2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破10 平行四边形的折叠问题

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°则∠A的度数为（）

A、108° B、109° C、110° D、111°

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2. 如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为 $($ $)$

A、 $102 °$ B、 $112 °$ C、 $122 °$ D、 $92 °$

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3. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，将 $△ A D C$ 沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若 $∠ B = 60 ° ， A B = 4$ ，则 $△ A D E$ 的周长为（）

A、24 B、22 C、16 D、12

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4. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 折叠后，点D恰好落在 $D C$ 的延长线上的点E处．若 $∠ B = 60 °$ ， $A B = 2$ ，则 $△ A D E$ 的周长为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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5. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）

A、66° B、104° C、114° D、124°

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6. 如图，已知在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A D$ 上一点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折，点 $A$ 正好落在 $C D$ 边上的点 $F$ 处，若 $△ D E F$ 的周长为 $10 c m$ ， $△ B C F$ 的周长为 $24 c m$ ，则 $C F$ 的长为（）

A、6cm B、7cm C、10cm D、12cm

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7. 如图，在平行四边形ABCD中， $∠ D A B = 12 0^{°} ， ∠ B C A = 7 5^{°}$ ， DF=6，E为AC上一点，将 $△ A D E$ 沿着DE翻折，点A恰好落在边CD上的F点处，连接BF，则BF长度为（）．

A、 $3 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{6}$ +2

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8. 2022北京冬奥会的设计呈现了中国美学，很多设计中利用了轴对称的美．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E， $∠ A E B = 45 °$ ， $B D = 4$ ，李旻老师设计时将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使得点B落在点 $B^{'}$ 的位置，连接 $D B^{'}$ ，则 $D B^{'}$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、15

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9. 如图，AC是▱ABCD的对角线，将▱ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕EF，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、CE．则下列结论：① $D F = B E$ ；② $∠ A C D = ∠ A C E$ ；③ $O G = \frac{1}{2} A E$ ；④ $S_{△ C B E} = \frac{1}{6} S_{四边形 A B C D}$ ．其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点 $A$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(6 ， 2 \sqrt{3})$ ，将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形 $O A^{^{'}} B^{^{'}} C$ ，若直线 $l$ 把六边形 $O A B C B^{^{'}} A^{^{'}}$ 的面积分成相等的两部分，则直线 $l$ 的解析式为（）

A、 $y^{^{'}} = \sqrt{3} x$ 或 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ B、 $y = 2 \sqrt{3} x$ 或 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2 \sqrt{3}$ C、 $y = 2 \sqrt{3} x$ 或 $y = - \frac{\sqrt{3}}{5} x + \frac{12 \sqrt{3}}{5}$ D、 $y = \sqrt{3} x$ 或 $y = - \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图，将 $▱ A B C D$ 先沿 $B E$ 折叠，再沿 $B F$ 折叠后，A点落在线段 $B F$ 上的 $A^{'}$ 处，C点落在E处，连接 $E A^{'}$ ， $E F$ ．若恰有 $E F ⊥ E A^{'}$ ，则 $∠ A =$ ．

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12. 如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为 .

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13. 数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片 $A B C D ， ∠ A = 60 °$ ，对角线 $B D ⊥ A B$ ，点E，F分别在边 $A D$ 和 $B C$ 上， $E F$ 交 $B D$ 于点P．将纸片沿 $E F$ 折叠，点A落在 $▱ A B C D$ 外的点 $A^{'}$ 处，B落在对角线 $B D$ 上的点G处， $A^{'} G$ 交 $A D$ 于点H，连接 $F H$ ．若 $P F = G H ， C D = 6$ ，则 $F H =$ ．

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三、解答题（共8题，共66分）

14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB= $4 \sqrt{2}$ ， BC=8，∠B=60°，将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D'处，折叠后点C的对应点为点C' ，D'C'交BC于点G，∠BGD'=32°．求：

(1)、∠D'EF的度数；

(2)、线段AE的长．

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15. 如图，将 $▱$ ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的D'处，折痕交CD边于点E，连结BE．

(1)、求证：四边形BCED'是平行四边形；

(2)、若BE平分∠ABC，求证：AB²=AE²+BE² ．

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16. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °, A B = 8, B C = 13$ 点E是边 $B C$ 上一点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠后，点B的对应点为点F．

(1)、如图1，连接 $D E$ ，若点F恰好落在边 $D E$ 上．
①求证： $A D = D E$ ；
②求 $B E$ 的长；

(2)、如图2，连接 $B D$ ，若 $E F ∥ B D$ ，求 $B E$ 的长．

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17. 如图，在平面直角坐标系中， $▱ A O B C$ 的顶点O，B的坐标分别为 $(0 ， 0)$ ， $(12 ， 0)$ ，将 $△ O A B$ 沿对角线 $A B$ 翻折得到 $△ D A B$ （点O，A，D在同一直线上），边 $B D$ 与边 $A C$ 相交于点E，此时， $△ O B D$ 是等边三角形．

(1)、求线段 $A E$ 的长；

(2)、求重叠部分 $△ A E B$ 的面积；

(3)、点N在 $y$ 轴上，点M在直线 $A B$ 上，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

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18. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．

(1)、如图1所示，当∠DPA'＝10°时，∠A'PB＝度；

(2)、如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；

(3)、当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．

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19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D ， ∠ D A B = ∠ B C D$ ．

(1)、如图1，求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、如图1，连接 $B D$ ，射线 $B A$ 沿 $B D$ 翻折交 $C D$ 边于点E，点F，G在 $B D$ 上，点H在 $B E$ 上，连接 $A F 、 G H$ ，若 $∠ A B C = ∠ B H G = 2 ∠ B C D$ ， $A D = A F$ 求证： $∠ B A F = 2 ∠ B G H$ ；

(3)、如图2，在（2）的条件下，G为 $B D$ 中点，若 $B H = 1$ ， $A F = 4$ ，求 $C E$ 的长．

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20.

(1)、问题提出
在平面内，已知线段 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，则线段 $B C$ 的最小值为．

(2)、问题探究
如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 4$ ， $∠ D = 60 °$ ， P是边 $A D$ 的中点，Q是边 $C D$ 上一动点，将三角形 $P D Q$ 沿 $P Q$ 所在直线翻折，得到三角形 $P E Q$ ，连接 $B E$ ，求 $B E$ 的最小值．

(3)、问题解决
如图2，平行四边形 $A B C D$ 为某公园平面示意图，扇形 $B M N$ 为该公园的人口广场，已知 $A B = 150 m$ ， $B C = 130 m$ ， $A C = 140 m$ ， $B M = B N = 20 m$ ．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧 $M N$ 上找一点P ，沿 $A P$ ， $C P$ 修两条绿色通道，并在 $A P$ 上方和 $C P$ 右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域 $A P C D$ 面积的最小值．

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21. 我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折．会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，AB=2 $\sqrt{3}$ ， ∠30°，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．

(1)、【发现与证明】
如图1：结论①△AGC是等腰三角形；结论②B′D∥AC。请证明结论①或结论②（只需证明一个结论）。

(2)、【应用与解答】
如图2：如果BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积。

(3)、【拓展与探索】
直接写出结论，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？

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