命题新趋势7 阅读理解——2024年北师大版数学八（下）期末复习

在数学课上，老师提出如下问题：

已知：如图1，$\text{△}ABC$及$AC$边的中点$O$ ， 求作：平行四边形$ABCD$ ．

小静的作法如下：

在数学课上，老师提出如下问题：

①连接$BO$并延长，在延长线上截取$OD=BO$；

②连接$DA\text{、}DC$ ． 所以四边形$ABCD$就是所求作的平行四边形．

老师说：“小静的作法正确”．

请回答：小静的作法正确的理由是 ．

试根据以上知识解决下列问题：

已知：在平面直角坐标系中，任意两点$M\left(x_1\mathrm{,}{y}_1\right)\mathrm{,}N\left(x_2\mathrm{,}{y}_2\right)$ ， 其两点之间的距离公式为$MN=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$ ． 同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为$\left|x_2-x_1\right|$或$\left|y_2-y_1\right|$ ．

一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：

因式分解：$am+bm+an+bn$

$=(am+bm)+(an+bn)$

$=m(a+b)+n(a+b)$

$=(a+b)(m+n)$ ．

定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：$\frac{4}{\mathrm{x}+1}，\frac{\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2}$ ， 这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：$\frac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-1}，\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{2\mathrm{x}+1}$这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．

如：$\frac{\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-1}=\frac{(\mathrm{x}-1)+3}{\mathrm{x}-1}=1+\frac{3}{\mathrm{x}-1}$ ．

例1：“两两分组”：$ax+ay+bx+by$

解：原式$=\left(ax+ay\right)+\left(bx+by\right)$

$=a\left(x+y\right)+b\left(x+y\right)$

$=\left(a+b\right)\left(x+y\right)$

例2：“三一分组”：$2xy+x^2-1+y^2$

解：原式$=\left(x^2+2xy+y^2\right)-1$

$={\left(x+y\right)}^2-1$

$=\left(x+y+1\right)\left(x+y-1\right)$

归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.

请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：

例题：解一元二次不等式$x^2-4>0$.

解∵$x^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$ ， ∴$x^2-4>0$ ， 可化为$\left(x+2\right)\left(x-2\right)>0$.

由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得：①$\{\begin{array}{l}x+2>0\hfill \\ x-2>0\hfill \end{array}$ ， ②$\{\begin{array}{l}x+2<0\hfill \\ x-2<0\hfill \end{array}$

解不等式组①，得$x>2$ ， 解不等式组②，得$x<-2$ ，

∴$\left(x+2\right)\left(x-2\right)>0$的解集为$x>2$或$x<-2$

即一元二次不等式$x^2-4>0$的解集为x>2或$x<-2$.

想法：求$p-q\mathrm{.}$当$p-q>0$ ， 则$p>q$；当$p-q<0$ ， 则$p<q$；当$p-q=0$ ， 则$p=q$ ．

解：$\text{∵}p-q=\left(x^2-y^2\right)-\left(2xy-2y^2\right)=x^2-2xy+y^2=\mathrm{(}x-y{\mathrm{)}}^2>0$ ， $\therefore p>q$ ．

用你学到的方法解决下列问题：

请阅读下列材料，并完成相应的任务．

     $\times$年$\times$月$\times$日星期一

今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在$\text{△}ABC$中，$D\text{，}E$分别是$AB\text{，}AC$边上的点，同学们提出了以下三个命题：

I.若$D$是$AB$边的中点，且$DE=\frac{1}{2}BC$ ， 则$E$是$AC$边的中点．

II.若$DE\text{∥}BC$ ， 且$DE=\frac{1}{2}BC$ ， 则$D\text{，}E$分别是$AB\text{，}AC$边的中点．

III.若$D$是$AB$边的中点，且$DE\text{∥}BC$ ， 则$E$是$AC$边的中点．

任务：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值.

小明发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）.

