2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练11 概率初步

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（）
次数
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
频率
0.60
0.30
0.50
0.36
0.42
0.38
0.41
0.39
0.40
0.40

A、掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6” B、掷一枚一元的硬币，正面朝上 C、不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 D、三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5

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2. 转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列说法正确的有（）
①任意投掷一枚质地均匀的硬币30次，出现正面朝上的次数一定是15次；

②小球在如图所示的地板上自由滚动最终停在黑色区域的可能性是 $\frac{1}{3}$ ；

③“三角形任意两边之和大于第三边”这一事件是必然事件；

④某路口的红绿灯设置为红灯40s，绿灯60s，黄灯3s，则小明遇见红灯的概率是 $\frac{40}{103}$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图是水平放置的圆形瓷砖，瓷砖上的图案是三条直径把两个同心圆中的大圆分成六等份 $.$ 若在这个大圆区域内随机地抛一个小球，则小球落在阴影部分的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）

A、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 B、一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C、抛一个质地均匀的正方体骰子，落下后朝上的面点数是3 D、一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球

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6. 下列说法中正确的是（）

A、小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B、确定事件发生的概率是1 C、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D、从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校 $50 %$ 的男生引体向上成绩不及格

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7. 下列说法中正确的是（）

A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 B、“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是必然事件 C、“概率为 $0.0001$ 的事件”是不可能事件 D、“长度分别是 $3 c m$ ， $3 c m$ ， $6 c m$ 的三根木条能组成一个三角形”是必然事件

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8. 吴老师在演示概率试验时，连续随机抛掷一枚质地均匀的骰子，前3次的结果是“6”，则第4次的结果是“6”的概率是（）

A、0 B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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9. 对于两个事件：
事件 $1$ ：任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是小于 $6$ ；
事件 $2$ ：口袋中有除颜色外其他都完全相同的 $2$ 个红球和 $1$ 个白球，从中摸出 $2$ 个球，其中至少一个是红球：
有如下说法，其中正确的是（）

A、事件 $1$ 、 $2$ 均为必然事件 B、事件 $1$ 、 $2$ 均为随机事件 C、事件 $1$ 是随机事件，事件 $2$ 是必然事件 D、事件 $1$ 是必然事件，事件 $2$ 是随机事件

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10. 小华在如图所示的 $4 \times 4$ 正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{7}{16}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 50件外观相同的产品中有2件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．

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12. 小明在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将上面的数相加，反复这样做，每次所得的和都只是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能得到．这4张纸片上的数分别是．

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13. 已知4组代数式 $2 a$ ， $- 2 a$ ， $\frac{1}{4} a^{4}$ ， $- \frac{1}{4} a^{4}$ ，从以上各代数式中任意抽取一个，能与 $a^{2} + 1$ 构成完全平方式的概率为．

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14. 有4根细木棒，长度分别为1 $c m$ ， 2 $c m$ ， 3 $c m$ ， 4 $c m$ ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是．

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15. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，有 $4$ 个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形 $($ 每个白色小正方形被涂黑的可能性相同 $)$ ，使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．

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16. 七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是．

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三、解答题（共10题，共72分）

17.

(1)、材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有 $8$ 张纸牌 $($ 除数字外完全相同 $)$ ，它们分别标有数字 $8$ ， $9$ ， $10$ ， $15$ ， $21$ ， $35$ ， $46$ ， $123$ ，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是 $2$ 的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是 $3$ 的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？
$P_{(甲胜)}$ $P_{(乙胜)}$ $($ 填 $>$ ， =或 $<)$

(2)、材料二：如图 $1$ ，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘 $($ 转盘被等分成 $20$ 个扇形 $)$ ，并规定：顾客每购买 $200$ 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得 $50$ 元、 $30$ 元、 $10$ 元的购物券，则顾客转动一次转盘获得 $30$ 元购物券的概率是．

(3)、材料三：图 $2$ 是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在 $B$ 区域的概是．

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18.

