命题新趋势6 开放型问题——2024年北师大版数学八（下）期末复习

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）．

A、3种 B、4种 C、5种 D、6种

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二、填空题

2. 在3，a²-1，5a中任选两个构成一个分式，有，共个.

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3. 如果m为整数，那么使分式 $\frac{m + 3}{m + 1}$ 的值为整数的m的值为．（写出两个即可）

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4. 已知， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 8$ ．请从下列A，B两题中任选一题作答．、
A．如图1，将线段 $B C$ 绕点B逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B D$ ，连接 $A D$ ，则 $A D$ 的长为．
B．如图2，将线段 $B C$ 绕点B逆时针旋转得到线段 $B D$ ，连接 $A D$ ， $C D$ ，若 $A D = A C$ ，则 $C D$ 的长为．

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5. 如图，已知 $∠ A C B = ∠ B D A = 90 °$ ，请你添加一个条件，使得 $△ A C B$ ≌ $△ B D A .$ 你添加的条件是： $.$ 写出一个符合题意的即可 $)$

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6. 如图，在▱ABCD中，点F，E分别在边AD，BC上，若要使AE=CF，则需添加的条件是(填一个即可).

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7. 四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是（横线只需填一个你认为合适的条件即可）

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8. 如图，在△ABC中，D，E，F，分别时AB，BC，AC，的中点，若平移△ADF平移，则图中能与它重合的三角形是．（写出一个即可）

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9. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）。

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10. 已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．请从下面A，B两题中任选一题作答；
A．如图1，AB边的垂直平分线交AC于点E，交AB于点F．若AE＝5，EF=3，则线段EC的长为；
B．如图2，∠ABC的平分线交AC于点D，AB边的垂直平分线交AC于点E，AC=8，BC＝6，线段DE的长为．

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三、作图题

11. 如图，在 $7 \times 6$ 的方格中， $△ A B C$ 的顶点均在格点上.试按要求画出线段 $E F$ （ $E$ ， $F$ 均为格点），各画出一条即可.

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四、解答题

12. 先化简： $\frac{a - 1}{a + 1} \div (a - \frac{3 a - 1}{a + 1})$ ，再任选一个你喜欢的数a代入求值．

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13. 在① $A E = C F$ ；② $O E = O F$ ；③ $B E ∥ D F$ 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，点E、F在 $A C$ 上， ▲ （填写序号）．求证： $B E = D F$ ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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14. 在① $A E = C F$ ；② $D E = B F$ ；③ $D E ∥ B F$ 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，（填写序号）．
求证：四边形DEBF是平行四边形．

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15. 请从不等式﹣4x＞2， $\frac{1}{2} x - 1 ⩽ 7 - \frac{3}{2} x$ ， $1 - \frac{x - 2}{2} \leq \frac{1 + x}{3}$ 中任选两个组成一个一元一次不等式组．解出这个不等式组，并在数轴上表示出它的解集．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E分别是 $A B 、 A C$ 的中点，F是 $B C$ 延长线上的一点，且 $C F = \frac{1}{2} B C$ ．试猜想 $D E$ 与 $C F$ 有怎样的数量关系，并说明理由．

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17. 如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF.请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明.

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18. 先阅读下列材料，再解决问题：我们定义一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
如图， $E ， F$ 分别是梯形 $A B C D$ 的两腰 $A B$ 和 $C D$ 的中点，即 $E F$ 为梯形 $A B C D$ 的中位线.请同学们思考梯形的中位线与两底有何数量关系与位置关系？并给予证明.

猜想：

已知：

求证：

证明：

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19. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．

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五、综合题

20. 在① $A E = C F$ ；② $D E = B F$ ；③ $D E ∥ B F$ 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，（填写序号）．

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21. 数学活动实验、猜想与证明

(1)、问题情境
数学活动课上，小颖向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别是AB，CD的中点，作射线MN，连接MD，MC，请直接写出线段MD与MC之间的数量关系．

(2)、解决问题
小彬受此问题启发，将矩形ABCD变为平行四边形，其中∠A为锐角，如图（2），AB=2BC，M，N分别是AB，CD的中点，过点C作CE⊥AD交射线AD于点E，交射线MN于点F，连接ME，MC，则ME=MC，请你证明小彬的结论；

(3)、小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题：∠BME与∠AEM有怎样的数量关系？请你回答小丽提出的这个问题，并证明你的结论．

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22. 综合与实践
问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，老师创设了如下探究情境，探究三角形的中位线定理．
问题1：如图1，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB上一点，连接EO并延长交CD于F，则OE与OF有怎样的数量关系？
小明： $O E = O F$ ．
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ $C D$ $∥$ $A B$ ， $A O = C O$ （依据1）
∴ $∠ B A O = ∠ D C O$
又∵ $∠ A O E = ∠ C O F$ ，
∴ $△ A O E ≌ △ C O F$ （依据2）．
∴ $O E = O F$
问题2：如图2，若点E为AB的中点，其他条件不变，则线段EF与BC有怎样的数量关系和位置关系？
小亮： $E F = B C$ ， $E F$ $∥$ BC．
理由如下：…．
问题3：如图3，在 $△ A B C$ 中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．通过前面问题给你的启发，你能猜想出DE和BC的数量关系和位置关系吗？
小慧： $D E$ $∥$ BC， $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
…
数学思考：

(1)、请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”：
依据1：；依据2：．

(2)、请你帮助小亮写出问题2的证明过程．（温馨提示：不能用三角形的中位线定理证明哦！）

(3)、问题解决：
请用图3写出三角形中位线定理的证明过程．

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