2024年深圳市数学七（下）期末复习：精选压轴题

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，利用尺规在 $B C ， B A$ 上分别截取 $B E ， B D$ ，使 $B E = B D$ ，分别以D，E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ C B A$ 内交于点F，作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点G，若 $A C = 9 ， A G = 5$ ，过点G作 $G P ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点P，则 $G P$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 如图，在 $3 \times 3$ 的正方形网格中，图中的 $△ A B C$ 为格点三角形，在图中与 $△ A B C$ 成轴对称的格点三角形最多可以找出（）

A、6个 B、5个 C、4个 D、3个

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3. 如图，已知正方形 $A B C D$ 与正方形 $C E F G$ 的边长分别为a，b，如果 $a - b = 2$ ， $a b = 4$ ，那么阴影部分的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 如图，长方形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，正方形 $A E N M$ ，正方形 $B H P E$ 和正方形 $C K Q H$ 都在它内部，记 $A M = a$ ， $C H = b$ ，若 $a^{2} + b^{2} = 20$ ，则长方形 $D G P F$ 的面积是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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5. 小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置 $A$ 处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的 $B$ 处接住她后用力一推，爸爸在 $C$ 处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和 $1.8 m ， ∠ B O C = 9 0^{°}$ .爸爸在 $C$ 处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）

A、1m B、1.6m C、 $1.8 m$ D、 $1.4 m$

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6. 【观察】① $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ；
② $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ；

③ $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ；

……

【归纳】由此可得： $(x - 1) (x^{n} + x^{n - 1} + x^{n - 2} + \dots + x + 1) = x^{n + 1} - 1$ ；

【应用】请运用上面的结论，计算： $2^{2023} + 2^{2022} + 2^{2021} + \dots + 2^{2} + 2 + 1 =$ （）

A、 $2^{2023} - 1$ B、 $2^{2024} - 1$ C、 $2^{2024}$ D、 $2^{2025} - 1$

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7. 如图， $R t △ A C B$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $D$ 是斜边 $B C$ 的中点， $E$ 是直角边 $A C$ 上一动点，连接 $B E$ 交 $A D$ 于 $F$ ，过 $F$ 作 $G F ⊥ B E$ 交 $C A$ 的延长线于点 $G$ ，交 $A B$ 于点 $H$ ，则下列结论：

      $① ∠ A B C = 45 °$ ；

      $② ∠ C B F + ∠ F G E + ∠ A C B = 90 °$ ；

      $③ F H = E F$ ；

$④ S_{△ A E B} = \frac{3}{2} S_{△ E F G}$ ，其中正确的是（）

A、 $① ② ④$ B、 $① ② ③$ C、 $① ③ ④$ D、 $① ② ③ ④$

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8. 如图，已知正方形 $A B C D$ 与正方形 $C E F G$ 的边长分别为 $a$ 、 $b$ ，如果 $a + b = 10$ ， $a b = 8$ ，则阴影部分的面积为（）

A、38 B、39 C、40 D、41

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9. 如图，长方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $C E$ ，将长方形 $A B C D$ 沿着直线 $C E$ 折叠，点 $D$ 恰好落在 $A B$ 的中点 $F$ 上，点 $G$ 为 $C F$ 的中点，点 $P$ 为线段 $C E$ 上的动点，连接 $P F$ 、 $P G$ ，若 $A E = a$ 、 $E D = b$ 、 $A F = c$ ，则 $P F + P G$ 的最小值是（）

A、 $a + c - b$ B、 $b + 2 c$ C、 $a + b + 2 c$ D、 $a + b$

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10. 如图①所示(图中各角均为直角)，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to B \to C \to D \to E$ 路线匀速运动， $△ A F P$ 的面积 $y （ c m^{2} ）$ 随点 $P$ 运动的时间 $x (s)$ 之间的函数关系图象如图②所示，已知 $A F = 6 c m$ ，下列说法错误的是（）

A、动点P的速度为 $1 c m / s$ B、 $a$ 的值为30 C、EF的长度为 $10 c m$ D、当 $y = 15$ 时， $x$ 的值为8

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11. 如图， $A B ∥ C D$ ， $A B = B D = 2 C D$ ， $E$ 是 $A B$ 中点．连接 $E D$ ，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A D$ 于点 $H$ ．给出结论：① $F$ 是 $B D$ 中点；② $∠ B A F = ∠ B D E$ ；③ $B H ⊥ A D$ ；④ $B C ∥ D E$ ，其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E，F，G，H分别是正方形各边的中点，则下列结论不正确的是（）

