命题新趋势5 新定义——2024年北师大版数学七（下）期末复习

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 定义一种新运算，当 $a \neq b$ 时， $a ※ b = {\begin{array}{l} \frac{a b}{a - b} (a > b) \\ \frac{a b}{b - a} (a < b) \end{array}$ ．若 $2 ※ x = 4$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、4 C、4或 $- \frac{4}{3}$ D、4或 $\frac{4}{3}$

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2. 定义一种新运算 $a * b = - a b$ ，那么 $(m - n) * m$ 的运算结果为（）

A、 $m^{2} - m n$ B、 $- m^{2} + m n$ C、 $- m^{2} - m n$ D、 $m^{2} - n$

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3. 定义 $a \otimes b = 2 a + b$ ，则方程 $3 \otimes x = 4 \otimes 2$ 的解为（）

A、 $x = 4$ B、 $x = - 4$ C、 $x = 2$ D、 $x = - 2$

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4. 设 $a$ ， $b$ 是实数，定义一种新运算： $a * b = {(a - b)}^{2}$ ，下面有四个推断：
$① a * b = b * a$ ；
$② {(a * b)}^{2} = a^{2} * b^{2}$ ；
$③ (- a) * b = a * (- b)$ ；
$④ a * (b + c) = a * b + a * c$ ．
其中所有正确推断的序号是（）

A、 $① ② ③ ④$ B、 $① ③ ④$ C、 $① ②$ D、 $① ③$

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5. 若定义表示 $^{（ 2 x y z ）^{3}}$ ，表示 $- 4 a^{d} c^{b}$ ，则运算 $\div$ 的结果为（）

A、 $- 16 n$ B、 $16 n$ C、 $m n$ D、 $- m n$

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6. 设a、b是有理数，定义一种新运算：a*b＝（a﹣b）² ，下面有四个推断：①a*b＝b*a；②（a*b）²＝a²*b²；③（﹣a）*b＝a*（﹣b）；④a*（b+c）＝a*b+a*c ．其中正确推断的序号是（　　）

A、①③ B、①② C、①③④ D、①②③④

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7. 若定义表示xyz，表示 $4 a^{d} c^{b}$ ，则运算的结果为（）

A、 $2 m^{2} n$ B、 $4 m^{2} n$ C、 $2 m n^{2}$ D、 $4 m n^{2}$

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8. 定义 $a * b = a (b + 1)$ ，例如 $x * (x + 1) = x (x + 1 + 1) = x (x + 2) = x^{2} + 2 x$ .则 $(x - 2) * (x + 2)$ 的结果为（）

A、 $x^{2} - 4$ B、 $x^{2} + 5 x - 6$ C、 $x^{2} + x - 6$ D、 $x^{2} + x + 6$

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9. 对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b $= {\begin{array}{l} a (a \geq b) \\ b (a ＜ b) \end{array}$ ， a⊗b $= {\begin{array}{l} b (a \geq b) \\ a (a ＜ b) \end{array}$ ，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，[（﹣2）⊕3]⊗2＝2，那么（ $\sqrt{5}$ ⊕2）⊗ $\sqrt[3]{27}$ 的值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、3 $\sqrt{5}$

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10. 定义：平面内的直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离分别为a、b，则称有序非负实数对 $(a ， b)$ 是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为 $(2 ， 1)$ 的点的个数有（）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 我们定义一个新运算： $a & b = 1 0^{a} \times 1 0^{b}$ ，如 $2 & 3 = 1 0^{2} \times 1 0^{3} = 1 0^{5}$ ，那么 $4 & 8$ 为（）

A、 $1 0^{12}$ B、 $1 0^{32}$ C、 $1 2^{10}$ D、32

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12. 定义新运算：对于任意实数a，b都有 $a \oplus b = a p + b q$ ，等式右边是常用的乘法和减法运算．规定，若 $3 \oplus 2 = 5$ ， $1 \oplus (- 2) = - 1$ ，则 $(- 3) \oplus 1$ 的值为（）

A、－2 B、－4 C、－7 D、－11

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13. 设 $x$ ， $y$ 是实数，定义@的一种运算如下： $x$ @ $y = (x + y)^{2} - (x - y)^{2}$ ，则下列结论：①若 $x$ @ $y$ =0，则 $x = 0$ 或 $y = 0$ ；② $x$ @( $y$ +z)= $x$ @ $y$ + $x$ @z；③不存在实数 $x$ ， $y$ ，满足 $x$ @ $y = x^{2} + 5 y^{2}$ ；④设 $x$ ， $y$ 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当 $x = y$ 时， $x$ @ $y$ 最大，其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

14. 现定义一种运算“⊕”，对任意有理数m ， n规定： $m \oplus n = m n (m - n)$ ，如： $1 \oplus 2 = 1 \times 2 (1 - 2) = - 2$ ，则 $(a + b) \oplus (a - b)$ 的值是．

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15. 定义新运算“※”：A※ $B = A^{2} + A B$ .例如( $-$ 2)※ $5 = {(- 2)}^{2} + (- 2) \times 5 = - 6 .$ 按照这种运算法则，若(x+2)※(2-x)=20，则 x=.

