备考2024年中考数学文化自信抢分练11中国古代数学重要成就

试卷更新日期：2024-06-02 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 2021年7月11日至18日，第十四届国际数学教育大会（ICME14）在上海举行．如图是ICME14的会标，包含了大量的中国数学元素——河图、洛书、弦图、八卦等，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标．下列中国古代数学成就中，与“弦图”有关的是（）

A、天元术 B、正负术 C、勾股定理 D、杨辉三角

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2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图所示的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分）（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在世界数学史首次正式引入负数的中国古代数学著作是（）

A、《孙子算经》 B、《九章算术》 C、《算法统宗》 D、《周髀算经》

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5. 三国魏景元四年（公元263年），由我国古典数学理论的奠基人之一刘徽完成了《九章算术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是（）

A、《海岛算经》 B、《孙子算经》 C、《九章算术》 D、《五经算术》

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6. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C + A B = 10$ 尺， $B C = 4$ 尺，求AC的长.则AC的长为（）

A、4.2尺 B、4.3尺 C、4.4尺 D、4.5尺

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7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} (x + 4.5) = x - 1$ B、 $\frac{1}{2} (x + 4.5) = x + 1$ C、 $\frac{1}{2} (x + 1) = x - 4.5$ D、 $\frac{1}{2} (x - 1) = x + 4.5$

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8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A、 $2 ， 3 ， 4$ B、 $4 ， 5 ， 6$ C、 $7 ， 8 ， 9$ D、 $6 ， 8 ， 10$

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9. 如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部数学著作，它们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书，下列数学著作不属于《算经十书》的是（）

A、《孙子算经》 B、《海岛算经》 C、《九章算术》 D、《算法统宗》

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11. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， $\hat{A B}$ 是以点O为圆心、OA为半径的圆弧 $\hat{A B}$ 的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+ $\frac{M N^{2}}{O A}$ ．当OA＝4，则l的值为（）

A、11-2 $\sqrt{3}$ B、11-4 $\sqrt{3}$ C、8-2 $\sqrt{3}$ D、8-4 $\sqrt{3}$

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12. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项式(a+b)"的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.
根据“杨辉三角”计算(a+b)⁸的展开式中从左起第四项的系数为（）

A、84 B、56 C、35 D、28

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13. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（）

A、 B、 C、 D、

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14. 我国古代的数学家曾写下了许多数学名著，这些数学著作是了解古代数学成就的丰富宝库，其中有不少成就在世界范围内处于遥遥领先的地位.下列数学名著与其内容搭配不正确的一项是（）

A、《周髀算经》勾股定理 B、《九章算术》负数的概念和正负数的运算 C、《海岛算经》三斜求积术 D、《孙子算经》鸡兔同笼

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15. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》是《算经十书》之一．书中记载了这样一个问题：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 $4.5$ 尺；将绳子对折再量长木，长木还余1尺．则木长为（）尺．

A、5 B、 $5.5$ C、6 D、 $6.5$

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16. 《孙子算经》是中国传统数学重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客’，津吏曰：‘客几何’？妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五’，不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人 $x$ 人，则下列方程正确的是（）

A、 $\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} x = 65$ B、 $2 x + 3 x + 4 x = 65$ C、 $\frac{65}{2} x + \frac{65}{3} x + \frac{65}{4} x = 1$ D、 $\frac{65}{2 x} + \frac{65}{3 x} + \frac{65}{4 x} = 1$

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17. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书.十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代数学的高峰.《算经十书》这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期.其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期.某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{1}{18}$

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18. 《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》.其中在《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 $4.5$ 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 $1$ 尺，问绳子、木条长多少尺？”，设绳子长为 $x$ 尺，木条长为 $y$ 尺，根据题意，所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ y - \frac{1}{2} x = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 4.5 \\ y - \frac{1}{2} x = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ \frac{1}{2} x - y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ x - \frac{1}{2} y = 1 \end{array}$