A、 $△ A B F ≌ △ B C G$ B、 $A F ∥ C H$ C、 $A R = D Q$ D、阴影部分面积为正方形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{4}$

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二、填空题

13. 如图， $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A B$ 的垂直平分线与 $A C$ 的交点， $A K ⊥ B D$ 交 $B D$ 延长于点 $K$ ，若 $A B = A C$ ， $A K = 3$ ， $B C = \sqrt{10}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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14. 任意选取四个连续的自然数，将它们的积再加上1，所得的结果可以用一个自然数的平方表示.如： $1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 = 25 = 5^{2} ； 2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 = 121 = 1 1^{2} \dots \dots$ .设这四个连续的自然数分别为 $n ， n + 1 ， n + 2 ， n + 3$ ，则 $n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 = (\underline{▲})^{2}$ ，其中“ $▲$ "用含 $n$ 的式子表示为.

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 为 $C A$ 延长线上一点， $D H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，点 $F$ 为 $A B$ 延长线上一点，连接 $D F$ 交 $C B$ 的延长线于点 $E$ ，点 $E$ 是 $D F$ 的中点，若 $B H = 2$ ， $B E = 2 B H$ ，则 $B C =$ .

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16. 如图，点 $C$ ， $D$ 分别是角 $∠ A O B$ 两边 $O A$ 、 $O B$ 上的定点， $∠ A O B = 20 °$ ， $O C = O D = 4$ ．点 $E$ ， $F$ 分别是边 $O B$ ， $O A$ 上的动点，则 $C E + E F + F D$ 的最小值是．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，将 $∠ A B C$ 对折，使 $A B$ 和 $B C$ 在同一直线上，折痕为 $B E$ ，延长 $B E$ 至点D，使得 $B D = A B$ ，连接 $C D$ ，若 $∠ A = ∠ D$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ $°$ ．

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18. 如图，点 $E$ 在线段 $A C$ 上， $A B ∥ C D$ ， $A E = C D$ ， $A B = C E$ ，若 $∠ A = 40 °$ ， $∠ D B E = 50 °$ ，则 $∠ C E D$ 的度数为．

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19. 如图，在四边形ABCD中， $E$ 是边BC的中点，AE平分 $∠ B A D$ 且 $∠ A E D = 9 0^{°}$ ，若 $C D = 2 A B$ ， $A D = 18$ ，则 $A B =$ .

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20. ^.如图，在等腰 $△ A B C$ 中，AB=AC=11，BC=8，∠A=40°，等腰 $△ D E F$ 中，DE=DF=5，∠EDF=70°，则 $△ C D F$ 周长为．

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21. 如图，直线l为线段 $A B$ 的垂直平分线，垂足为C ，直线l上的两点E ， F位于 $A B$ 异侧（E ， F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明 $△ A C E ≌ △ B C F$ ，这个条件可以是．

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22. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，过点 $C$ 作 $C E ⊥ B D$ 交 $B D$ 的延长线与点 $E$ ，若 $C E = \frac{5}{3}$ ，则 $B D$ 的长为．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ， $A D = A C$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，且 $∠ B$ ： $∠ D F C = 2$ ： $3$ ，若 $A E = \frac{3}{2}$ ， $B D = \frac{10}{3}$ ，则 $A B$ 的长为．

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三、解答题

24. 在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题：
已知：如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，点G是射线 $A B$ 上的一个动点，以 $D G$ 为边向右作正方形 $D G E F$ ，作 $E H ⊥ A B$ 于点H．

(1)、填空： $∠ A G D + ∠ E G H =$ °；

(2)、若点G在点B的右边．
①求证： $△ D A G ≌ △ G H E$ ；
②试探索： $E H - B G$ 的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

(3)、连接 $E B$ ，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求 $∠ E B H$ 的度数；

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25. 如图，已知 $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C ， B C ＝ 10 c m ，$ 点P以 $1 c m / s$ 的速度从点B出发沿着射线 $B C$ 运动，连接 $A P$ ．以 $A P$ 为直角边向右作等腰直角 $△ A P Q$ ，其中 $∠ P A Q = 90 °$ ，连接 $C Q$ ，设运动时间为t秒．

