命题新趋势8 综合与实践——2024年北师大版数学八（下）期末复习

特例感知：

如图1，在等边三角形$ABC$中，$D$是$BC$延长线上一点，且$CD<BC$ ， 以$CD$为边作等边三角形$CDE$ ， 连接$BE$ ， 分别过点$B$作$BF\text{∥}ED$ ， 过点$D$作$DF\text{∥}BE$ ， 交于点$F$ ， 连接$AF\text{，}AC$与$BE$交于点$G$ ．

问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，老师创设了如下探究情境，探究三角形的中位线定理．

问题1：如图1，在$\text{▱}ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB上一点，连接EO并延长交CD于F，则OE与OF有怎样的数量关系？

小明：$OE=OF$ ．

理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴$CD$$\text{∥}$$AB$ ， $AO=CO$（依据1）

∴$\angle BAO=\angle DCO$

又∵$\angle AOE=\angle COF$ ，

∴$\text{△}AOE\text{≌}\text{△}COF$（依据2）．

∴$OE=OF$

问题2：如图2，若点E为AB的中点，其他条件不变，则线段EF与BC有怎样的数量关系和位置关系？

小亮：$EF=BC$ ， $EF$$\text{∥}$BC．

理由如下：…．

问题3：如图3，在$\text{△}ABC$中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过前面问题给你的启发，你能猜想出DE和BC的数量关系和位置关系吗？

小慧：$DE$$\text{∥}$BC，$DE=\frac{1}{2}BC$ ．

…

数学思考：

如图1，$\text{△}ABC\text{≌}\text{△}ADE$ ， 其中$\angle B=\angle D=90°$ ， $AB=BC=AD=DE=2$ ， 此时，点$C$与点$E$重合．

【问题情境】

在数学综合实践课上，老师让同学用两张全等的等腰三角形纸片进行拼摆，并探究摆放后所构成的图形之间的关系．如图1， $\text{△}ABC\text{≌}\text{△}DEF$ ， $AB=AC$ ， $DE=DF$ ．

已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务．

任务：

问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，将两张等腰直角三角形纸片重叠摆放在桌面，其中$\angle BAC=\angle EDF=90°$ ， $AB=AC$ ， $DE=DF$ ， 点A，D在$EF$的同侧，点B，C在线段$EF$上，连接$DA$并延长$DA$交$EF$于点O，已知$DO\perp EF$ ． 将$\text{△}DEF$从图1中的位置开始，绕点O顺时针旋转（$\text{△}ABC$保持不动），旋转角为$\text{α}$ ．

问题情境

在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．

操作发现

[动手操作]如图①，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'．请完成：

某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰$\text{△}ABC$中，$AB=AC$ ， 点D、E分别是边$AB\text{、}AC$上的点，点P是底边$BC$上的点，且$\angle PDB=\angle PEC=90°$ ， 过点B作$BF\perp AC$于点F，请写出线段$PD$、$PE$、$BF$之间满足的数量关系式．

同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：

解决思路1：如图2，过点P作$PG\perp BF$于点G；

解决思路2：如图3，过点B作$BH\perp PE$ ， 交$EP$的延长线于点H；

勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．