2024年北师大版数学八（下）微素养核心突破9 平行四边形的动点问题

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共27分）

1. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $K$ 是底边 $B C$ 上的一动点（不与点 $B 、 C$ 重合），过点 $K$ 分别作 $A B 、 A C$ 的平行线 $K H 、 K Q$ ，交 $A C 、 A B$ 于点 $H 、 Q$ ，则下列数量关系一定正确的是（）

A、 $A Q + Q K = 2 B Q$ B、 $K H + K Q = B C$ C、 $K H + K Q = A C$ D、 $A C - A Q = B K$

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2. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，它们间的距离为2，在直线 $l_{1}$ 下方有一定点 $A$ ，到 $l_{1}$ 的距离为1，点 $B 、 D$ 分别是 $l_{1} 、 l_{2}$ 上的动点，平面内一点 $C$ 与 $A 、 B 、 D$ 三点构成 $▱ A B C D$ ，则对角线 $A C$ 长度的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ C = 135 °$ ， $A D = 3$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的动点，连接 $A F$ ， $E F$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A F$ ， $E F$ 的中点，连接 $M N$ ，则 $M N$ 的最大值与最小值的差为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 2}{2}$

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4. 如图，在给定的△ABC中，动点D从点B出发沿BC方向向终点C运动，DE $∥$ AC交AB于点E，DF $∥$ AB交AC于点F，O是EF的中点，在整个运动过程中，△OBC的面积的大小变化情况是（）

A、不变 B、一直增大 C、先增大后减小 D、先减小后增大

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5. 如图，在平面直角坐标系中， $A$ ， $B$ 两点坐标分别为 $(0 ， 8)$ ， $(- 6 ， 0)$ ， $P$ 为线段 $A O$ 上的一动点，以 $P B$ ， $P A$ 为边构造平行四边形 $A P B Q$ ，则使对角线 $P Q$ 值最小的点 $Q$ 的坐标为（）

A、 $(- 3 ， 4)$ B、 $(- 4 ， 3)$ C、 $(- 6 ， 4)$ D、 $(- 6 ， 3)$

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6. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　）

A、1 B、 $\sqrt{3} -$ 1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2 $- \sqrt{3}$

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7. 如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（）

A、6 B、8 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为 $6 c m$ ，射线 $A G / / B C$ ，点E从点A出发沿射线 $A G$ 以 $1 c m / s$ 的速度运动，点F从点B出发沿射线 $B C$ 以 $2 c m / s$ 的速度运动．设运动时间为 $t (s)$ ，当t=（）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

A、1或2 B、2或3 C、2或4 D、2或6

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B ＝ 90 ° ， A B ＝ 12 c m ， A D ＝ 36 c m ， B C ＝ 40 c m$ ．点 $P$ 从点A出发，以 $3 c m / s$ 的速度向点D运动；点 $Q$ 从点C同时出发，以 $1 c m / s$ 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 $t$ 秒，下列结论错误的是（）

A、当 $t = 9$ 时， $P Q ∥ D C$ B、当 $t = 10$ 时， $P Q ⊥ B C$ C、当 $t = 9$ 或 $11.5$ 时， $P Q = C D$ D、当 $t = 12$ 时，四边形 $A B Q P$ 的最大面积为 $384 c m^{2}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

10. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点D 的纵坐标是6，CD=10，顶点A在y轴上，边 BC 在x轴上.设 P 是射线 BC上的一个动点，则当△ABP 为等腰三角形时，点P的坐标是.

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11. 如图，在▱ABCD中，AD＝3cm，动点P以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动，另一动点Q以每秒1cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止)，若P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为
秒．

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12. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， B C = 2$ ，若D ， E是边 $A B$ 上的两个动点，F是边 $A C$ 上的一个动点， $D E = \sqrt{2}$ ，则 $C D + E F$ 的最小值为．

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13. 如图，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $∠ A C D = 30 °$ ， $A C = 4$ ，过点 $C$ 作 $∠ C A B$ 的平分线的垂线，垂足为点 $E$ ，若点 $O$ 在 $A E$ 的垂直平分线上， $P$ 是直线 $A B$ 上的动点，则 $O P + P E$ 的最小值为．

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14. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为．

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15. 如图，▱ $A B C D$ 中 $∠ A = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A D = 2$ ， $P$ 为边 $C D$ 上一点，则 $\sqrt{3} P D + 2 P B$ 的最小值为．

