命题新趋势8 综合与实践——2024年北师大版数学七（下）期末复习-在线组卷题库

1. 综合与实践

【问题情境】

在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.

如图1，已知两直线a ， b且 $a ∥ b$ 和 $R t △ A B C$ ， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、在图1中，

∠ 1 = 46 °

，求

∠ 2

的度数；

(2)、【深入探究】

如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把 $∠ 2$ 的位置改变，发现 $∠ 2 - ∠ 1 = 120 °$ ，请说明理由；

(3)、【拓展应用】

缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分 $∠ B A M$ ，此时发现 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 又存在新的数量关系，请直接写出 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的数量关系.

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2. 综合与实践：折纸中的数学

【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？

(1)、【知识初探】王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．

①如图1，在纸上画出一条直线 $B C$ ，在 $B C$ 外取一点 $P$ ．过点 $P$ 折叠纸片，使得点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 落在直线 $B C$ 上（如图2），记折痕 $D E$ 与 $B C$ 的交点为 $A$ ，将纸片展开铺平．则 $∠ P A B =$ ▲ $°$ ；

②再过点 $P$ 将纸片进行折叠，使得点 $E$ 的对应点 $E^{'}$ 落在直线 $D P$ 上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说， $P F$ 就是 $B C$ 的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；

(2)、【拓展延伸】李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段

A P

上任取一点

M

，连接

F M 、 B M

，请你猜想

∠ A B M 、 ∠ P F M

与

∠ B M F

这三个角之间的数量关系，并说明理由．

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3. 课题学习：平行线的“等角转化”功能．

阅读理解：

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．

解：过点A作DE $∥$ BC．

∵DE $∥$ BC，

∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC．

又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，

∴∠BAC+∠B+∠C=180°．

(1)、解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有的功能．

(2)、方法运用：

如图2，已知AB $∥$ DE，试说明：∠D+∠BCD-∠B=180°．（提示：过点C作CF $∥$ AB）

(3)、解决问题：

如图3，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1=度．

(4)、【拓展发现】

①如图4，若AB $∥$ DE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：；

②如图5，若AB $∥$ DE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系：．

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4. 阅读下列素材，完成相应的任务.

	平衡多项式
素材一：	定义：对于一组多项式： $x + a$ ， $x + b$ ， $x + c$ ( $a$ ， $b$ ， $c$ 都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数 $m$ 时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式， $m$ 的值是这组平衡多项式的平衡因子.
素材二：	例如：对于多项式 $x + 1$ ， $x + 2$ ， $x + 3$ ，因为 ${(x + 2)}_{}^{2} - (x + 1) (x + 3)$ = $x_{}^{2} + 4 x + 4$ $- (x_{}^{2} + 4 x + 3)$ $= 1$ ，所以多项式 $x + 1$ ， $x + 2$ ， $x + 3$ 是一组平衡多项式，其平衡因子为1.
任务一：	小明发现多项式 $x + 3$ ， $x + 5$ ， $x + 7$ 是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下： ${(x + 5)}_{}^{2} - (x + 3) (x + 7)$ ，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子.
任务二：	判断多项式 $x - 2$ ， $x + 1$ ， $x + 4$ 是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由.
任务三：	若多项式 $x - 2$ ， $x + 2$ ， $x + p$ ( $p$ 为非零常数）是一组平衡多项式，求 $p$ 的值.

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5. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，

△ A B C

中，

A B = 8

，

A C = 6

，求

B C

边上的中线

A D

的取值范围.

经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 到点E ，使 $D E = A D$ .请根据小明的方法思考：

(1)、请证明

△ A D C ≌ △ E D B

(2)、请直接写出

A D

的取值范围

< A D <

；

(3)、【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题.

