2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破11 平行四边形中的分类讨论问题

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点E ，若点E分 $A D$ 为 $1 : 3$ 两部分，则 $D E$ 的长为（）

A、1 B、1或9 C、4 D、4或12

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2. 在平行四边形ABCD中有一个内角为50°，则∠A的度数为（）

A、50° B、100° C、50°或100° D、50°或130°

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3. 在 $▱ A B C D$ 中， $B E$ 、 $C F$ 分别是 $∠ A B C$ 和 $∠ B C D$ 的平分线， $B E$ 、 $C F$ 分别与 $A D$ 相交于点 $E$ 、 $F$ ， $A B = 6$ ， $E F = 2$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、10 B、14 C、8或14 D、10或14

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4. 将一个四边形 $A B C D$ 的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（）．

A、180° B、180°或360° C、360°或540° D、180°或360°或540°

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5. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A，B的坐标分别是（2，0），（4，2），若在x轴下方有一点P，使以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是（）

A、（4，﹣2） B、（﹣4，﹣2） C、（4，﹣2）或（﹣2，﹣2） D、（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）

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6. 如图，在平面直角坐标系中，A(-8，-1)，B(-6，-9)，C(-2，-9)，D(-4，-1)先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A₁B₁C₁D₁ ，最后将四边形A₁B₁C₁D₁ ，绕着A₁旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线交点坐标为（）

A、(4 ，0) B、(5，0) C、(4，0)或 (5，0) D、(5，0)或(-5，0)

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 中，AD//BC， $A D = 8 c m ， B C = 12 c m$ ， M是 $B C$ 上一点，且 $B M = 9 c m$ ，点E从点A出发以 $1 c m / s$ 的速度向点D运动，点F从点C出发，以 $3 c m / s$ 的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为 $t (s)$ ，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、3 C、3或 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{3}{4}$

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8. 平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为（）cm

A、14 B、16 C、12或14 D、14或16

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9. 在面积为 $6 \sqrt{21}$ 的平行四边形ABCD中，分别过点A作直线BC的垂线AE，垂足为E，作直线CD的垂线AF，垂足为F．若AB＝ $3 \sqrt{7}$ ， BC＝ $2 \sqrt{7}$ ，则CE+CF的值为（）

A、 $5 \sqrt{7} + 10$ B、 $5 \sqrt{7} - 10$ C、 $5 \sqrt{7} + 10$ 或 $2 + \sqrt{7}$ D、 $5 \sqrt{7} + 10$ 或 $5 \sqrt{7} - 10$

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10. 如图，已知平行四边形ABCD， $A B = 6$ ， $B C = 9$ ， $∠ A = 120 °$ ，点P是边AB上一动点，作 $P E ⊥ B C$ 于点E，作 $∠ E P F = 120 °$ （PF在PE右边）且始终保持 $P E + P F = 3 \sqrt{3}$ ，连接CF、DF，设 $m = C F + D F$ ，则m满足（）

A、 $m \geq 3 \sqrt{13}$ B、 $m \geq 6 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{13} \leq m < 9 + 3 \sqrt{7}$ D、 $3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{7} < m < 3 \sqrt{7} + 9$

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二、填空题（每题4分，共20分）

11. 在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，已知点 $A (2, 3)$ ，点 $B (5, 3)$ ，在平面直角坐标系中求点 $P$ ，使得以点 $A 、 B 、 P 、 O$ 四点为顶点的四边形为平行四边形，请写出满足条件的点 $P$ 的坐标：．

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12. 如图所示，在▱ABCD中，对角线交于点O，点E，F在对角线AC上（不同于点A，C），当点E，F的位置满足的条件时，四边形DEBF是平行四边形。

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13. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是 $(0 ， 0)$ ， $(5 ， 0)$ ， $(2 ， 3)$ ，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有个.

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交边 $B C$ 于 $E$ ， $D F$ 平分 $∠ A D C$ 交边 $B C$ 于 $F$ .若 $A D = 11$ ， $E F = 5$ ，则 $A B =$ .

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15. 如图，等腰三角形纸片ABC中， $A D ⊥ B C$ 于点D ， $B C = 4$ ， $A D = 3$ ，沿AD剪成两个三角形.用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形较长对角线的长为.

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三、解答题（共7题，共70分）

16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．

(1)、求点E和点D的坐标．

(2)、平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ，给出如下定义：当点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 满足 $x_{1} \cdot x_{2} = y_{1} \cdot y_{2}$ 时，称点Q是点P的等积点．已知点 $P (1 ， 2)$ ．

(1)、在 $Q_{1} (2 ， 1)$ ， $Q_{2} (- 4 ， - 1)$ ， $Q_{3} (8 ， 2)$ 中，点P的等积点是　　．

(2)、点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．

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18. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t(s)，

(1)、求AE的长；

(2)、是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

(3)、当时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分(直接写出答案)”

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19. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 $A C$ 交x轴于点A，交y轴于点 $C (0 ， 12)$ ，过点C作直线 $B C ⊥ A C$ 交x轴于点B，且 $A B = 25$ ， $A O ： C O = 3 ： 4$ ，点P在线段 $O C$ 上，P的坐标为 $(0 ， 4)$ ．

(1)、求 $A C 、 B C$ 的长；

(2)、若M为线段 $B C$ 的中点，求直线 $P M$ 的解析式；

(3)、在平面内是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

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20. 综合与探究
如图，直线 $A B ： y = - x + 3$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $B ， E$ ，过点A作直线 $C D$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $C (- 9 ， 0)$ ， $D (0 ， \frac{9}{2})$ ．

(1)、求直线 $C D$ 的解析式．

(2)、在 $y$ 轴左侧作直线 $F G ∥ y$ 轴，分别交直线 $A B$ ， $C D$ 于点 $F ， G$ ．当 $F G = 2 D E$ 时，过点 $G$ 作直线 $G H$ $∥ x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $H$ ．能否在直线 $G H$ 上找一点 $P$ ，使 $P F + P D$ 的值最小，求出 $P$ 点的坐标．

(3)、 $M$ 为直线 $C D$ 上一点，在（2）的条件下， $x$ 轴上是否存在点 $Q$ 使得以 $P ， Q ， M ， O$ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 问题：如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B ＝ 10 ， A D ＝ 6$ ， $∠ D A B ， ∠ A B C$ 的平分线 $A E 、 B F$ 分别与直线 $C D$ 交于点E、F.

(1)、请直接写出 $E F$ 的长．

(2)、探究：把“问题”中的条件“ $A B ＝ 10$ ”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时， $A B$ 的长为．
②当点E与点C重合时， $E F$ 的长为．

(3)、把“问题”中的条件“ $A B ＝ 10 ， A D ＝ 6$ ”去掉，其余条件不变，当点C ， D ， E ， F相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{A D}{A B}$ 的值．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 6)$ ，点 $D (- 6 ， 0)$ ，以 $A B$ 、 $A D$ 为边作 $▱ A B C D$ ，点E为 $B C$ 中点，连接 $D E$ 、 $A E$ ．

(1)、分别求出线段 $A E$ 和线段 $D E$ 所在直线解析式；

(2)、点P为线段 $A E$ 上的一个动点，作点B关于点P的中心对称点F，设点P横坐标为a，用含a的代数式表示点F的坐标（不用写出a的取值范围）；

(3)、在（2）的条件下，
①当点F移动到 $△ A D E$ 的边上时，求点P坐标；
②M为 $P E$ 中点，N为 $P A$ 中点，连接 $M F$ 、 $N F$ ．请利用备用图探究，直接写出在点P的运动过程中， $△ M F N$ 周长的最小值和此时点P的坐标．

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