命题新趋势4 整体思想——2024年浙教版数学七（下）期末复习

试卷更新日期：2024-06-02 类型：复习试卷

进入出卷网下载

一、选择题

1. 把（x－y）看作一个整体，下面计算正确的是（）

A、 ${(x - y)}^{2} \cdot {(y - x)}^{3} = {(x - y)}^{5}$ B、 ${(x - y)}^{5} \cdot {(y - x)}^{3} = - {(x - y)}^{7}$ C、 ${(x - y)}^{} \cdot {(y - x)}^{3} \cdot {(x - y)}^{2} = {(x - y)}^{6}$ D、 ${(y - x)}^{} \cdot {(y - x)}^{2} \cdot {(y - x)}^{3} = {(x - y)}^{6}$

查看试题解析
2. 解二元一次方程组 ${\begin{cases} 4 x + 5 y = 17 \\ 4 x + 7 y = - 19 \end{cases}$ 时，用代入消元法整体消去4x，得到的方程是（）

A、2y=-2 B、2y=-36 C、12y=-36 D、12y=-2

查看试题解析

二、填空题

3. 把某个式子看成一个整体，用一个变量取代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 6 \\ y = 2 \end{array}$ ，则关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 3 a_{1} (x + y) + 2 b_{1} (x - y) = 5 c_{1} \\ 3 a_{2} (x + y) + 2 b_{2} (x - y) = 5 c_{2} \end{array}$ 的解是.

查看试题解析
4. 阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：
已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $3 x - y = 5 ①$ ， $2 x + 3 y = 7 ②$ ，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 $x$ 、 $y$ 的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由 $① - ②$ 可得 $x - 4 y = - 2$ ，由 $① + ② \times 2$ 可得 $7 x + 5 y = 19$ ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题：

(1)、已知 $x$ 、 $y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 9 \\ 2 x + y = 6 \end{array}$ ，则 $x - y$ 的值为， $x + y$ 的值为；

(2)、已知方程组 ${\begin{array}{l} 2 m - 3 n = - 2 \\ 3 m + 5 n = 35 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} m = 5 \\ n = 4 \end{array}$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} 2 (x + 2) - 3 (y - 1) = - 2 \\ 3 (x + 2) + 5 (y - 1) = 35 \end{array}$ 的解是．

查看试题解析

三、计算题

5. 利用整体代入法解方程组： ${\begin{matrix} \frac{x - 3}{2} - 3 y = 0 \\ 2 (x - 3) - 11 = 2 y \end{matrix}$ ．

查看试题解析
6. 先阅读材料，后解方程组：
材料：解方程组 ${\begin{matrix} x - y - 1 = 0 ① \\ 4 (x - y) - y = 5 ② \end{matrix}$ 时，可由①得：x﹣y=1③，然后再将③代入②得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得： ${\begin{matrix} x = 0 \\ y = - 1 \end{matrix}$ ，这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解下列方程组： ${\begin{matrix} 2 x - 3 y - 2 = 0 ① \\ \frac{2 x - 3 y + 5}{7} + 2 y = 9 ② \end{matrix}$

查看试题解析

四、综合题

7. 阅读以下材料：
解方程组： ${\begin{array}{l} x + y - 1 = 0 ① \\ 3 (x + y) + y = 2 ② \end{array}$ ，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：

解：由①得x+y＝1③，将③代入②得：

(1)、请你替小阳补全完整的解题过程；

(2)、请你用这种方法解方程组： ${\begin{array}{l} 3 x - y + 1 = 0 ① \\ \frac{6 x - 2 y + 2}{3} + 2 y = 4 ② \end{array}$ .

查看试题解析
8. 你知道数学中的整体思想吗?解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体加减，能使问题迅速获解.
例题：已知x²+xy=4，xy+y²=-1.求代数式x²-y²的值.