如图2，已知 $∠ B A C + ∠ C D E = 180 °$ ， $A B = A C$ ， $D C = D E$ ， P为 $B E$ 的中点.若A ， C ， D共线，求证： $A P$ 平分 $∠ B A C$ ；

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6. 【综合实践活动】

【问题背景】

小亮想测量他家门口水塘两个端点A ， B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的的绳子，小亮寻求哥哥的帮助．

【理论准备】

哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C ，连接 $A C$ 并延长到D ，使 $C D = C A$ ；连接 $B C$ 并延长到E ，使 $C E = C B$ ，连接 $D E$ 并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明 $D E$ 的长度等于水塘两个端点 $A B$ 长度的原因；

【实际操作】

小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出 $A B$ 长度（如图3），方法如下：

⑴在房屋M墙 $C D$ 边找一点C ，使得 $∠ A C B = 45 °$ ；

⑵在院子里找一点E ，使得： $C E ⊥ C D$ 此时发现 $C D = C E$ ；

⑶测量出B到房屋M墙 $C D$ 的距离 $B D$ ，即： $B D ⊥ C D$ ， $B D = 13.8 m$ ；

⑷测量出A到 $C E$ 的距离 $A E$ ，即：AE⊥CE ， $A E = 14.4 m$ ，同时发现 $C E = C D$ ；

经过以上的方法可以计算出 $A B$ 的长度．

请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出 $A B$ 的长度：

解：如图4，延长 $A E$ 至F ，使得 $E F = B D$ ，连接 $C F$ ．

……

(1)、【成果迁移】

如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西 $20 °$ 的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（ $A B = A C$ ），可疑船只沿北偏东 $20 °$ 的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D ， E处，且两船和指挥中心形成的夹角为 $55 °$ ，（ $∠ D A E = 55 °$ ），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离 $D E$ ．

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7. 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线

A B, C D

和一块含60°角的直角三角尺

E F G (∠ E F G = 90 °, ∠ E G F = 60 °)

”为背景开展数学探究活动.

(1)、如图1，三角尺的60°角的顶点

G

在

C D

上.若

∠ E H B = 2 ∠ F G C

，则

∠ F G C

的度数为.

(2)、如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点

E, G

分别放在

A B

和

C D

上，请你探索

∠ A E F

与

∠ F G C

之间的数量关系并说明理由；

(3)、如图3，小亮把三角尺的直角顶点

F

放在

C D

上，30°角的顶点

E

在

A B

上.若

∠ A E G = α, ∠ D F G = β

，请直接写出

∠ A E G

与

∠ D F G

的数量关系（用含

α, β

的式子表示）并说明理由.

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8. 综合与实践

问题背景：

数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边 $A D ∥ B C$ ， $A B ∥ C D$ ， $∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90 °$ ，点 $B^{'}$ 为线段AD上一动点 $(A B^{'} \geq A B)$ ，将纸片折叠，使点B和点 $B^{'}$ 重合，产生折痕EF，点E是折痕与边AD的交点，点F是折痕与边BC的交点．

动手操作：

(1)、如图1，若点E与点A重合时，则

∠ A F B

的度数为．

实践探究：

(2)、如图2，移动点

B^{'}

，其余条件不变．

①小静发现图中无论点 $B^{'}$ 如何移动， $∠ A^{'} E B^{'} = ∠ B^{'} F C$ 始终成立，请说明理由；

②小东发现折叠后所形成的角，只要知道其中一个角的度数，就能求出其它任意一角的度数，若 $∠ A^{'} B^{'} E = 60 °$ ，求 $∠ B^{'} E F$ 的大小．

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9. 综合实践．

活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系

活动资源：提供长度不同的两种木棒各 $4$ 根 $($ 如图 $)$

入项任务：运用以上 $8$ 根木棒 $($ 不折断 $)$ 摆成长方形或正方形，且木棒全部用完 $.$ 选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法 $($ 如图 $)$ 进行研究．

问题探究过程

(1)、发现问题：

请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上 $)$ 摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？

例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．

小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．

聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？

你的发现是； $($ 请用简洁的语言描述 $)$

(2)、提出问题：

请用代数式表示你的发现 $($ 设两种木棒的长度分别为 $a$ ， $b ($ 其中 $a > b)$ ，四种图形面积分别为 $S_{甲}$ ， $S_{乙}$ ， $S_{丙}$ ， $S_{丁}$ ．