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19. 《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（）

A、 $3 (x + 2) = 2 x - 9$ B、 $3 (x + 2) = 2 x + 9$ C、 $3 (x - 2) = 2 x - 9$ D、 $3 (x - 2) = 2 x + 9$

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20. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阻影部分的面积之和，则一定能求出（　　）

A、正方形 $A B E D$ 的面积 B、正方形 $A C F G$ 的面积 C、正方形 $B C M N$ 的面积 D、 $△ A B C$ 的面积

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21. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形”解释二项式 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式的各项系数，此“三角形”称为“杨辉三角”.如 $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{2}$ 其展开式的系数从左起依次是 $1$ ， $3$ ， $3$ ， $1$ ，请根据“杨辉三角”计算 ${(a + b)}^{8}$ 的展开式中从左起第四项的系数为（）

A、 $84$ B、 $56$ C、 $35$ D、 $28$

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二、填空题

22. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携一斗，人食日二升．其大意为，在行军过程中，民夫可以背负六斗（60升）米，士兵可以自己背一斗（10升）米，民夫（士兵）每人一天行军会消耗2升米．

(1)、若每个士兵雇佣4个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为天；

(2)、若每个士兵雇佣 $n$ 个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为（用含有 $n$ 的代数式表示）；如果每个士兵雇佣的民夫数量没有上限，在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持的行军天数有没有上限？（回答“有”或者“没有”）请你说明理由．

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23. 杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用 $a_{n}$ 表示这个数列的第n个数，则 $a_{99} + a_{100} =$ ．

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24. 《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”.《九章算术》大约成书于公元前200年~公元前50年，是以应用问题解法集成的体例编纂成书的，全书按题目的应用范围与解题方法划分为“方田”、“粟米”、“衰分”等九章.
《九章算术》中有这样一个问题：

今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数，金价各几何？

其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱.问人数、金价各是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为

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25. 出人相补原理是我国古代数学的重要成就之一最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF+EG= ．

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26. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板.我校“麒麟团”数学兴趣小组用边长为8的正方形，做了如图①所示的七巧板.将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为.

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27. 如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为．

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28. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”．如图把正方形 $A B C D$ 木板分为 $7$ 块，制作成七巧板，若正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，那么该七巧板中第④块图形的面积为．

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三、解答题

29. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ， b ，斜边长为c）．

(1)、如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．
方法1： $S_{阴影} =$ ；
方法2： $S_{阴影} =$ ；
根据以上信息，可以得到等式：；

(2)、小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；

(3)、如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若 $a = 6$ ， $b = 3$ ，求阴影部分的面积．

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30. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” （如图 ①，后人称之为 “赵爽弦图”，流传至今．

(1)、 ①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明，人们已经找到了 400 多种方法，请从以下三种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（图 ①②③均满足证明勾股定理所需的条件）．

(2)、 ①如图④⑤⑥，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 的有 ▲ 个．
②如图⑦，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，直角三角形的面积为 $S_{3}$ ，请判断 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ 的数量关系并证明．

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四、综合题

31. 我国宋代著名科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载过有关古代行军后勤方面的情况，其大意为：每个民夫最多可以携带6斗（1斗＝10升）粮食；一个士兵除了武器装备外，最多可以携带10升粮食；每个士兵和民夫平均每天各消耗2升粮食．

(1)、如果每个士兵雇佣一个民夫随其行军，那么最多可以支持多少天的行军？

(2)、如果要维持25天的行军，每位士兵需要雇佣多少位民夫随其行军？

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五、实践探究题

32. “杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1．

(1)、求图1中第8行第5个数是；

(2)、求图1中前10行所有的数字之和；

(3)、“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为： $1 ， 3 ， 6, 10, 15 ⋯$ ，记第 $n$ 层的圆球数记 $a_{n}$ ，求 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2023}}$ 的值．

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