2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练10 角平分线与线段垂直平分线

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，用直尺和圆规作出 $∠ A O B$ 的角平分线 $O E$ ，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）

A、 $S S S$ B、 $A A S$ C、 $S A S$ D、 $A S A$

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2. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，边 $B C$ 的垂直平分线 $D E$ 分别交 $A C$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，连接 $B D$ ，若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，则图中与 $△ A B D$ 全等的三角形有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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3. 如图， $∠ C = 90 °$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，若 $B C = 10$ ， $B D = 6$ ，则点D到 $A B$ 的距离为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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4. 如图，射线 $O C$ 是 $∠ A O B$ 的角平分线， $D$ 是射线 $O C$ 上一点， $D P ⊥ O A$ 于点 $P$ ， $D P = 4$ ，若点 $Q$ 是射线 $O B$ 上一点， $O Q = 3$ ，则 $△ O D Q$ 的面积是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，首先以顶点B为圆心，任意长度为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G ．若CG＝4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（）

A、2 B、8 C、4 D、无法确定

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6. 如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC ， AB于点D ， E ， AE＝3cm ， △ADC的周长为9cm ，则△ABC的周长是（）

A、10cm B、12cm C、15cm D、17cm

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，分别以 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧分别相交于 $M$ ， $N$ 两点，作直线 $M N$ ，分别交线段 $B C$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ．若 $A E = 2 c m$ ， $△ A B C$ 的周长为 $15 c m$ ，则 $△ A B D$ 的周长为（）

A、 $11 c m$ B、 $13 c m$ C、 $15 c m$ D、 $17 c m$

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8. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E .$ 若 $∠ B A C = 104 °$ ，则 $∠ D A E$ 的度数为（）

A、 $22 °$ B、 $24 °$ C、 $26 °$ D、 $28 °$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N ，连接 $M N$ ，分别与 $A B$ ， $B C$ 交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交 $A B$ 于点G ，交 $A C$ 于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于 $\frac{1}{2} G H$ 的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线 $A P$ ，分别交 $B C$ ， $M N$ 于点F ， Q ．若 $∠ B = 40 °$ ， $∠ C = 60 °$ ，则 $∠ E Q F$ 的度数为（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作 $D E ⊥ B P$ ， $D F ⊥ C P$ ，垂足分别为E、F，则下列结论：① $B D = C D$ ；② $△ B D E ≌ △ C D F$ ；③ $D E = P E$ ；④ $△ B C P$ 是等腰三角形．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为．

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12. 如图，BO平分 $∠ A B C ， O D ⊥ B C$ 于点D，点E为射线BA上一动点，若 $O D = 5$ ，则OE的最小值为.

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13. 如图，以 $∠ A O B$ 的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧分别交 $O A$ ， $O B$ 于M，N两点：分别以点M，N为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线 $O P$ ，若点Q在射线 $O P$ 上且到 $O A$ 边的距离恰好为 $5 c m$ ，则点Q到 $O B$ 边的距离为 $c m$ ．

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14. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 58 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 上一点， $B D$ 、 $C D$ 的垂直平分线分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，则 $∠ E D F$ 的度数为．

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16. 如图，在△ABC中， $A C = 7$ ，按以下步骤作图：①分别以B ， C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线 $M N$ 交 $A C$ 于D ，连接 $B D$ ．若 $B D = 4$ ，则 $A D =$ ．

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三、作图题（共2题，共12分）

17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，某小区绿化带 $△ A B C$ 内部有两个喷水臂 $P$ 、 $Q$ ，现欲在 $△ A B C$ 内部建一个水泵 $O$ ，使得水泵 $O$ 到 $B A$ ， $B C$ 的距离相等，且到两个喷水管 $P$ 、 $Q$ 的距离也相等，请你在图中标出水泵 $O$ 的位置．

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18. 如图，两条公路 $O A$ 和 $O B$ 相交于 $O$ 点，在 $∠ A O B$ 的内部有工厂 $C$ 和 $D$ ，现要在 $∠ A O B$ 内部修建一个货站 $P$ ，使货站 $P$ 到两条公路 $O A$ 、 $O B$ 的距离相等，且到两工厂 $C$ 、 $D$ 的距离相等，用尺规作出货站 $P$ 的位置． $($ 要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论 $)$

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四、解答题（共6题，共54分）

19. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ．

(1)、求证： $C E$ 平分 $∠ B C D$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $C D = 10$ ，求 $△ C D E$ 的面积．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 边的垂直平分线 $l_{1}$ 交 $B C$ 于点D， $A C$ 边的垂直平分线 $l_{2}$ 交 $B C$ 于点E， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点O，连接 $O A ， O B ， O C$ ．

(1)、若 $△ A D E$ 的周长为8cm， $△ O B C$ 的周长为20cm．
①求线段 $B C$ 的长；
②求线段 $O A$ 的长．

(2)、若 $∠ B A C = 120 °$ ，求 $∠ D A E$ 的度数．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，交 $C D$ 于点 $F$ ，过点 $E$ 作 $E G ∥ C D$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、求证： $∠ A + ∠ A E G = 90 °$ ；

(2)、求证： $E C = E G$ ；

(3)、若 $C G = 4$ ， $B E = 5$ ，求四边形 $B C E G$ 的面积．

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22. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，分别交AD、AC于点E、G，EF⊥AB，垂足为F．

(1)、试说明：EF＝ED；

(2)、若∠BAD＝25°，求∠C的度数．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点， $C E = C D$ ， F为CB边上一点，连接EF，延长AD交EF于点K， $E F ⊥ A K$ ，过点D作直线 $D G ⊥ A B$ 于G，延长GD交EF于点H，作 $G M$ 平分 $∠ A G H$ 交AD于点M，过点M作 $M N ∥ A B$ 交EF于点N，交GD于点O，交BC于点Q， $M O = N O$ ，连接GN．

(1)、 $∠ D H K$ 与 $∠ B A K$ 相等吗？为什么？

(2)、试说明 $M D = E H + N F$ ．

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24. 教材呈现：如图是北师大版七年级下册数学教材第123页的部分内容，

(1)、请根据所给教材内容，写出结论： $A C$ $B C$ （填“ $﹥$ ”、“ $﹤$ ”或“ $=$ ”）

(2)、结合教材上的图5—11，证明你的结论．（推理过程请注明理由）

(3)、应用上述结论解决下列题目：
已知：如图， $△ A B C$ 中， $E F$ 是 $A B$ 的垂直平分线， $A D ⊥ B C$ 于点D，且D为 $C E$ 的中点．
①求证： $B E = A C$ ；（推理过程请注明理由）
②若 $∠ C = 70 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

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