命题新趋势8 项目式与方案设计——2024年浙教版数学七（下）期末复习-在线组卷题库

1. 欲在教室里添置一些消毒洗手物资，张老师想请班里的同学去商店里看看，利用所学的数学知识，通过计算合理的为班里采购一些消毒洗手物资.

素材一

某商店有规格分别为300m1和500ml的甲、乙两种瓶装免洗手消毒液和洗手液套装礼盒（一瓶甲一瓶乙）出售，另外也有袋装洗手液（100ml/袋）出售．具体价格如下：

瓶装洗手价格

甲300ml	乙500ml	套装礼盒
21元/瓶	27.5元/瓶	50元/套

袋装洗手液价格

单次购买数量（袋）	不超过20袋	20袋以上但不超过40袋	40袋以上
价格（元/袋）	7元	5元	4元

任务一：请你帮张老师计算一下若购买瓶装洗手液，购买那种更合算 ▲

素材二

教室里还需要添置消毒洗手液50袋，现可支出班费264元．为节约成本，张老师决定购买袋装免洗手消毒液进行分装，由于商店备货不足，张老师第一次只买回了少部分袋装洗手液临时使用.

任务二：若剩余班费全部用于购买消毒洗手液．请您帮忙计算第二次还可买多少袋？

（第二次购买量大于第一次购买量.）

素材三

新购买的消毒洗手液与原班里库存的共9600ml．现需将这些免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml

任务三：请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量.

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2. 综合与实践

【问题情境】

在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.

如图1，已知两直线a ， b且 $a ∥ b$ 和 $R t △ A B C$ ， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、在图1中，

∠ 1 = 46 °

，求

∠ 2

的度数；

(2)、【深入探究】

如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把 $∠ 2$ 的位置改变，发现 $∠ 2 - ∠ 1 = 120 °$ ，请说明理由；

(3)、【拓展应用】

缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分 $∠ B A M$ ，此时发现 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 又存在新的数量关系，请直接写出 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的数量关系.

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3. 阅读下列素材，完成相应的任务.

	平衡多项式
素材一：	定义：对于一组多项式： $x + a$ ， $x + b$ ， $x + c$ ( $a$ ， $b$ ， $c$ 都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数 $m$ 时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式， $m$ 的值是这组平衡多项式的平衡因子.
素材二：	例如：对于多项式 $x + 1$ ， $x + 2$ ， $x + 3$ ，因为 ${(x + 2)}_{}^{2} - (x + 1) (x + 3)$ = $x_{}^{2} + 4 x + 4$ $- (x_{}^{2} + 4 x + 3)$ $= 1$ ，所以多项式 $x + 1$ ， $x + 2$ ， $x + 3$ 是一组平衡多项式，其平衡因子为1.
任务一：	小明发现多项式 $x + 3$ ， $x + 5$ ， $x + 7$ 是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下： ${(x + 5)}_{}^{2} - (x + 3) (x + 7)$ ，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子.
任务二：	判断多项式 $x - 2$ ， $x + 1$ ， $x + 4$ 是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由.
任务三：	若多项式 $x - 2$ ， $x + 2$ ， $x + p$ ( $p$ 为非零常数）是一组平衡多项式，求 $p$ 的值.

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4. 数学兴趣小组围绕 “三角形的内角和是

180^{\circ}

”，进行了一系列探究，过程如下：

(1)、【论证】如图 1 所示，延长

B A

至点

D

，过点

A

作

A E ∥ B C

，就可以说明

∠ B A C +

∠ B + ∠ C = 180^{\circ}

成立，即：三角形的内角和为

180^{\circ}

，请完成上述说理过程．

(2)、【应用】如图 2 所示，在三角形

A B C

中，

∠ B A C

的平分线与

∠ A C B

的平分线交于点

P

，过点

A

作

A E ∥ B C

，点

M

在射线

A E

上，且

∠ A C M = ∠ A M C ， M C

的延长线与

A P

的延长线交于点

D

．
①求

∠ D C P

的度数；
②设

∠ B = α

，请用含

α

的代数式表示

∠ D

．

(3)、【拓展】如图 3 所示，在三角形

A B C

中，

∠ B A C = 90^{\circ} ， ∠ A C B = 30^{\circ}

，过点

A

作

E F ∥ B C

，直线

M N

与

E F

相交于点

A

右侧的点

P ， ∠ A P N = 75^{\circ}

．三角形

A B C

绕点

A

以每秒

12^{\circ}

的速度顺时针方向旋转，同时

M N

绕点

P

以每秒

5^{\circ}

的速度顺时针方向旋转，与

E F

重合时

M N

再绕着点

P

以原速度逆时针方向旋转，当三角形

A B C

旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为

t s

，在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得

M N

与三角形

A B C

的一边平行？若存在，求

t

的值；若不存在，请说明理由．

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5. 综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上（如图1， $∠ E D C = 9 0^{°}, ∠ D E C = 6 0^{°}, ∠ A B C = 9 0^{°}, ∠ B A C = 4 5^{°}$ ）．保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点 $C$ 以每秒 $5^{°}$ 的速度顺时针旋转，旋转时间为 $t$ 秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题.

