命题新趋势6 开放型问题——2024年浙教版数学七（下）期末复习

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 在下列方程：①x-y=-1；②2x+y=0；③x+2y=-3；④3x+2y=1中，任选两个组成二元一次方程组，若 ${\begin{cases} x = - 1 \\ y = 2 \end{cases}$ 是该方程组的解，则选择的两个方程是（）

A、①③ B、①④ C、②④ D、②③

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2. 已知矩形ABCD，将两张边长分别为 $a$ 和 $b (a > b)$ 的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中末被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1与图2中阴影部分的周长差为 $l$ ，若要知道 $l$ 的值，只需测量（）

A、 $a$ B、 $b$ C、BC D、AB

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二、填空题

3. 如图，要使 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，只需添加一个条件，这个条件是．

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4. 如图，若满足条件，则有AB∥CD（不再添加辅助线和字母，只需填一个条件即可）.

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5. 如图，要使AD∥BC只需添加一个条件，这个条件是． (填一个正确的即可，不添加其它字母与辅助线)

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6. 现有下列多项式：① $1 - a^{2}$ ；② $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ；③ $4 a^{2} - 9 b^{2}$ ；④ $3 a^{3} - 12 a$ ．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有．（只需填上题序号即可）

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7. 下列四个代数式1， $π$ ， $x^{2} - 1$ ， $x + 1$ ，请从中任选两个整式，组成一个分式为．（只需写出一个即可）．

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8. 从下列几个均不为零的式子 $x^{2} - 4 ， x^{2} - 2 x ， x^{2} - 4 x$ $+ 4 ， x^{2} + 2 x ， x^{2} + 4 x + 4$ 中任选两个都可以组成分式，请选择一个不是最简分式的分式进行化简：

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9. 若代数式 $x^{2} - a$ 在有理数范围内可以因式分解，则整数 $a$ 的值可以为(写出一个即可)．

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10. 若多项式. $x^{2} + 1$ 添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是.(写出一个即可).

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11. 如图，AB和CD相交于点O，点E是DB延长线上一点，要使AC∥DE，需再添加一个条件为(只填一个即可).

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三、计算题

12. 先化简再求值： $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4}$ ÷（ $\frac{2 x - 4}{x + 2}$ ﹣x＋2），其中x可在﹣2，0，3三个数中任选一个合适的数.

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四、解答题

13. 小深在对多项式 $[{(2 a + b)}^{2} - 4 a (a + b) - 4 b^{2}] \div (- 2 b)$ “化简求值”的过程中，发现只需要知道字母 ▲ （填 $a$ 或 $b$ ）的取值就可以求出正确答案了，若这个字母等于3，请将这个多项式先化简，再求值．

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14. 请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式：
x²﹣4xy+4y² ， x²﹣4y² ， x﹣2y．

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15.
如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）

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16. 如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为点D，G，且∠1=∠2，猜想：∠BDE与∠C有怎样的数量关系？说明理由.

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17. 若a＞0，M= $\frac{a + 1}{a + 2}$ ， N= $\frac{a + 2}{a + 3}$ ，
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．

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18. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形，探究这两个角之间的关系，并对你的结论说明理由．

(1)、如图①，AB∥FE，BC∥ED，∠1与∠2的关系是 ▲ ，请说明理由．

(2)、如图②，AB∥FE，BC∥DE，∠1与∠2的关系是 ▲ ，请说明理由．

(3)、经过上述探究，可以得到一个正确的结论：
如果
那么

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19. 若关于 x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + y = 2 ， \\ A = - 1 \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{matrix} x = 1 ， \\ y = 1 ， \end{matrix}$ 则多项式A 可以是(写出一个即可).

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20. 如图，已知AD⊥BC， FG⊥BC，垂足分别为D，G，∠1=∠2，试猜想∠BDE与∠C的大小关系，并说明理由．

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21. 如图，已知 $A B / / C D$ ，分别探讨下面的四个图形中 $∠ A P C$ 、 $∠ P A B$ 和 $∠ P C D$ 的关系，并请你从所得的四个关系中任选一个，说明成立的理由.

(1)、图①的关系是；

(2)、图②的关系是；

(3)、图③的关系是；

(4)、图④的关系是；

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五、实践探究题

22. 阅读下列材料，解答下面的问题．
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array} ， {\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 3 \end{array} ， {\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 0.5 \end{array}$ ……都是方程x+2y＝5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求2x+5y＝24这个二元一次方程的正整数解．
解：由2x+5y＝24，得： $y = \frac{24 - 2 x}{5}$ ，
根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道
方程2x+5y＝24的正整数解为 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 4 \end{array}$ 或 ${\begin{array}{l} x = 7 \\ y = 2 \end{array}$ ．
问题：

(1)、若 $\frac{20}{x - 3}$ 为非负整数，则满足条件的整数x的值有个．

(2)、直接写出满足方程2x+3y＝8的正整数解 _

(3)、若要把一根长为32m的绳子截成长为3m和4m两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法．

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23. 阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得： $y = \frac{12 - 2 x}{3} = 4 - \frac{2}{3} x$ （x、y为正整数）．要使 $y = 4 - \frac{2}{3} x$ 为正整数，则 $\frac{2}{3} x$ 为正整数，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入 $y = 4 - \frac{2}{3} x = 2$ ．所以2x+3y＝12的正整数解为 ${\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$ ．
问题：

(1)、请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解．

(2)、若 $\frac{6}{x - 3}$ 为自然数，则满足条件的正整数x的值是．

(3)、关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{cases} x + 2 y = 9 \\ 2 x + k y = 10 \end{cases}$ 的解是正整数，求整数k的值．

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