若两个等腰三角形有公共腰，则称这两个等腰三角形不在公共腰上的两个顶点关于腰互为对顶点．若再满足不在公共腰上的两个角的和是90°，则称这两个顶点关于腰为互余对顶点．

如图1，在四边形ABCD中，AC是一条对角线，CD=CA=CB，则点B与点D关于AC互为对顶点，若再满足∠B+∠D=90°，则点B与点D关于AC为互余对顶点．

任务：

如图2，平行四边形ABCD与四边形ABCE有两边重合，AC为两个四边形的对角线，AE=AD=AC，∠ACB=70°．

无刻度直尺作图：“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．

如图1，已知点P是线段AB的中点，分别以PA、PB为边在AB的同侧作$\text{△}PAC$与$\text{△}PBD$ ， 其中$CA=CP$ ， $DP=DB$ ， $\angle ACP=\angle PDB$ ． 求作：线段PC的中点E．

按照常规思路，用尺规作线段PC的垂直平分线，垂足即为PC的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段AD，AD与CP交点E即为PC的中点（如图2）．

证明：连接CD．

$\text{∵}CA=CP$ ，

$\therefore \angle CAP=\angle CPA$（依据1），

$\text{∵}\angle CAP+\angle CPA+\angle ACP=180^{°}$ ，

$\therefore \angle CAP=\frac{180^{°}-\angle ACP}{2}$ ， 同理，$\angle DPB=\frac{180^{°}-\angle PDB}{2}$ ．

……

如图1，$\text{△}ABC\text{≌}\text{△}ADE$ ， 其中$\angle B=\angle D=90°$ ， $AB=BC=AD=DE=2$ ， 此时，点$C$与点$E$重合．

已知$\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{3}$ ， 求$\frac{x^2}{x^4+1}$的值．

解：由已知可得$x\ne 0$ ， 则$\frac{x^2+1}{x}=3$ ， 即$x+\frac{1}{x}=3$ ．

     $\text{∵}\frac{x^4+1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2=3^2-2=7$ ，

     $\therefore \frac{x^2}{x^4+1}=\frac{1}{7}$ ．

上面材料中的解法叫做“倒数法”．

请你利用“倒数法”解下面的题目：

任务：

因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是-3＜x＜3；

因为|x|＞3，从如图2所示数轴上看：小大于-3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜-3或x＞3．

解答下面的问题：

若$a-b>0$ ， 则$a>b$；

若$a-b=0$ ， 则$a=b$；

若$a-b<0$ ， 则$a<b$.

反之也成立.

这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”.

例：已知$M=a^2-ab$ ， $N=ab-b^2$ ， 其中$a\ne b$ ， 求证：$M>N$

证明：$M-N=a^2-ab-ab+b^2=\mathrm{(}a-b{\mathrm{)}}^2$

     $\text{∵}a\ne b$

     $\therefore \mathrm{(}a-b{\mathrm{)}}^2>0$ ， 故$M>N$

因式分解：${\left(x+y\right)}^2+2\left(x+y\right)+1$ ，

解：令$\left(x+y\right)=A$ ， 则原式：$=A^2+2A+1={\left(A+1\right)}^2$ ，

再将“A”还原，得原式$={\left(x+y+1\right)}^2$ ，

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

例：将分式$\frac{1-3x}{x^2-1}$表示成部分分式，解：设$\frac{1-3x}{x^2-1}=\frac{M}{x+1}+\frac{N}{x-1}$ ， 将等式右边通分，得$\frac{M\left(x-1\right)+N\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{\left(M+N\right)x+\left(N-M\right)}{x^2-1}$ ， 依据题意，得$\{\begin{array}{l}M+N=3\hfill \\ N-M=1\hfill \end{array}$ ， 解得$\{\begin{array}{l}M=-2\hfill \\ N=-1\hfill \end{array}$ ， 所以$\frac{1-3x}{x^2-1}=\frac{-2}{x+1}+\frac{-1}{x-1}$请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：