(1)、某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：

射击总次数 $n$	$10$	$100$	$200$	$500$	$1000$
击中靶心次数 $m$	$9$	$86$	$168$	$426$	$849$
击中靶心频率 $m / n$	$0.9$	$0.86$	$0.84$	$0.852$	$0.849$

则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是 $($ 精确到 $0.01)$ ．

(2)、一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共

40

个，这些球除颜色外都相同

.

从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图

1

所示的统计图，则这个袋中白球的个数最有可能是．

(3)、如图

2

，现有若干个边长相等的小等边三角形组成的图形，其中已经涂黑了

3

个小三角形，

(

阴影部分表示

)

在空白的三角形中只涂黑一个小三角形，使整个图案成轴对称图形的概率是．

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19. 下面三个试验中我们都可以通过看图估算或者图形计算各自的概率．

(1)、在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率；

(2)、图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率；

(3)、有一个小球在图③所示的三个完全相同的正方形拼成的地板上自由滚动，求小球最终停留在黑色区域的概率．

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20. 幻方是一种将数字排在正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等的模型.数学课上，老师在黑板上画出一个幻方如图所示，并设计游戏：一人将一颗能粘在黑板上的磁铁豆随机投入幻方内，另一人猜数，若所猜数字与投出的数字相符，则猜数的人获胜，否则投磁铁豆的人获胜.猜想的方法从以下两种中选一种：

$8$

$1$

$6$

$3$

$5$

$7$

$4$

$9$

$2$

Ⅰ.猜“是大于 $5$ 的数”或“不是大于 $5$ 的数”；
Ⅱ.猜“是 $3$ 的倍数”或“不是 $3$ 的倍数”；如果轮到你猜想，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎么猜？为什么？

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21. 某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式：
方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖；

方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖．

(1)、若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为；

(2)、若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为；

(3)、小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由．

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22. 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率.

(1)、点数为2.

(2)、点数为奇数.

(3)、点数大于1且小于6.

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23. 在网格图中，每个方格除颜色外都相同，其中4个方格为黑色，余下方格为白色．

(1)、涂黑3个白色方格，使整个网格图为轴对称图形（考虑颜色）；

(2)、在（1）的轴对称网格图中任取1个方格，恰好是黑色方格的概率是多少？

(3)、在（1）的轴对称网格图中，再涂黑若干个白色方格，能否使任取1个方格恰好是白色方格的概率为0.5？

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24. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在 $9 \times 9$ 个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．小林和小艾轮流点击，小林先点一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．

(1)、若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个，未踩中地雷的概率是多少？

(2)、现在小艾点击了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B），轮到小林点击，若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块，从安全的角度考虑，他应该选择哪个区域？说明理由．

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25. 概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛，请同学们直接填出下列事件中所要求的结果：

(1)、在一次抽奖活动中，中奖概率是 $0.12$ ，则不中奖的概率是；

(2)、四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图1所示的四个图形．在看不到图形的情况下从中任意抽取一张，则抽取的卡片上的图形具有稳定性的概率为；

(3)、如图2所示，点 $E$ 在 $A C$ 的延长线上，给出五个条件：① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $∠ 3 = ∠ 4$ ；③ $∠ D = ∠ D C E$ ；④ $∠ A = ∠ D C E$ ；⑤ $∠ D + ∠ A C D = 180 °$ ．任意选一个条件，恰能判断 $A B ∥ C D$ 的概率是．

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26. 小蒙设计一个抽奖游戏：如图 $1$ ，宝箱由 $7 \times 7$ 个方格组成，方格中随机放置着 $10$ 个奖品，每个方格最多能放一个奖品．

(1)、如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是．

(2)、为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字 $2$ ，如图 $2$ ．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的 $8$ 个方格（即区域 $A$ ）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域 $A$ 中的小方格，或者打开区域 $A$ 外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由．

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次数	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000
频率	0.60	0.30	0.50	0.36	0.42	0.38	0.41	0.39	0.40	0.40

$8$	$1$	$6$
$3$	$5$	$7$
$4$	$9$	$2$