2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破13 分式的性质与运算

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列从左到右变形正确的是（）

A、 $\frac{n}{m} = \frac{n + 2}{m + 2}$
B、 $\frac{a}{b} = \frac{a m}{b m}$
C、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x - y} = x - y$
D、 $\frac{b}{a} = \frac{a b}{a^{2}}$

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2. 如图，设k= $\frac{甲图中阴影部分面积}{乙图中阴影部分面积}$ 则有（）

A、k=1 B、k= $\frac{a + b}{a}$ C、k= $\frac{a - b}{a}$ D、k= $\frac{a}{a + b}$

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3. 下列各式中是最简分式的是（）

A、 $\frac{4}{2 x}$ B、 $\frac{2 x}{x^{2} y}$ C、 $\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}}$ D、 $\frac{2 x}{x + 1}$

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4. 若 $Δ \div \frac{a^{2} - 1}{a} = \frac{1}{a - 1} ，$ 则“△”可能是（）

A、 $\frac{a + 1}{a}$ B、 $\frac{a}{a - 1}$ C、 $\frac{a}{a + 1}$ D、 $\frac{a - 1}{a}$

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5. 化简 $\frac{a + 1}{a^{2} - a} \div \frac{a + 1}{a^{2} - 2 a + 1}$ 的结果是（）

A、 $\frac{a + 1}{a}$ B、 $\frac{a}{a - 1}$ C、 $\frac{a - 1}{a}$ D、 $\frac{1}{a - 1}$

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6. 某电动车车间m人n天可生产p²个零件，则n²个人p²天可生产零件（）

A、 $\frac{n p^{3}}{m}$ 个 B、 $\frac{m p^{4}}{n}$ 个 C、 $\frac{n p^{4}}{m}$ 个 D、mp⁴个

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7. 下列计算错误的是（）

A、 $\frac{1}{a + b} \cdot (a + b) = 1$ B、 $4 a b \cdot \frac{b}{2 a} = 2 b^{2}$ C、 $\frac{a^{2} - 9}{a} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2} + 3 a} = a - 3$ D、 $(a - 2) \cdot \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 4 a + 4} = a - 2$

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8. 计算 $\frac{2 x}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3}$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{x + 3}$ B、 $\frac{1}{x - 3}$ C、 $\frac{3}{x + 3}$ D、 $\frac{3}{x - 3}$

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9. 下列说法正确的是（）

A、形如 $\frac{A}{B}$ 的式子叫分式 B、分式 $\frac{m^{2} - m + 1}{m - 1}$ 不是最简分式 C、分式 $\frac{2}{a^{2} b}$ 与 $\frac{1}{a b}$ 的最简公分母是 $a^{3} b^{2}$ D、当 $x \neq 3$ 时，分式 $\frac{x}{x - 3}$ 有意义

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10. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞(如图)，则破损部分的式子可能是（）
化简： $(- \frac{3}{1 - x}) \div \frac{x}{x + 1} = \frac{x + 1}{\underline{x - 1}} \sqrt$

A、 $\frac{x - 3}{x - 1}$ B、 $\frac{x + 3}{x - 1}$ C、 $\frac{x^{t} - x + 1}{x^{2} - x}$ D、 $\frac{x^{2} + 5 x + 1}{x^{2} - x}$

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二、填空题（每空3分，共20分）

11. 不改变分式的值，把下列分式的分子和分母的最高次项系数都化为正数.

(1)、 $\frac{m}{1 - m^{2}} =$ .

(2)、 $\frac{2 x - 3 x^{2} + 1}{4 - x^{2}} =$ .

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12. 已知：2x+y=10xy，则代数式 $\frac{4 x + x y + 2 y}{2 x - 4 x y + y}$ 的值为

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13. 已知m，n是非零实数，设 $k = \frac{m}{n} = \frac{m + 3 n}{m}$ ，则 $k^{2} =$ (结果用含 $k$ 的式子表示).

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14. 若 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} = 5$ ， $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 7$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} =$ .

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15. 某商场将甲乙两种糖果按一定的比例混装成杂拌糖销售，若将a元/每千克的甲种糖果m千克与b元/每千克的乙种糖果n千克混装成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为.

