2024年北师大版数学七（下）重难点培优训练8 轴对称的应用-最短距离

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）．

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ A B$ ，点 $P$ 是腰 $A D$ 上的一个动点，要使 $P C + P B$ 最小，则点 $P$ 应该满足（）

A、 $P B = P C$ B、 $P A = P D$ C、 $∠ B P C = 90 °$ D、 $∠ A P B = ∠ D P C$

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3. 如图， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ，点P是射线 $O C$ 上一点， $P M ⊥ O B$ 于点M ，点N是射线 $O A$ 上的一个动点．若 $P M = 5$ ，则 $P N$ 的长度不可能是（　　）

A、5 B、6 C、7 D、4

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4. 如图，河道l的同侧有M ， N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M ， N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，长方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $C E$ ，将长方形 $A B C D$ 沿着直线 $C E$ 折叠，点 $D$ 恰好落在 $A B$ 的中点 $F$ 上，点 $G$ 为 $C F$ 的中点，点 $P$ 为线段 $C E$ 上的动点，连接 $P F$ 、 $P G$ ，若 $A E = a$ 、 $E D = b$ 、 $A F = c$ ，则 $P F + P G$ 的最小值是（）

A、 $a + c - b$ B、 $b + 2 c$ C、 $a + b + 2 c$ D、 $a + b$

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6. 已知，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰 $A C = 5$ ， $B D = 3$ ， $A D = 4$ ，那么线段 $B E + E F$ 的最小值是（）

A、5 B、3 C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{7}{2}$

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7. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（）

A、110° B、112° C、114° D、116°

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8. 如图所示，在正方形网格中，点A、B、C、D、E、F是网格线交点；直线l经过点A、B、C、D、如果在直线l上存在一点M，使得ME＋MF的值最小，则点M在（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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9. 如图，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 表示一条河的两岸，且 $l_{1}$ ∥ $l_{2}$ 现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，应该选择路线（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点 $E$ 、点 $F$ 分别为线段 $A D$ 、 $A B$ 上的动点，连接 $B E$ 、 $E F$ ，则 $B E + E F$ 的最小值为（）

A、 $2.4$ B、 $4.8$ C、5 D、6

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二、填空题（每题5分，共20分

11. 四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为．

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12. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ C = β$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $D C$ 上，当 $△ A E F$ 的周长最小时，用 $β$ 的代数式表示 $∠ E A F$ ，则 $∠ E A F =$ ．

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13. 如图所示， $∠ A O B$ 内一点P， $P_{1}$ ， $P_{2}$ 分别是P关于OA，OB的对称点， $P_{1} P_{2}$ 交OA于点M，交OB于点N，若 $P_{1} P_{2} = 5 cm$ ，则 $△ P M N$ 的周长是.

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14. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $A C = 8$ ， $S_{△ A B C} = 24$ ， $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点D，点M，N分别是 $A D$ 和 $A B$ 上的动点，则 $B M + M N$ 的最小值是．

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三、解答题（共7题，共70分）

15. 如图，小明的家（ $A$ 点）在一条河流（直线 $l$ ）的一侧，在河流的同侧有一个公园（ $B$ 点），小芳家恰好与小明的家关于此河流对称（要求画图准确，保留痕迹）

(1)、画出小芳家的位置（用电 $C$ 表示）

(2)、小芳要去公园，她在河上的哪一点通过能使所走的路程最近？请在图中画出该点（用电 $D$ 表示）．

(3)、小明要带着他的狗先到河边喝水，然后去公园，请你画出他所走的最短路径．

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16. 如图，要在街道 $l$ 上修建一个奶吧 $D$ （街道用直线 $l$ 表示）.

(1)、若奶吧 $D$ 向小区 $A$ ， $B$ 提供牛奶如图①，则奶吧 $D$ 应建在什么地方，才能使它到小区 $A$ ， $B$ 的距离之和最短？

(2)、若奶吧 $D$ 向小区 $A$ ， $C$ 提供牛奶如图②，则奶吧 $D$ 应建在什么地方，才能使它到小区 $A$ ， $C$ 的距离之和最短？

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17. 某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短?请你在图上画出这一点。

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18. 如图要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线图（2）问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点 $B^{'}$ ；

②连接 $A B^{'}$ 交直线l于点P，则点P即为所求.

请你参考小明的做法解决下列问题：

如图（3），在 $△$ ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使 $△ P D E$ 的周长最小.

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19. 将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远．

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20. 如图所示，在街道 $l$ 的同一侧，有两个居民区A，B，两个居民区门口到街道的距离分别为AC，BD.现准备在街道 $l$ 旁设置一个快递中转站.

(1)、如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离相等，如图1，当∠A=∠BPD时，请说明AC+BD=CD的理由；

(2)、如果设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之和最短，请在图2中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系；

(3)、为了能错峰进行取送快递，决定设置的快递中转站到A，B两个小区的距离之差最大，请在图3中作出点P的位置，连接AP，BP，直接写出此时∠PAC与∠PBD的数量关系.

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21. 问题解决：

(1)、问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到P的距离之和最短？请画出点P的位置；

(2)、问题理解：如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AC边的中点，点P是线段AD上的动点，画出PC＋PE取得最小值时点P的位置；

(3)、问题运用：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD＝12，AD是∠BAC的平分线，当点E、P分别是AC和AD上的动点时，求PC＋PE的最小值．

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