解：将两式相减，得(x²+xy)-(xy+y²)=4-(-1)，即x²-y²=5；请用整体思想解答下列问题：

(1)、在例题的基础上求(x+y)²的值；

(2)、若关于x、y的二元一次方程组 ${\begin{cases} 4 x + y = 10 k \\ x - 2 y = 4 k \end{cases}$ 的解也是二元一次方程x+y=6的解，求k的值.

查看试题解析
9. 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足 $3 x - y = 5$ ①， $2 x + 3 y = 7$ ②，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 $① - ②$ 可得 $x - 4 y = - 2$ ，由 $① + ② \times 2$ 可得 $7 x + 5 y = 19$ .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.

解决问题：

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x + y = 7 \\ x + 2 y = 8 \end{matrix}$ ，则 $x - y =$ ；

(2)、某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需元.

(3)、对于实数x、y，定义新运算： $x * y = a x + b y + c$ ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 $3 * 5 = 15$ ， $4 * 7 = 28$ ，那么 $1 * 1 =$ .

查看试题解析
10. 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：
若关于x、y的方程组 ${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$ 的解是 ${\begin{cases} x = 6 \\ y = 2 \end{cases}$ ，求关于x，y的方程组 ${\begin{cases} 3 a_{1} （ x + y ） + 2 b_{1} （ x - y ） = 5 c_{1} \\ 3 a_{2} （ x + y ） + 2 b_{2} （ x - y ） = 5 c_{2} \end{cases}$ 的解.

查看试题解析

五、实践探究题

11. 在解方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + 5 y = 3 ， ① \\ 4 x + 11 y = 5 ， ② \end{matrix}$ 时，明明采用了一种“整体代换”的解法.
解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5.③
把①代入③，得2×3+y=5，解得y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴方程组的解决为 $\{\begin{matrix} x = 4 ， \\ y = - 1 . \end{matrix}$
请用“整体代换”法解下列方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} 4 x - 3 y = 6 ， \\ 8 x - 7 y = 18 ， \end{matrix}$ 。

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 (x + 3) + (2 y - 1) = 11 ， \\ 4 (x + 3) - 3 (2 y - 1) = 17 . \end{matrix}$

查看试题解析
12. 阅读材料：
整体代换是一个重要的数学思想，有着广泛的应用.例如：计算4(a+b)-7(a+b)+(a+b)时可将(a+b)看成一个整体，合并同类项得-2(a+b)，再利用分配律去括号得-2a-2b.同时，我们也知道，代数的基本要义就是用字母表示数，使之更具一般性.所以，在计算a(a+b)时，同样可以利用分配律得 $a^{2} + a b$
解决问题：

(1)、请你尝试着把(a-2)或(b-2)看成整体，计算：(a-2)(b-2).

(2)、如果两个数的乘积等于它们的和的两倍，那么我们称这两个数为“积倍和数对”，即：若ab=2(a+b)，则a，b是一对“积倍和数对”，记为(a，b).例如：∵3×6=2(3+6)，∴3和6是一对“积倍和数对”，记为(3，6).
请你找出所有的a，b均为整数的“积倍和数对”

查看试题解析
13. 善于思考的小明在解方程组 $\{\begin{matrix} 4 x + 10 y = 6 ， ① \\ 8 x + 22 y = 10 ② \end{matrix}$ 时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程8x+22y=10变形为2（4x+10y）+2y=10.③
把方程①代入③，得2×6+2y=10，解得 y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴原方程组的解为 $\{\begin{matrix} x = 4 ， \\ y = - 1 . \end{matrix}$
请你运用“整体代换”的思想解决下列问题：

(1)、解方程组 $\{\begin{matrix} 2 x - 3 y = 7 ， \\ 6 x - 5 y = 25 ， \end{matrix}$

(2)、已知x，y，z满足 $\{\begin{matrix} 3 x - 2 z + 12 y = 47 ， \\ x + z + 4 y = 19 ， \end{matrix}$ 试求 z 的值.

