2024年深圳市数学七（下）期末复习：最新压轴题

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，已知 $A B ∥ E F$ ，点C在EF上， $∠ E A C = ∠ E C A$ ， BC平分∠DCF ，且AC⊥BC ．则下列结论：① $A E ∥ C D$ ；② $∠ 1 + ∠ B = 90 °$ ；③ $∠ B D C = 2 ∠ 1$ ．其中正确的个数有（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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2. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，对角线 $A C = 5$ ，动点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿 $C - A - D - C$ 运动．设点 $P$ 的运动路程为 $x (c m)$ ， $△ B C P$ 的面积为 $y (c m^{2})$ ．若 $y$ 与 $x$ 的对应关系如图所示．则图中 $a - b =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、3 D、4

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3. 某种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将1个细菌放在培养瓶中经过64分钟就能分裂满一瓶．若将4个这种细菌放入同一个培养瓶中，分裂满一瓶的时间是（　　）

A、16分钟 B、32分钟 C、52分钟 D、62分钟

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4. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 $A B$ ， $C D$ ，若CD∥BE ， $∠ 1 = 42 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $84 °$ B、 $94 °$ C、 $96 °$ D、 $106 °$

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5. 合并同类项m﹣3m+5m﹣7m+…+2013m的结果为（）

A、0 B、1007m C、m D、以上答案都不对

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6. 甲从深圳匀速骑电动车到广州，乙从广州匀速骑摩托车到深圳，两人同时出发，到达目的地后，立即停止运动，甲、乙两人离深圳的距离 $y (k m)$ 与他们骑车的时间 $x (h)$ 之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）

A、深广两地的距离为 $120 k m$ B、甲的速度为 $20 k m / h$ C、乙的速度为 $30 k m / h$ D、乙运动 $3 h$ 到达深圳

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7. 如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：①∠ACE=∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD=60°或150°；④当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的个数是（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

8. 如图（一）所示的这种拼图（宽度设为acm）我们小时候可能都玩过，已知有若干片相同的拼图，且拼图依相同方向排列时可紧密拼成一行，如图（二）所示，当4片拼图紧密拼成一行时长度为19cm；如图（三）所示，当10片拼图紧密拼成一行时长度为46cm，则这样一片拼图的宽度a为cm．

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9. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为 $a$ 的正方形，其中 $a^{2} = 8$ ，小等腰直角三角板 $M$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和 $M$ 板的位置如图2所示，则图2的面积为．

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10. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ，点E ， F是边 $B C$ ， $C D$ 上的点， $E C = 3$ ，且 $B E = D F = x$ ，分别以 $F C$ ， $C B$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和 $C B M N$ ，若长方形 $C B Q F$ 的面积为20，则图中阴影部分的面积和为

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11. 如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是．

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12. 电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“ $9 \frac{3}{4}$ 站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣ $\frac{2}{3}$ ， $\frac{8}{3}$ 处，AP=2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“站台”．

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13. 如图，长方形 $O A B C$ 在平面直角坐标系中，其中 $A (4,0)$ ， $C (0,3)$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，动点 $P$ 从 $O$ 点出发，以每秒 $1 cm$ 的速度沿 $O - A - B -$ $E$ 运动，最终到达点 $E$ ．若点 $P$ 运动的时间为 $x$ 秒，那么当 $△ O P E$ 的面积等于 $5 {cm}^{2}$ 时， $P$ 点坐标为.

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14. 如图，△ABC中，D是AB的中点，且 $A E : C E = 2 : 1$ ， $S_{△ C E P} = 1$ ，则 $S_{△ A B C} =$ .

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三、解答题

15. 多项式乘法的学习中，等式 $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ 可以用平面图形（图 $1$ ）的面积来说明．

(1)、【初步探究】
请使用（图 $2$ ）的 $2$ 种规格的正方形，设计一个平面图形方案说明等式 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 是正确的；

(2)、【知识拓展】
为进一步探索部分平面图形的面积与等式的关系，在某次数学活动中，准备（图 $3$ ）所示的三种规格的正方形、长方形卡片若干张．小明从中选取 $9$ 张，拼成一个边长为 $(a + b + c)$ 的正方形，请你写出与其面积相应的等式；

(3)、【延伸应用】
请利用（ $2$ ）中得到的等式解答以下问题：若实数 $x ， y$ ，满足 $x^{2} + 4 y^{2} + 9 z^{2} = 8$ ， $x + 2 y + 3 z = 4$ ，求 $2 x y + 3 x z + 6 y z$ 的值．

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16. 【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决些图形问题.
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y ，宽为x的长方形.并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.

