °$ ， $45 °$ 的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片 $A B D$ 中， $∠ A D B = 90 °$ ， $∠ A B D = 30 °$ ， $A D = 2$ ．

(1)、如图1，将一个与 $△ A B D$ 全等的 $△ C D B$ 沿较长的直角边重合，拼成一个四边形 $A B C D$ ．
①求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；
②连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，求 $△ A O D$ 的面积；

(2)、在（1）的条件下，将一条直角边与 $A C$ 重合的等腰直角三角形卡片 $A C E (∠ A C E = 90 °$ ）与四边形 $A B C D$ 拼成如图2所示的平面图形，请求出点 $E$ 到 $A B$ 的距离；

(3)、一个斜边长度与 $A D$ 相等的 $30 °$ 三角板 $A D E$ （ $∠ E = 90 °$ ， $∠ A D E = 30 °$ ）如图3摆放，将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ， $△ A D E$ 旋转后的三角形记为 $△ A D^{'} E^{'}$ ．在旋转过程中，直线 $D^{'} E^{'}$ 所在的直线与直线 $B D$ ， $A B$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，当 $△ B P Q$ 为等腰三角形时，请直接写出 $E^{'} Q$ 的长．

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18. [知识链接]“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决.
在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和.请你根据学习小组的思路，完成下列问题：

(1)、[问题发现]：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形(长方形)的研究发现在矩形ABCD中令AB=a，BC=b，则可求得AC²+BD²=(用含a、b的式子)；

(2)、[问题探究]：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形ABCD进行研究，如图：分别过点A、D作BC边的垂线，请你按照这种思路证明AC²+BD²=2(AB²+BC²)；

(3)、[问题拓展]：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知：AD=3，BC=8，(AB-AC)²=10，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求AB·AC的值.

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19. 【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．

(1)、如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线 $A D$ 方向平移而成，其中，平移的距离是．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是

(2)、小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等．
①请问两种瓷砖每块各多少元？
②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少．按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 ▲ 元．

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20. 如图

(1)、【探究发现】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ． $A H ⊥ B C$ ，垂足为 $H$ ，点 $D$ 在 $A H$ 上，连接 $B D$ ， $C D$ ．则有下列命题：① $△ A B D ≅ △ A C D$ ；② $△ B D H ≅ △ C D H$ ，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程．

(2)、【类比迁移】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，点 $D$ 在三角形的内部，过点 $D$ 作 $B D ⊥ C D$ ，且 $B D = C D$ ，连接 $A D$ ．求证： $A D = B D = C D$ ．

(3)、【拓展提升】
如图3．在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 45 °$ ， $B C = 5$ ，把线段 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $90 °$ 到 $A M$ ，把线段 $A C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 到 $A N$ ，分别连接 $M B$ ， $N C$ ， $M N$ ，请直接写出 $△ A M N$ 面积的最大值．

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21. 【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若 $x - y > 0$ ，则 $x > y$ ；若 $x - y = 0$ ，则 $x = y$ ；若 $x - y < 0$ ，则 $x < y$ ．
例：已知 $M = a^{2} - a b$ ， $N = a b - b^{2}$ ，其中 $a \neq b$ ，求证： $M > N$

证明： $M - N = a^{2} - a b - a b + b^{2} = (a - b)^{2}$

$∵ a \neq b$

$∴ (a - b)^{2} > 0$ ，故 $M > N$

(1)、【新知理解】比较大小： $x - 3$ $2 + x$ ．（填“ $>$ ”，“＝”，“ $<$ ”）

(2)、【问题解决】甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（ $a$ 为正整数），其面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．请比较 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的大小关系．

(3)、【拓展应用】请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问游泳的学生选择哪种方案更合算？

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22. 问题情境：在学习 $《$ 图形的平移和旋转 $》$ 时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图 $1$ ，点 $D$ 为等边 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上一点，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、【猜想证明】试猜想 $B D$ 与 $C E$ 的数量关系，并加以证明；

(2)、【探究应用】如图 $2$ ，点 $D$ 为等边 $△ A B C$ 内一点，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $C E$ ，若 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 三点共线，求证： $E B$ 平分 $∠ A E C$ ；

(3)、【拓展提升】如图 $3$ ，若 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，点 $D$ 是线段 $B C$ 上的动点，将线段 $A D$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $D E$ ，连接 $C E .$ 点 $D$ 在运动过程中， $△ D E C$ 的周长最小值 $=$ $($ 直接写答案 $)$ ．

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23.

(1)、【课本重现】
已知：如图1，D，E分别是等边 $△ A B C$ 的两边AB，AC上的点，且 $A D =$ CE.若BE，CD交于点 $F$ ，则 $∠ E F D =$ °；

(2)、【迁移拓展】
如图2，已知点 $D$ 是等边 $△ A B C$ 的AB边上一点，点 $E$ 是AC延长线上一点，若 $A D = C E$ ，连接ED，EB.求证： $E D = E B$ ；

(3)、
【拓展延伸】如图3，若点D，E分别是BA，AC延长线上一点，且 $A D = C E = \frac{1}{3} A B = 2$ .连接DE，以DE为边向右侧作等边 $△ D E F$ ，连接AF，求 $△ A D F$ 的面积.