例如：小明的结论是 $S_{甲} = 2 S_{乙} = 4 a b$ ．

小张的结论是 $S_{丁} > S_{乙}$ ，

你的结论是：；

(3)、分析问题：

请用所学的数学知识证明你的结论．

例如：小明的证明方法如下．

证： $∵ S_{甲} = 2 a \times 2 b = 4 a b$ ， $S_{乙} = a b + a b = 2 a b$ ，

$∴ S_{甲} = 2 S_{乙}$ ，

你的证明：；

(4)、拓展创新：

把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为 $(a - b)$ 的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．

你的示意图：；

你的关系式：．

(5)、迁移应用：

根据以上的研究结论，请解决数学问题，若 $x + y = \sqrt{31}$ ， $x y = 7$ ，求 $x - y$ 的值．

你的解答：．

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10. 综合与探究

数学活动课上，老师以“一个含 $45 °$ 的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，

如图1，已知直线 $m ∥ n$ ，直角三角板 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = ∠ A B C = 45 °$ ．

(1)、如图1，若

∠ 2 = 65 °

，则

∠ 1 =

；（直接写出答案）

(2)、“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图

2

，调整三角板的位置，当三角板

A B C

的直角顶点

C

在直线

n

上，直线

m

与

A B

，

A C

相交时，他们得出的结论是：

∠ 1 - ∠ 2 = 135 °

，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；

(3)、如图

3

，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图

2

的基础上，继续调整三角板的位置，当点

C

不在直线

n

上，直线

m

与

A C

，

B C

相交时，

∠ 1

与

∠ 2

有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．

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11. 综合与实践

【课题学习】：平行线的“等角转化”功能.

如图1，已知点 $A$ 是BC外一点，连接AB，AC.求 $∠ B A C + ∠ B + ∠ C$ 的度数.

解：过点 $A$ 作 $E D / / B C$ ，

$∴ ∠ B =$ ____， $∠ C = ∠ D A C$

又 $∵ ∠ E A B + ∠ B A C + ∠ D A C = 18 0^{°} .$

$∴ ∠ B + ∠ B A C + ∠ C =$ ____.

(1)、【问题解决】

阅读并补全上述推理过程.

【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

(2)、【方法运用】

如图2所示，已知 $A B / / C D ， B E 、 C E$ 交于点 $E ， ∠ B E C = 8 0^{°}$ ，在图2的情况下求 $∠ B - ∠ C$ 的度数.

(3)、【拓展探究】

如图3所示，已知 $A B / / C D ， B F 、 C G$ 分别平分 $∠ A B E$ 和 $∠ D C E$ ，且BF、CG所在直线交于点 $F$ ，过 $F$ 作 $F H / / A B$ ，若 $∠ B F C = 3 6^{°}$ ，在图3的情况下求 $∠ B E C$ 的度数.

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12. 综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线AB，CD和一副直角三角板”开展数学探究活动.即：已知直线 $A B ∥ C D$ 和一副直角三角板.

(1)、【操作判断】

如图1，小华把一个三角板 $4 5^{°}$ 角的顶点F、G分别放在直线AB、CD上，请直接写出 $∠ A F E$ 与 $∠ C G E$ 的数量关系.

(2)、【迁移探究】

如图2，小睿把一个三角板 $6 0^{°}$ 角的顶点F放在直线AB上，若 $∠ 2 = \frac{7}{3} ∠ 1$ ，求 $∠ 1$ 的度数.

(3)、【拓展应用】

在图1的基础上，小明把三角板 $6 0^{°}$ 角的顶点，放在E处，即 $∠ M E N = 6 0^{°}$ （如图3）， $∠ F E N$ 与 $∠ M E G$ 的平分线EP，EQ分别交AB，CD于点P，Q，将含 $6 0^{°}$ 角的三角板绕点E转动，使EG始终在 $∠ M E N$ 的内部，请问： $∠ A P E + ∠ C Q E$ 的值是否发生变化?若不变，求出它的值；若变化，请说明理由.