(1)、【理解应用】
观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式.

(2)、【拓展升华】
利用（1）中的等式解决下列问题.
①已知 $a^{2} + b^{2} = 10$ ， $a + b = 6$ ，求 $a b$ 的值；
②已知 $(2021 - c) (c - 2019) = - 2020$ ，求 ${(2021 - c)}^{2} + {(c - 2019)}^{2}$ 的值.

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17. 任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T： $m < T < n$ ，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为（m ， n），
如 $1 < \sqrt{2} < 2$ ，所以 $\sqrt{2}$ 的麓外区间为（1，2）．

(1)、无理数 $\sqrt{17}$ 的“麓外区间”是；

(2)、实数x ， y ， m满足关系式：
$\sqrt{2 x + 3 y - m} + \sqrt{3 x + 4 y - 2 m} + \sqrt{x + y - 123} = 0$
求m的算术平方根的“麓外区间”．

(3)、若某一个无理数T的“麓外区间”为（m ， n），其中 ${\begin{cases} x = m \\ y = n \end{cases}$ 是关于x ， y的二元一次方程 $2 y + x = 11$ 的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T ．

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18. 【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小圳在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图1中，有 $∠ 1 = ∠ 2$ ．

(1)、【初步探究】如图2，设镜子AB与BC的夹角 $∠ A B C = α$ ，当 $α =$ 时，小圳发现入射光线EF与反射光线GH恰好平行．

(2)、【深入探究】如图3，小圳渐渐改变两镜面之间夹角，使得 $α$ 是一个锐角，从F点发出一条光线EF经过2次反射又回到了点F ，入射光线EF与第2次反射光线GF的夹角为 $∠ E F G$ ．用含 $α$ 的式子表示 $∠ E F G$ ．

(3)、【拓展应用】如图4，小圳继续改变两镜面之间夹角，使得 $α = 110 °$ ，若 $∠ B C D$ 也是一个钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角 $∠ 1 = 30 °$ ．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过3次反射，当第3次反射光线与入射光线EF平行时，求出 $∠ B C D$ 的度数．

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19. 综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图1， $∠ E F H = 9 0^{°}$ ，点 $A$ 、 $C$ 分别在射线 $F E$ 和 $F H$ 上， $A B ∥ C D$ ．

(1)、若 $∠ F A B = 15 0^{°}$ ，则 $∠ H C D$ =度；探究中小聪同学发现，过点 $F$ 作 $F G ∥ A B$ 即可得到 $∠ H C D$ 的度数，请直接写出 $∠ H C D$ 的度数；

(2)、小明同学发现：无论 $∠ F A B$ 如何变化， $∠ F A B - ∠ H C D$ 的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过点 $A$ 作 $A M ∥ F H$ ，交 $C D$ 于 $M$ ，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值，并说明理由；

(3)、如图3，把“ $∠ E F H = 9 0^{°}$ ”改为“ $∠ E F H = α$ ” （ $0 ＜ α ＜ 18 0^{°}$ ），其它条件保持不变，猜想 $∠ F A B$ 与 $∠ H C D$ 的数量关系，并说明理由．

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20. 如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a-30|+(b+6)²=0.点O是数轴原点。

(1)、点A表示的数为，点B表示的数为，线段AB的长为。

(2)、若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=2BC，则点C在数轴上表示的数为。

(3)、现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？

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21. 如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

(1)、求证：AB∥CD；

(2)、如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线相交于点P，直线EP与直线CD交于点G，过点G做EG的垂线，交直线MN于点H．求证：PF∥GH；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，且∠PHK=∠HPK，作∠EPK的平分线交直线MN于点Q．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出∠HPQ的度数；若变化，请说明理由．

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22. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围.
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 到点E ，使 $D E = A D$ .请根据小明的方法思考：

(1)、请证明 $△ A D C ≌ △ E D B$

(2)、请直接写出 $A D$ 的取值范围 $< A D <$ ；

(3)、【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题.
如图2，已知 $∠ B A C + ∠ C D E = 180 °$ ， $A B = A C$ ， $D C = D E$ ， P为 $B E$ 的中点.若A ， C ， D共线，求证： $A P$ 平分 $∠ B A C$ ；

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