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三、解答题（共9题，共75分）

16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动点Q在CB边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？

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17. 如图，点B是 $∠ M A N$ 的边 $A M$ 上的定点，点C是边 $A N$ 上的动点，将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转得到 $△ D B E$ ，且点A的对应点D恰好落在边 $A N$ 上，连接 $C E$ ．点F是 $B C$ 上一点，连接 $A F$ ，且点F到 $A B$ 的距离等于点F到 $A C$ 的距离．当 $B C = A C$ 时．

(1)、求证：四边形 $A B E C$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ B C E = 50 °$ ，求 $∠ B A F$ 的度数．

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18. 如图，AM是 $△ A B C$ 的中线， $D$ 是线段AM上一点（不与点A重合），DE//AB，交AC于点 $F; C E / / A M$ ，交DF于点 $E$ ，连结AE.

(1)、如图①，当点D与点M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形.

(2)、如图②，当点D不与点M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.

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19. 如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P从点A 出发向点D 以1cm/s的速度运动，到点 D 即停止.点Q从点C 出发向点 B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)..

(1)、用含 t的代数式表示：
AP=cm，DP=cm，
BQ=cm，CQ=cm

(2)、当t为何值时，四边形APQB 是平行四边形?

(3)、当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?

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20. 如图，M，N是▱ABCD对角线BD上两点.

(1)、若 BM=MN=DN，求证：四边形 AMCN 为平行四边形.

(2)、若 M，N 为对角线 BD 上的动点(均可与端点重合)，设 BD=12cm，点M由点B 向点D 匀速运动，速度为 2cm/s，同时点N由点D 向点B匀速运动，速度为 a(cm/s)，运动时间为 t(s).若要使四边形AMCN为平行四边形，求a的值及t的.取值范围.

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21. 如图1， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C$ ， D为 $C A$ 上一动点，E为 $B C$ 延长线上的动点，始终保持 $C E = C D$ ，连接 $B D$ 和 $A E$ ，以 $A E$ 为边作正方形 $A E G F$ ，连接 $D F$ ．

(1)、请判断四边形 $A B D F$ 的形状，并说明理由；

(2)、当 $S_{△ A B D} = \frac{1}{4} B D^{2}$ 时，求 $∠ A E C$ 的度数；

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22. 如图①，在平行四边形ABCD中， AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒 $\frac{1}{2}$ 个单位长度的速度从点A向终点D ．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．

(1)、线段PD的长为（用含t的代数式表示）．

(2)、当CP平分∠BCD时，求t的值．

(3)、如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $C D = 6 c m$ ， $A C = 8 c m$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A D$ 以 $2 c m / s$ 速度向终点 $D$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以 $8 c m / s$ 速度沿射线 $C B$ 运动，当点 $P$ 到达终点时，点 $Q$ 也随之停止运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．
（备用图）（备用图）

(1)、 $C B$ 的长为cm．

(2)、当 $t > \frac{5}{4}$ 时，用含 $t$ 的代数式表示线段 $B Q$ 的长．

(3)、连结 $P Q$ ．是否存在 $t$ 的值，使得 $P Q$ 与 $A B$ 互相平分？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

(4)、若点 $P$ 关于直线 $A Q$ 对称的点恰好落在直线 $A B$ 上，请直接写出 $t$ 的值．

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24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $A B$ ： $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $C$ 为 $A B$ 的中点，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A O$ 方向以每秒1个单位的速度向终点 $O$ 运动，同时动点 $Q$ 从点 $O$ 出发，以每秒2个单位的速度沿射线 $O B$ 方向运动，当点 $P$ 到达点 $O$ 时，点 $Q$ 也停止运动 $.$ 以 $C P$ ， $C Q$ 为邻边构造▱ $C P D Q$ ，设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒．

(1)、直接写出点 $C$ 的坐标为．

(2)、如图2，过点 $D$ 作 $D G ⊥ y$ 轴于 $G$ ，过点 $C$ 作 $C H ⊥ x$ 轴于 $H .$ 证明： $△ P D G$ ≌ $△ C Q H$ ．

(3)、如图3，连结 $O C$ ，当点 $D$ 恰好落在 $△ O B C$ 的边所在的直线上时，求所有满足要求的 $t$ 的值．

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