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24. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边 $Δ A B C$ 的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE.

(1)、【猜想证明】
试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；

(2)、【探究应用】
如图2，点D为等边 $Δ A B C$ 内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分 $∠ A E C$ ；

(3)、【拓展提升】
如图3，若 $Δ A B C$ 是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中， $Δ D E C$ 的周长最小值=（直接写答案）

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25. 在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 是射线 $A B$ 上的动点， $A E$ 垂直于直线 $C D$ 于点 $E$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、【探索发现】如图①，若点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上，点 $E$ 在线段 $C D$ 上时，请猜想 $C F$ ， $B D$ ， $A B$ 之间的数量关系为；

(2)、【拓展提升】如图②，若点 $D$ 在线段 $A B$ 上（不与点 $A$ ， $B$ 重合），试猜想 $C F$ ， $B D$ ， $A B$ 之间的数量关系，并说明理由：

(3)、【灵活应用】当 $A B = 3$ ， $C F = 3 \sqrt{2}$ 时，直接写出线段 $B D$ 的长为

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26. 【问题背景】如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $A B ⊥ D B$ ．将 $△ A B D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转至 $△ F B E$ ，记旋转角 $∠ A B F = α (0 ° < α \leq 180 °)$ ，当线段 $F B$ 与 $D B$ 不共线时，记 $△ A B E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ F B D$ 的面积为 $S_{2}$ ．

【特例分析】如图2，当 $E F$ 恰好过点 $A$ ，且点 $F$ ， $B$ ， $C$ 在同一条直线上时．

(1)、 $α =$ °；

(2)、若 $A D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $S_{1} =$ ， $S_{2} =$ ；

(3)、【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中， $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：
思路1：如图1，过点 $A$ ， $E$ 分别作直线平行于 $B E$ ， $A B$ ，两直线交于点 $M$ ，连接 $B M$ ，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；
思路2：如图2，过点 $E$ 作 $E H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，过点 $D$ 作 $D G ⊥ F B$ ，交 $F B$ 的延长线于点 $G$ ，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；……
如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 之间的等量关系为，并说明理由．

(4)、【拓展应用】在旋转过程中，当 $S_{1} + S_{2}$ 为 $▱ A B C D$ 面积的 $\frac{1}{2}$ 时， $α$ 的值为

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27. 【定义】对于没有公共点的两个图形 $M$ ， $N$ ，点 $P$ 是图形 $M$ 上任意一点，点 $Q$ 是图形 $N$ 上任意一点，把 $P$ 、 $Q$ 两点之间的距离的最小值称为图形 $M$ 与图形 $N$ 的距离，记为 $d [M ， N]$ ．

【理解】如图1，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，若点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(4 ， 3)$ ， $(- 4 ， 3)$ ，点 $G$ 是 $▱ A B C D$ 边上任意一点．

(1)、当点 $G$ 在边 $A D$ 上时， $O G$ 的最小值是，因此 $d$ [点 $O$ ，线段 $A D$ ]＝；

(2)、当点 $G$ 在任意边上时， $O G$ 的最小值是，因此 $d$ [点 $O$ ， $▱ A B C D$ ]＝；

(3)、【拓展】如图2，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(4 ， 3)$ ， $(- \frac{9}{4} ， 3)$ ，点 $E (a ， n)$ 是对角线 $A C$ 上与点 $A$ ， $C$ ， $O$ 不重合的一点，点 $F (b ， n)$ 是对角线 $B D$ 上与点 $B$ ， $D$ ， $O$ 不重合的一点．
当 $1 < d$ [线段 $E F$ ， $▱ A B C D$ ] $< 2$ 时，则 $n$ 的取值范围为；

(4)、当 $n > 0$ 时， $\frac{d [线段 E F ， ▱ A B C D]}{d [点 F ，线段 A D]} =$ （结果用含 $n$ 的式子表示）；

(5)、【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为 $0.5$ 米，请直接写出所需彩绳的长度．

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28. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ （E、F分别为边 $B C$ 、 $C D$ 上的动点）， $A F$ 的延长线交 $B C$ 延长线于点M， $A E$ 的延长线交 $D C$ 延长线于点N．

(1)、如图①，若四边形 $A B C D$ 是正方形，求证： $△ A C N ∽ △ M C A$ ；

(2)、如图②，若四边形 $A B C D$ 是菱形，
①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；

②若 $A B = 8$ ， $A C = 4$ ，连接 $M N$ ，当 $M N = M A$ 时，求 $C E$ 的长．

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29. [知识链接]，“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题：

(1)、[问题发现]：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形（长方形）的研究发现在矩形ABCD中令AB＝a，BC＝b，则可求得AC²+BD²＝；（用a、b的式子表示）

(2)、[问题探究]：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形ABCD进行研究，如图：分别过点A、D作BC边的垂线，请你按照这种思路证明AC²+BD²＝2（AB²+BC²）；

(3)、[问题拓展]：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知：AD＝3，BC＝8，（AB-AC）²＝10，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求AB•AC的值．

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