命题新趋势7 阅读理解——2024年浙教版数学八（下）期末复习

上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．

$\begin{array}{rr}& 2\sqrt{0.5}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{0.5}=\sqrt{2^2\times 0.5}=\sqrt{2}；\\ & \mathrm{ }-3\sqrt{\frac{1}{3}}=-\sqrt{3^{\frac{2}{2}}}\times \sqrt{\frac{1}{3}}=-\sqrt{3^2\times \frac{1}{3}}=-\sqrt{3.}.\end{array}$

根据上述解法简化下列各式：

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1\times \mathrm{(}\sqrt{5}-\sqrt{4}\mathrm{)}}{\mathrm{(}\sqrt{5}+\sqrt{4}\mathrm{)}\mathrm{(}\sqrt{5}-\sqrt{4}\mathrm{)}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{\mathrm{(}\sqrt{5}{\mathrm{)}}^2-\mathrm{(}\sqrt{4}{\mathrm{)}}^2}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$ ，

$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1\times \mathrm{(}\sqrt{6}-\sqrt{5}\mathrm{)}}{\mathrm{(}\sqrt{6}+\sqrt{5}\mathrm{)}\mathrm{(}\sqrt{6}-\sqrt{5}\mathrm{)}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\mathrm{(}\sqrt{6}{\mathrm{)}}^2-\mathrm{(}\sqrt{5}{\mathrm{)}}^2}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$.

请回答下列问题：

∵${\left(\sqrt{2}-1\right)}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\times 1\times \sqrt{2}+1^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}，$

反之$，3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1={\left(\sqrt{2}-1\right)}^2，$

∴$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$

如：将$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$分母有理化，解：原式$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ ．

运用以上方法解决问题：

已知：$m=\frac{1}{3+\sqrt{7}}$ ， $n=\frac{1}{3-\sqrt{7}}$ ．

爱思考的小名在解决问题：已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ ， 求$2a^2-8a+1$的值.他是这样分析与解答的：

∵$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=2-\sqrt{3}$ ， $a-2=-\sqrt{3}$.

∴${\left(a-2\right)}^2=3$ ， 即$a^2-4a+4=3$.

∴$a^2-4a=-1$.

∴$2a^2-8a+1=2\left(a^2-4a\right)+1=2\times \left(-1\right)+1=-1$.

请你根据小名的分析过程，解决如下问题：

我们把形如 ${\mathrm{x}}^2=\mathrm{a}$(其中a是常数且a≥0)这样的方程叫做x的完全平方方程.如 ${\mathrm{x}}^2=9，{\left(3\mathrm{x}-2\right)}^2=25，{\left(\frac{\mathrm{x}+1}{3}\right)}^2=4$都是完全平方方程.

那么如何求解完全平方方程呢?我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.如：解完全平方方程. ${\mathrm{x}}^2=9$由 ${\left(+3\right)}^2=9，{\left(-3\right)}^2$=9可得 $x_1=3，x_2=-3$.
解决下列问题：

已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝ $\frac{4}{x}$ （x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围.

一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3+2\sqrt{2}={\left(1+\sqrt{2}\right)}^2.$

设$\mathrm{a}+\mathrm{b}\sqrt{2}={\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\sqrt{2}\right)}^2$(其中a，b，m，n均为正整数)，则有$\mathrm{a}+\mathrm{b}\sqrt{2}={\mathrm{m}}^2+2{\mathrm{n}}^2+2\mathrm{m}\mathrm{n}\sqrt{2}，$

 $\therefore \mathrm{a}=m^2+2n^2，\mathrm{b}=2\mathrm{m}\mathrm{n}.$

这样可以把部分形如a+b     $\sqrt{2}$ 的式子化为完全平方式.

请你仿照上述方法探索并解决下列问题：

求代数式y²+4y+8的最小值．

解：y²+4y+8＝y²+4y+4+4＝（y+2）²+4，

∵（y+2）²≥0，

∴（y+2）²+4≥4

∴y²+4y+8的最小值是4．

对于两个正数a、b，则 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ （当且仅当a＝b时取等号）.

当 $ab$ 为定值时， $a+b$ 有最小值；当 $a+b$ 为定值时， $ab$ 有最大值.

例如：已知 $x>0$ ，若 $y=x+\frac{1}{x}$ ，求 $y$ 的最小值.

解：由 $a+b$ ≥ $2\sqrt{ab}$ ，得 $y=x+\frac{1}{x}$ ≥ $2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2\times \sqrt{1}=2$ ，当且仅当 $x=\frac{1}{x}$ 即 $x=1$ 时， $y$ 有最小值，最小值为 $2$ .

根据上面的阅读材料回答下列问题：

【材料阅读】

我们曾解决过课本中的这样一道题目：

如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．……

提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD；

提炼2：△ECD≌△FAD；

提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式．

【问题解决】

小明遇到这样一个问题：如图①，在$\text{△}ABC$中，$DE\text{∥}BC$ ， 且$CD\perp BE\text{，}CD=3，BE=5$ ， 试求$BC+DE$的值．

小明遇到这样一个问题，如图，在 $\Delta ABC$ 中， $DE//BC$ 分别交 $AB$ 于点 $D$ ，交 $AC$ 于点 $E$ .已知 $CD\perp BE，CD=3，BE=5$ ，求 $BC+DE$ 的值.

小明发现，过点 $E$ 作 $EF//DC$ ，交 $BC$ 的延长线于点 $F$ ，构造 $\Delta BEF$ ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）

请你回答：

小明想到解决问题的方法如下：

如图②，延长CB至点G，使BG＝DF，通过证明$\text{△}AGE\text{≌}\text{△}AFE$ ， 得到BE、DF、EF之间的关系，进而求出△CEF的周长．

勾股定理的证明

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是数学中最重要的定理之一． 勾股定理的证明过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有a，b，c的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含a，b，c的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的证明．借助于图形的面积研究相关的数量关系，是我国古代数学研究中经常采用的重要方法，它充分显示了古人的卓越智慧．

下面是证明勾股定理的一种思路： 

如图，用一个等腰直角三角形（$\text{R}\text{t}\text{△}ABC$），和两个全等的直角三角形（$\text{R}\text{t}\text{△}ACD\text{，}\text{R}\text{t}\text{△}BCE$）可以拼成一个直角梯形$ABED$ ． 其中$AD=CE=a$；$CD=BE=b\text{，}AC=BC=c$ ， 用两种不同的方法和含有a，b，c的式子表示梯形$ABED$的面积，就能完成勾股定理的证明．

提示：梯形的面积$S=\frac{1}{2}\times$（上底＋下底）$\times$高

任务：