2024年浙教版数学八（下）期末复习：精选压轴题（3）

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 当 $x > - 3$ 时，对于x的每一个值，函数 $y = k x$ （k≠0）的值都小于函数 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 的值，则k的取值范围是（）

A、 $k \geq - \frac{3}{2}$ 且 $k \neq 0$ B、 $k \leq - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2} \leq k \leq - \frac{1}{2}$ D、 $0 < k \leq - \frac{1}{2}$

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2. 将四块直角三角形按图示方式围成面积为10的 $▱ A B C D$ ，其中 $△ A B F ≌ △ C D H$ ，其内部四个顶点构成正方形 $E F G H$ ．若 $∠ A B F = 45 °$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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3. 延时课上，王林用四根长度都为 $4 c m$ 的木条制作了图 $1$ 所示正方形，而后将正方形的 $B C$ 边固定，平推成图 $2$ 的图形，并测得 $∠ B = 60 °$ ，则在此变化过程中结论错误的是（）

A、 $A B$ 长度不变，为 $4 c m$ B、 $A C$ 长度变小，减少 $4 (\sqrt{2} - 1) c m$ C、 $B D$ 长度变大，增大 $4 (\sqrt{3} - \sqrt{2}) c m$ D、 $A B C D$ 面积变小，减少 $8 (\sqrt{3} - 1) c m^{2}$

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4. 如图，一块边长为 $18 d m$ 的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为 $4 d m$ 的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为（）

A、 $100 d m^{2}$ B、 $128 d m^{2}$ C、 $162 d m^{2}$ D、 $180 d m^{2}$

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5. 如图， $△ A B C$ 是锐角三角形， $E$ 是 $B C$ 的中点，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边向外侧作等腰三角形 $A B M$ 和等腰三角形 $A C N$ ．点 $D$ ， $F$ 分别是底边 $B M$ ， $C N$ 的中点，连接 $D E$ ， $E F$ ，若 $∠ B A M = ∠ C A N = θ$ （是锐角），则 $∠ D E F$ 的度数是（）

A、 $180 - 2 θ$ B、 $180 - θ$ C、 $90 + 2 θ$ D、 $90 + θ$

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6. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的边 $O A$ 在x轴正半轴上，其中 $∠ O A B = 90 °$ ， $A O = A B$ ，点C为斜边 $O B$ 的中点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象过点C且交线段 $A B$ 于点D，连接 $C D$ ， $O D$ ，若 $S_{△ O C D} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{S_{△ B C D}}{S_{△ O A D}}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 8$ ，对角线 $A C$ 的垂直平分线与边 $A D$ ， $B C$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\frac{8}{3} \sqrt{3}$ D、5

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二、填空题

8. 如图，把正方形纸片 $A B C D$ 分割成九块，将其不重叠、无缝隙地拼成矩形 $B E F G$ （由 $5$ 个小正方形组成），则矩形 $B E F G$ 与正方形 $A B C D$ 的对角线之比 $\frac{B F}{A C} =$ ．

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E，F分别在 $A D$ 和 $A B$ 上，依次连接EB，EC，FC，FD，阴影部分面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，已知 $S_{1} = 2$ ， $S_{2} = 17$ ， $S_{3} = 5$ ，则 $S_{4} =$ ．

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10. 如图，已知四边形 $A B C D$ 为菱形， $A B = 4$ ， $∠ C = 60 °$ ， $B D$ 为对角线，E为边 $C D$ 上一动点，且 $E F ∥ B D$ 交 $B C$ 于点F，连接 $A E$ ， $A F$ ， G为 $A E$ 的中点，连接 $F G$ ．
①若E为 $D C$ 的中点，则 $C F$ 的长为；
②点E在运动过程中， $G F$ 的最小值为．

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11. 如图，菱形 $O A B C$ 的边 $O A$ 在x轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象经过菱形对角线 $O B$ 的中点D和顶点C，若菱形 $O A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{2}$ ，则点C的坐标为．

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2$ ，点P在 $C D$ 上，不与点C，点D重合，连接 $A P$ ， $B P$ ， $△ A B P$ 为直角三角形，当满足条件的P点有且只有一个时， $A B =$ ．

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ 分别交 $B C$ ， $B D$ 于点 $E$ ，点 $M$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ A E$ 于点 $P$ ，交 $A C$ 于点 $G$ ，交 $C D$ 于点 $F$ ，则 $O M$ 与 $O G$ 存在数量关系；当 $O M = 1$ 时，则 $B M =$ ．

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14. 在一张边长为 $4 c m$ 的正方形纸片上剪下一个一边长为 $5 c m$ 的等腰三角形，要求：等腰三角形的三个顶点都落在正方形的边上，且其中一个顶点与正方形的顶点重合，则所得等腰三角形的面积可能是 $c m^{2}$ （写出至少三个）

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三、解答题

15. 根据以下素材，探索完成任务．

制作检测 $75 %$ 酒精的漂浮吸管

素材1

如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的深度会因液体密度的改变而改变．

素材2

小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数 $h （ c m ）$ 与液体密度ρ（ $g / c m^{3}$ ）之间的几组数据如下表：

h（cm）	…	$19.8$	$18$	$16.5$	$13.2$	…
ρ（ $g / c m^{3}$ ）	…	$1.0$	$1.1$	$1.2$	$1.5$	…

素材3

浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为 $0.8$ $g / c m^{3}$ ， $1.0$ $g / c m^{3}$ ）：

$ρ_{a % 酒精} = \frac{m}{V} = \frac{a % V \cdot ρ_{酒精} + (1 - a %) V \cdot ρ_{酒精}}{V} = a % \times 0.8 + (1 - a %) \times 1.0 = - 0.002 a + 1$