查看试题解析
14. 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x ， y满足 $3 x - y = 5$ ①， $2 x + 3 y = 7$ ②，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x ， y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得 $x - 4 y = - 2$ ，由①+②×2可得 $7 x + 5 y = 19$ ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：

(1)、已知二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 17 \\ 3 x + 2 y = 13 \end{array}$ ，则 $x - y =$ ， $x + y =$ ；

(2)、对于实数x ， y ，定义新运算： $x * y = a x - b y + c$ ，其中a ， b ， c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知 $3 * 5 = 15$ ， $4 * 7 = 28$ ，那么求 $1 * 1$ 的值．

查看试题解析
15. 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组： ${\begin{array}{l} \frac{4 x + 3 y}{3} + \frac{6 x - y}{8} = 8 \\ \frac{4 x + 3 y}{6} + \frac{6 x - y}{2} = 11 \end{array}$ ．
观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的 $(4 x + 3 y)$ 看成一个整体，把 $(6 x - y)$ 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．

(1)、设 $4 x + 3 y = m$ ， $6 x - y = n$ ，则原方程组可化为，解关于m ， n的方程组，得 ${\begin{array}{l} m = 18 \\ n = 16 \end{array}$ ，所以 ${\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 18 \\ 6 x - y = 16 \end{array}$ ，解方程组，得．

(2)、探索猜想：运用上述方法解下列方程组： ${\begin{array}{l} 3 (2 x + y) - 2 (x - 2 y) = 26 \\ 2 (2 x + y) + 3 (x - 2 y) = 13 \end{array}$ ．

(3)、拓展延伸：已知关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 3 \end{array}$ ，求关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} 2 a_{1} x + 3 b_{1} y = 5 c_{1} \\ 2 a_{2} x + 3 b_{2} y = 5 c_{2} \end{array}$ 的解．

查看试题解析
16. 阅读材料：
已知x²y=3，求2xy(x⁵y²-3x³y-4x)的值．
分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x²y=3整体代入．
解：2xy(x⁵y²-3x³y-4x)
=2x⁶y³-6x⁴y²-8x²y
=2(x²y)³-6(x²y)²-8x²y
=2×3³-6×3²-8×3
=54-54-24
=-24
你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！

(1)、已知ab=3，求(2a³b²-3a²b+4a)·(-2b)的值．

(2)、已知a²+a-1=0，求代数式a³+2a²+2021的值．

查看试题解析
17. 先阅读材料，再回答问题：
分解因式： $(a - b)^{2} - 2 (a - b) + 1$
解：设 $a - b = M$ ，则原式 $= M^{2} - 2 M + 1 = (M - 1)^{2}$
再将 $a - b = M$ 还原，得到：原式 $= (a - b - 1)^{2}$
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：

(1)、分解因式： $(x + y) (x + y - 4) + 4$

(2)、若 $a$ 为正整数，则 $(a - 1) (a - 2) (a - 3) (a - 4) + 1$ 为整数的平方，试说明理由.

查看试题解析
18. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组 ${\begin{cases} 2 x + 5 y = 3 ① \\ 4 x + 11 y = 5 ② \end{cases}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5，③
把方程①代人③得：2x3+y=5，∴y=-1．
把y=-1代人①得x=4，∴方程组的解为 ${\begin{cases} x = 4 \\ y = - 1 \end{cases}$
请你解决以下问题：

(1)、模仿小军的“整体代换"法解方程组 ${\begin{cases} 3 x - 2 y = 5 ① ， \\ 9 x - 4 y = 19 ② ． \end{cases}$

(2)、已知x，y满足方程组 ${\begin{cases} 3 x^{2} - 2 x y + 12 y^{2} = 47 ① ， \\ 2 x^{2} + x y + 8 y^{2} = 36 ② ． \end{cases}$
①求x²+4y²的值．
②求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y}$ 的值．

查看试题解析