(1)、当 $t = 2$ 时，则 $C Q =$ cm， $∠ A C Q =$ °；

(2)、在点P的运动过程中，能否使 $△ P C Q$ 为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

(3)、请用含t的代数式直接写出 $△ A P Q$ 的面积．

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26. 【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = C B$ ； $△ D E F$ 中， $∠ D E F = 90 °$ ， $∠ E D F = 30 °$ ），并提出了相应的问题．

(1)、【发现】
如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 $B$ 摆放在线段 $D F$ 上时，过点 $A$ 作 $A M ⊥ D F$ ，垂足为点 $M$ ，过点 $C$ 作 $C N ⊥ D F$ ，垂足为点 $N$ ，
①请在图10-1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；
      $∵ ∠ A B C = 90 °$ ，
      $∴ ∠ A B M + ∠ C B N = 90 °$ ，
$∵ A M ⊥ D F$ ， $C N ⊥ D F$ ，
$∴ ∠ A M B = 90 °$ ， $∠ C N B = 90 °$ ，
      $∴ ∠ A B M + ∠ B A M = 90 °$ ，
      $∴ ∠ B A M = ∠ C B N$ ，
      ${\begin{array}{l} ∠ A M B = ∠ C N B = 90 ° \\ ∠ B A M = ∠ C B N \\ A B = B C \end{array}$ ，
      $∴$ ；
② $A M = 2$ ， $C N = 7$ ，则 $M N =$ ；

(2)、【类比】
如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点 $B$ 在线段 $D E$ 上且顶点 $A$ 在线段 $E F$ 上时，过点 $C$ 作 $C P ⊥ D E$ ，垂足为点 $P$ ，猜想 $A E$ ， $P E$ ， $C P$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展】
如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点 $A$ 在线段 $D E$ 上且顶点 $B$ 在线段 $E F$ 上时，若 $A E = 5$ ， $B E = 1$ ，连接 $C E$ ，则 $△ A C E$ 的面积为．

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27.

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是BC边上一点， $A D = C D$ 且 $∠ D A C = ∠ B$ ，若 $A B = 5$ ，则 $A C =$ .

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是BC边上一点， $A D = C D$ ，点 $E$ 在线段AD上且 $∠ D E C = ∠$ $B$ ，求证： $A B = C E$ .

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是CB延长线上一点， $A D = C D$ ，点 $E$ 在射线DA上且 $∠ D E C =$ $∠ A B C$ ，请画出 $E$ 点的位置，此时AB和CE满足怎样的数量关系，请说明理由.

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28.

(1)、【初步感知】
如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE.
求证： $Δ A B D ≅ Δ A C E ；$

(2)、【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为： ▲ ；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ▲ .

(3)、【拓展应用】
如图3，在等边△ABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边 $Δ$ DPE，连接CE、BE.

请问：PE+BE是否有最小值?若有，请直接写出其最小值：若没有，请说明理由.

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29. “等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法.如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，作 $A H ⊥ B C$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $B C = 5$ ，可列式： $\frac{1}{2} A B \cdot A C = \frac{1}{2} B C \cdot A H$ ，解得 $A H = \frac{12}{5}$ .

(1)、在题干的基础上，
①如图2，点 $P$ 为 $B C$ 上一点，作 $P M ⊥ A B$ ， $P N ⊥ A C$ ，设 $P M = d_{1}$ ， $P N = d_{2}$ ，求证： $4 d_{1} + 3 d_{2} = 12$ ；
②如图3，当点 $P$ 在 $C B$ 延长线上时，猜想 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想；

(2)、如图4，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ， $S_{△ A B C} = 48$ .若点 $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，且 $C D = 2$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ B C$ ，点 $P$ 是直线 $B E$ 上一动点，点 $Q$ 是直线 $A C$ 上一动点，连接 $P D$ 、 $P Q$ ，求 $D P + P Q$ 的最小值.