问题解决

任务1

求ρ关于h的函数表达式．

任务2

由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到 $0.1 c m$ ）

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16. 如图1，四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $A$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 在 $x$ 轴上，且 $O A = 2 O B$ ，反比例函数 $y = \frac{27}{x}$ 在第一象限的图象经过正方形的顶点 $C$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、如图2，将正方形 $A B C D$ 沿 $x$ 轴向右平移得到正方形 $A' B' C D'$ ，点 $A'$ 恰好落在反比例函数的图象上，求此时点 $D'$ 的坐标；

(3)、在(2)的条件下，点 $P$ 为 $y$ 轴上一动点，平面内是否存在点 $Q$ ，使以点 $O$ 、 $A'$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = 2$ ，点E在直线 $B C$ 上，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠，点B落在点F处，连接 $E F$ ．

(1)、如图1，当点F落在矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上时，
①求 $C F$ 的长；
②求 $B E$ 的长．

(2)、如图2，连接 $B F$ ，将 $△ B E F$ 沿 $B F$ 折叠，点E落在点G处，连接 $F G ， G B$ ，得到四边形 $B E F G$ ，求证：四边形 $B E F G$ 是菱形．

(3)、在（2）的条件下，当菱形 $B E F G$ 的一条对角线与矩形 $A B C D$ 的一条对角线在同一条直线上时，请直接写出 $B E$ 的长．

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18. 如图，已知矩形纸片 $A B C D$ ， $A B = a$ ， $B C = b$ （ $a > b$ ）．

(1)、如图1，将矩形纸片 $A B C D$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $C D$ 边上的点 $A^{'}$ 处，折痕 $D E$ 交边 $A B$ 于点E．求证：四边形 $A E A^{'} D$ 是正方形．

(2)、将图1中的矩形纸片 $A B C D$ 沿过点E的直线折叠，使点C落在 $A D$ 边上的点 $C^{'}$ 处，点B落在点 $B^{'}$ 处，折痕 $E F$ 交边 $D C$ 于点F，连结 $E C^{'}$ ，如图2，
①求证： $A C^{'} = B^{'} E$ ．
②若 $a = 8$ ， $b = 6$ ，求折痕 $E F$ 的长．
③当 $△ E F C^{'}$ 为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．

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19. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点G在对角线 $B D$ 上，不与点B，D重合，连接 $A G$ 并延长交 $C D$ 于点E，连接 $C G$ 并延长交 $A D$ 于点M，过点D作 $D N ⊥ A E$ 交 $C M$ 于点P，交 $B C$ 于N，垂足为F．

(1)、求证： $A G = C G$ ；

(2)、求证： $∠ C G E = 2 ∠ B D N$ ；

(3)、若 $B D = 4 D G$ ， $G P = a$ ，求 $A G$ 的长．（用含a的式子表示）

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20. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ， $A B = 3$ ，作菱形 $A D E F$ ，使点D，E，F分别在 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 上．点P在线段 $D F$ 上，点R在线段 $C E$ 上，且 $E R = \sqrt{3} P D$ ， $P Q ∥ B C$ 交 $A C$ 于点Q．

(1)、求菱形 $A D E F$ 的边长．

(2)、求证：四边形 $C Q P R$ 是平行四边形．

(3)、当 $▱ C Q P R$ 的邻边之比为 $\sqrt{3} ： 2$ 时，求 $P D$ 的长．

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21. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽 $A D = 6$ ．

(1)、动手实践：如图1，A小组将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，点D落在 $A B$ 边上的点E处，折痕为 $A F$ ，连接 $E F$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $A E F D$ ．试判断四边形 $A E F D$ 的形状，并加以证明．

(2)、如图2，B小组将矩形纸片 $A B C D$ 对折使 $A B$ 与 $D C$ 重合，展平后得到折痕 $P Q$ ，再次过点A折叠使点D落在折痕 $P Q$ 上的点N处，得到折痕 $A M$ ，连结 $M N$ ，展平后得到四边形 $A N M D$ ，请求出四边形 $A N M D$ 的面积．

(3)、深度探究：
如图 3，C小组将图1中的四边形 $E F C B$ 剪去，然后在边 $A D ， E F$ 上取点G，H，将四边形 $A E F D$ 沿 $G H$ 折叠，使A点的对应点 $A^{'}$ 始终落在边 $D F$ 上（点 $A^{'}$ 不与点D，F重合），点E落在点 $E^{'}$ 处， $A^{'} E^{'}$ 与 $E F$ 交于点T．
探究①当 $A^{'}$ 在 $D F$ 上运动时， $△ F T A^{'}$ 的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．

探究②直接写出四边形 $G A E H$ 面积的最小值．

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22. 如图，过原点的直线 $l$ 交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于点 $A$ 和点 $B$ ，点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 3)$ ，点 $C$ 是双曲线上异于点 $A$ 的动点，且点 $C$ 在第一象限，作直线 $O C$ 交双曲线于点 $D$ ．连接 $A D$ ， $D B$ ， $B C$ ， $C A$ ．

(1)、以下是小明同学探究四边形 $A D B C$ 是平行四边形的过程，请你补充完整：
∵双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 关于原点成中心对称，且过原点的直线 $l$ 与双曲线交于点 $A$ 和点 $B$ ，
∴ ．
同理 $O C = O D$ ．
∴四边形 $A D B C$ 是平行四边形．

(2)、问题探究：
① $▱ A D B C$ 是否可能为矩形？请说明理由．
② $▱ A D B C$ 是否可能为菱形？请说明理由．

(3)、当 $▱ A D B C$ 的面积为18时，求点 $C$ 的坐标．

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