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16. 定义一种运算：若 $2^{a} = b$ ，则称 $L (b) = a$ ；计算 $L (8) + L (\frac{1}{4}) =$ ．

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17. 定义运算 $a * b = {\begin{array}{l} a^{b} (a \leq b ， a \neq 0) \\ b^{a} (a > b ， a \neq 0) \end{array}$ ，若 $(m - 1) * (m - 3) = 1$ ，则 $m$ 的值为．

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18. 定义一种新运算： a★b=ab-a² ，则x★(x+y)= ．

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19. 定义一种新的运算：规定 $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，则 $| \begin{array}{l} 124 & 123 \\ 123 & 122 \end{array} | =$ ．

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20. 定义运算：a⊕b=(a+b)(a-3)，下面给出这种运算的四个结论：①4⊕5=9；②a⊕b=b⊕a；③若a⊕b=0，则a+b=0；④若a+b=0，则a⊕b=0．其中正确的结论是(把所有正确结论的序号都填在横线上)

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三、实践探究题

21. 对于整数a ， b定义新运算； $a ※ b = {(a^{b})}^{m} + {(b^{a})}^{n}$ （其中m ， n为常数），如 $3 ※ 2 = (3^{2})^{m} + (2^{3})^{n}$ ．

(1)、当 $m = 1$ ， $n = 100$ 时， $2 ※ 1$ 的值为；

(2)、若 $4^{m - n} = 3$ ， $1 ※ 4 = 7$ ，求 $2 ※ 2$ 的值．

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22. 定义新运算 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$ =ad+3b-2c，如 $|\begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 7 \end{matrix}|$ =1×7+3×5-2×3=7+15-6=16。

(1)、计算 $|\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 4 \end{matrix}|$ 的值。

(2)、化简： $|\begin{matrix} x + y & 7 x y - x^{2} \\ 2 x y - 3 x^{2} + 1 & - 3 x - y \end{matrix}|$ 。

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23. 定义：任意两个数 $a$ ， $b$ ，按规则 $c = (a + 1) (b + 1)$ 运算得到一个新数 $c$ ，称所得的新数 $c$ 为 $a$ ， $b$ 的“和积数”．

(1)、若 $a = 4$ ， $b = - 2$ ，求 $a$ ， $b$ 的“和积数” $c$ ；

(2)、若 $a b = \frac{1}{2}$ ， $a^{2} + b^{2} = 8$ ，求 $a$ ， $b$ 的“和积数” $c$ ；

(3)、已知 $a = x + 1$ ，且 $a$ ， $b$ 的“和积数” $c = x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 2$ ，求 $b ($ 用含 $x$ 的式子表示 $)$ 并计算 $a + b$ 的最小值．

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24. 【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规定： $m ⊙ n = m n (m - n)$ ．
例如： $1 ⊙ 2 = 1 \times 2 \times (- 2) = - 2$ ．

(1)、【问题推广】
先化简，再求值： $(a + b) ⊙ (a - b)$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = - 1$ ；

(2)、【拓展提升】
若 $x^{2} y ⊙ (x ⊙ y) = x^{p} y^{q} - x^{q} y^{p}$ ，求p，q的值

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25. 定义：对任意一个两位数 $a$ ，如果 $a$ 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为 $f (a)$ ．例如： $a = 12$ ，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为 $21 + 12 = 33$ ，和与11的商为 $33 \div 11 = 3$ ，所以 $f (12) = 3$ ．根据以上定义，回答下列问题：

(1)、①下列两位数：50，44，35中，“互异数”为；②计算： $f (25) =$ ；

(2)、一个“互异数” $b$ 的十位数字是 $m$ ，个位数字是 $n$ ，且 $m + n = 5$ ，求 $f (b)$ 的值；

(3)、如果一个“互异数” $c$ 的十位数字是 $2 k + 1$ ，个位数字是 $k - 2$ ，且 $f (c) = 8$ ，求“互异数” $c$ 的值．

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26. 规定两数a ， b之间的一种运算，记作 $（ a ， b ）$ ，如果 $a^{m} ＝ b$ ，则 $（ a ， b ）＝ m$ ．我们叫 $（ a ， b ）$ 为“雅对”．例如：因为 $2^{3} ＝ 8$ ，所以 $（ 2 ， 8 ）＝ 3$ ．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 $（ 3 ， 3 ） + （ 3 ， 5 ）＝（ 3 ， 15 ）$ 成立．证明如下：
设 $（ 3 ， 3 ）＝ m$ ， $（ 3 ， 5 ）＝ n$ ，则 $3^{m} ＝ 3$ ， $3^{n} ＝ 5$ ，故 $3^{m} \cdot 3^{n} ＝ {3^{m}}^{+ n} ＝ 3 \times 5 ＝ 15$ ，则 $（ 3 ， 15 ）＝ m + n$ ，即 $（ 3 ， 3 ） + （ 3 ， 5 ）＝（ 3 ， 15 ）$ ．

(1)、根据上述规定，填空： $（ 5 ， 125 ）$ ＝；（， 16）＝4；

(2)、计算 $（ 5 ， 2 ） + （ 5 ， 7 ）$ ＝，并说明理由；

(3)、利用“雅对”定义说明： $（ 2^{n} ， 3^{n} ）＝（ 2 ， 3 ）$ ，对于任意非0整数n都成立．

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