深入探究：

(1)、老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB-∠DCA=15°，当AC转到与

∠ D C E

的角平分线重合时，

∠ E C B - ∠ D C A = 1 5^{°}

，当AC在

∠ D C E

内部的其他位置时，结论

∠ E C B - ∠ D C A = 1 5^{°}

是否依然成立?请说明理由．

(2)、勤学小组提出：若AC旋转至

∠ D C E

的外部，

∠ D C A

与

∠ E C B

是否还存在如上数量关系?若存在，请说明理由；若不存在，请写出

∠ D C A

与

∠ E C B

的数量关系，并说明理由．

(3)、拓展提升：

智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系?若存在，请直接写出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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6. 综合与实践：综合与实践活动课上，孙老师让同学们以“奇妙的平行线”为主题开展数学活动．如图1，

∠ E F H = 9 0^{°}

，点

A

、

C

分别在射线

F E

和

F H

上，

A B ∥ C D

．

(1)、若

∠ F A B = 15 0^{°}

，则

∠ H C D

=度；探究中小聪同学发现，过点

F

作

F G ∥ A B

即可得到

∠ H C D

的度数，请直接写出

∠ H C D

的度数；

(2)、小明同学发现：无论

∠ F A B

如何变化，

∠ F A B - ∠ H C D

的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过点

A

作

A M ∥ F H

，交

C D

于

M

，请你根据小明同学提供的辅助线，先确定该定值，并说明理由；

(3)、如图3，把“

∠ E F H = 9 0^{°}

”改为“

∠ E F H = α

” （

0 ＜ α ＜ 18 0^{°}

），其它条件保持不变，猜想

∠ F A B

与

∠ H C D

的数量关系，并说明理由．

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7. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1	某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2	某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为3∶2．
素材3	学校花费400元后，文具店赠送m张(1≤m<10)兑换券(如图)用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决

(1)、【探求商品单价】请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．

(2)、【探究购买方案】探究购买钢笔和笔记本的数量．

(3)、【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方式．

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8. 根据素材，完成任务．

如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一	学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为 $1 : 7$ 与 $1 : 9$ ．
素材二	某商店的店内广告牌如右所示.5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．	1．短管子售价：a元/根，长管子售价： $2 a$ 元/根 2.6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！
素材三	6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任务一	分析雪花模型结构	求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任务二	确定采购费用	试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
任务三	拟定采购方案	求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多．

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9. 根据以下素材，探索完成任务．

背景	为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品．
素材1	若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．
素材2	为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的 $\frac{1}{3}$ ．
问题解决
任务1	问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？
任务2	在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？
任务3	求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？

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10. 根据以下素材，探索完成任务.

如何合理搭配消费券？
素材一	温州市人民政府决定，发放2023年“春暖瓯越·温享生活”消费券（如图），一人可领取的消费券有：A型消费券（满25减10元）2张，B型消费券（满58减20元）2张，C型消费券（满168减60元）1张.
素材二	在此次活动中，小明一家5人都领到了消费券.某日小明一家在超市使用消费券共减了380元，请完成以下任务.
任务一	若小明一家用了2张A型消费券，6张B型的消费券，则用了 ▲ 张C型的消费券，此时实际消费的最少为 ▲ 元.
任务二	若小明一家用12张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张?
任务三	若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用消费券张数最少，并求出此时消费券的搭配方案.

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11. 根据以下素材，探索解决任务.

确定什锦糖的销售量

素材1：某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克.

素材2：商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示.小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元.

素材3：小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖.

问题解决

(1)、确定A型单价，每份什锦糖A需要多少元？

(2)、确定B型配比，每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？

(3)、确定销售量，本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？

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12.

生活中的数学：确定最省钱的租车方案

素材一

平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息：

租用A型客车数量	租用B型客车数量	租金总费用
3	2	3800
1	3	3600

素材一

A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位．

素材一

钱学森学校七八年级师生共485人前往国家版本馆游学，交通费支出预算为9000元．

任务一

根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元．

任务二

钱学森学校本次游学准备租用平安租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案．

任务三

是否存在租车费用不超过预算的租车方案？如果有，请写出该方案；如果不存在，请计算至少要追加的预算金额．

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13. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1	某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2	某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为 $3 ： 2$ ．
素材3	学校花费400元后，文具店赠送 $m$ 张 $(1 < m < 10)$ 兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1	探求商品单价	请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价．
任务2	探究购买方案	探究购买钢笔和笔记本的数量．
任务3	确定兑换方式	运用数学知识，确定兑换方式．

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14. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计板材裁切方案？
素材1	图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成.测量，该款学生椅的靠背尺寸为 $40 c m \times 15 c m$ ，座垫尺寸为 $40 c m \times 35 c m$ .图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2	因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫.已知该板材长为 $240 c m$ ，宽为 $40 c m$ .（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一	拟定裁切方案	若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张．方法二：裁切靠背张和坐垫张. 方法三：裁切靠背张和坐垫张.
任务二	确定搭配数量	若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三	解决实际问题	现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有1张座垫和11张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．

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命题新趋势8 项目式与方案设计——2024年浙教版数学七（下）期末复习

一、实践探究题