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30. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ．

(1)、【特例感知】
如图1，如果 $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点D， $C E ⊥ B D$ ，垂足E在 $B D$ 的延长线上，则线段 $C E$ 和 $B D$ 有怎样的数量关系？请说明理由；

(2)、【问题探究】
如图2，点D是边 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，过点A作 $A E ⊥ B D$ 于点E，过点C作 $C F ⊥ B D$ ，交 $B D$ 的延长线于点F，则线段 $B F 、 A E$ 和 $C F$ 有怎样的数量关系？请说明理由；

(3)、【拓展应用】
如图3，点D是边 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，过点C作 $C E ⊥ B D$ ，交 $B D$ 的延长线于点E，连接 $A E$ ，若 $A E = 6$ ，则 $S_{Δ A B D} - S_{Δ C D E} =$ ．

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31. 定理：三角形任意两边之和大于第三边．

(1)、如图1，线段 $A D$ ， $B C$ 交于点 $E$ ，连接 $A B$ ， $C D$ ，判断 $A D + B C$ 与 $A B + C D$ 的大小关系，并说明理由；

(2)、如图2， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ， $P$ 为 $O C$ 上任意一点，在 $O A$ ， $O B$ 上截取 $O E = O F$ ，连接 $P E$ ， $P F$ ．求证： $P E = P F$ ；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ， $P$ 为角平分线 $A D$ 上异于端点的一动点，求证： $P B - P C > B D - C D$ ．

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32. 【问题背景】 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点D为直线 $B C$ 上一点．

(1)、【初步探究】
如图，当点D在线段 $B C$ 上时，连接 $A D$ ，过点A作 $A E ⊥ A D$ 于点A，且 $A D = A E$ ，过点E作 $E H ⊥ A C$ 于H点，交 $A B$ 于F点．

求证： $E F = A C$ ．

请将证明过程补充完整：

证明： $∵ A E ⊥ A D$ ， $∴ ∠ E A D = 90 °$ ，即 $∠ E A H + ∠ C A D = 90 °$ ．

$∵ E H ⊥ A C$ ， $∴ ∠ A H E = 90 °$ ，

      $∴ ∠ E A H + ∠ A E H = 90 °$ （），

      $∴ ∠ A E H =$       ▲      （）．

$∵ △ A B C$ 为等腰直角三角形， $∠ A B C = 90 °$ ， $∴ ∠ B A C = ∠ A C B = 45 °$ ，

在 $R t △ A H F$ 中，

      $∠ A F E = 180 ° - ∠ A H F - ∠ H A F = 180 ° - 90 ° - 45 ° = 45 °$ ，

      $∴ ∠ A F E = ∠ D C A = 45 °$ ．

在 $△ A E F$ 与 $△ D A C$ 中， ${\begin{array}{l} ∠ A E F = ∠ D A C \\ \begin{array}{l} ∠ A F E = ∠ D C A \\ \underline{▲} \end{array} \end{array}$

      $∴ △ A E F ≌ △ D A C$ ，
$∴ E F = A C$ （）．

(2)、【推广探究】
如图，若点D为边BC延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

(3)、【拓展应用】
若 $A C = 6$ ， $A H = 2$ ，其它条件不变时， $E H =$ ．

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33.

(1)、【问题发现】

如图 $1$ ， $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 中， $∠ B = ∠ E = ∠ A C D = 90 °$ ， $A C = C D$ ， $B$ 、 $C$ 、 $E$ 三点在同一直线上， $A B = 3$ ， $E D = 4$ ，则 $B E =$ ．

(2)、【问题提出】
如图 $2$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B C = 4$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A C$ ，且 $C D = A C$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

(3)、【问题解决】
如图 $3$ ，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ C A B = ∠ A D C = 45 °$ ， $△ A C D$ 面积为 $12$ 且 $C D$ 的长为 $6$ ，求 $△ B C D$ 的面积．

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34. 在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 是射线 $A B$ 上的动点， $A E$ 垂直于直线 $C D$ 于点 $E$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、【探索发现】如图①，若点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上，点 $E$ 在线段 $C D$ 上时，请猜想 $C F$ ， $B D$ ， $A B$ 之间的数量关系为；

(2)、【拓展提升】如图②，若点 $D$ 在线段 $A B$ 上（不与点 $A$ ， $B$ 重合），试猜想 $C F$ ， $B D$ ， $A B$ 之间的数量关系，并说明理由：

(3)、【灵活应用】当 $A B = 3$ ， $C F = 3 \sqrt{2}$ 时，直接写出线段 $B D$ 的长为

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