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16. 如图，一个长为l，宽为a的长方形内，铺满了一层半径为r的圆，则长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为（结果保留 $π$ ）．

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三、计算题（共3题，共18分）

17. 约分：

(1)、 $\frac{3 x}{6 x^{2} z}$

(2)、 $\frac{a + b}{a^{2} - b^{2}}$

(3)、 $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x}$

(4)、 $\frac{3 x - 6}{x^{2} - 4 x + 4} .$

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18. 计算：

(1)、 $(\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}) \cdot \frac{x^{3}}{x - 1}$

(2)、 $\frac{x}{2 - x} - \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4}$

(3)、 $x + y - \frac{x^{2}}{x - y}$

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19. 化简： $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{1}{(x + 2) (x + 3)} +$ $\frac{1}{(x + 3) (x + 4)}$

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四、解答题（共6题，共36分）

20. 先化简 $(\frac{3 m}{m + 2} + \frac{m}{m - 2}) \cdot \frac{m^{2} - 4}{m}$ ，再从 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ 中选取一个合适的数作为 $m$ 的值代入求值．

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21. 以下是小明同学完成课本 129 页计算 $(\frac{3 x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$ 的解答过程．
解： $(\frac{3 x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$
$= \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x} - \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$ ①
$= \frac{3 x}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x} - \frac{x}{x + 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x}$ ②
$= 3 (x + 2) - x - 2$ ③
$= 3 x + 6 - x - 2$ ④
$= 2 x + 4$ ⑤
小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

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22. 老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图.

(1)、求被“黑板擦”遮住部分的代数式；

(2)、 $\frac{x + 2}{x - 2}$ 的值能等于0吗?请说明理由.

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23. 如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为a(m)的正方形中减去一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍.

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24. 比较 $\frac{a + 1}{a} \times (a + 1)$ 与 $\frac{a + 1}{a} + (a + 1)$ 的大小．

(1)、尝试(用“<”“>”或“=”填空)：
①当 $a = - 2$ 时， $\frac{a + 1}{a} \times (a + 1)$ $\frac{a + 1}{a} + (a + 1)$ ；
②当 $a = 2$ 时， $\frac{a + 1}{a} \times (a + 1)$ $\frac{a + 1}{a} + (a + 1)$ ；
③当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $\frac{a + 1}{a} \times (a + 1)$ $\frac{a + 1}{a} + (a + 1)$ ．

(2)、归纳：若 $a$ 取不为零的任意实数， $\frac{a + 1}{a} \times (a + 1)$ 与 $\frac{a + 1}{a} + (a + 1)$ 有怎样的大小关系？试说明理由．

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25. 有 $7$ 个如图 $1$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ 的小长方形，拼成如图 $2$ 的大长方形．

(1)、观察图 $2$ ，请你写出 $a$ ， $b$ 满足的等量关系（用含 $a$ 的代数式表示 $b$ ）；

(2)、将这 $7$ 个图 $1$ 的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图 $3$ 所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
$①$ 记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ，试求 $\frac{m_{1}}{m_{2}}$ 的值；

$②$ 若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为 $86$ ，求 $a$ ， $b$ 的值．

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五、实践探究题（共2题，共15分）

26. 【探究思考】

(1)、探究一：
观察分式 $\frac{x - 1}{x}$ 的变形过程和结果， $\frac{x - 1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$ ．
填空：若 $x$ 为小于 10 的正整数，则当 $x =$ 时，分式 $\frac{x - 1}{x}$ 的值最大．

(2)、探究二：
观察分式 $\frac{a^{2} + 2 a - 2}{a - 1}$ 的变形过程和结果，
$\begin{array}{r} \frac{a^{2} + 2 a - 2}{a - 1} = \frac{(a - 1)^{2} + 4 a - 3}{a - 1} = \frac{(a - 1)^{2} + 4 (a - 1) + 1}{a - 1} = a - 1 + 4 + \frac{1}{a - 1} = a + 3 + \\ \frac{1}{a - 1} ． \end{array}$
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式 $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{x - 1}$ 的变形结果．

(3)、【问题解决】
当 $- 2 < x ⩽ 1$ 时，求分式 $\frac{x^{2} - 2 | x | - 1}{| x | - 2}$ 的最小值．

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27. 阅读材料：小明发现像 $m + n$ ， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ ， $m^{2} + n^{2}$ 等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式，他还发现像 $m^{2} + n^{2}$ ， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 等神奇对称式都可以用 $m + n$ ， $m n$ 表示.
例如： $m^{2} + n^{2} = {(m + n)}^{2} - 2 m n$ ， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{m n}$ .

请根据以上材料解决下列问题：

(1)、① $\frac{1}{m n}$ ， ② $m^{2} - n^{2}$ ， ③ $\frac{n}{m}$ ， ④ $x y + y z + x z$ 中，是神奇对称式的有（填序号）；

(2)、已知 $(x - m) (x - n) = x^{2} - p x + q$ .
①若 $p = 3$ ， $q = 2$ ，则神奇对称式 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ；

②若 $q = \frac{1}{4}$ ，且神奇对称式 $m^{2} + n^{2} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $p$ 的值.

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