命题新趋势4 整体思想——2024年浙教版数学七(下)期末复习
试卷更新日期:2024-06-02 类型:复习试卷
一、选择题
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1. 把(x-y)看作一个整体,下面计算正确的是( )A、 B、 C、 D、2. 解二元一次方程组 时,用代入消元法整体消去4x,得到的方程是( )
A、2y=-2 B、2y=-36 C、12y=-36 D、12y=-2二、填空题
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3. 把某个式子看成一个整体,用一个变量取代替它,从而使问题得到简化,这叫整体代换或换元思想,请根据上面的思想解决下面问题:若关于x,y的方程组 的解是 ,则关于x,y的方程组 的解是.4. 阅读感悟:有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的式子的值,如以下问题:
已知实数、满足 , , 求和的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得、的值再代入欲求值的整式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得整式的值,如由可得 , 由可得 . 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用上面的知识解答下列问题:
(1)、已知、满足方程组 , 则的值为 , 的值为;(2)、已知方程组的解是 , 则方程组的解是 .三、计算题
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5. 利用整体代入法解方程组: .6. 先阅读材料,后解方程组:
材料:解方程组 时,可由①得:x﹣y=1③,然后再将③代入②得4×1﹣y=5,求得y=﹣1,从而进一步求得: ,这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解下列方程组:
四、综合题
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7. 阅读以下材料:
解方程组: , 小阳在解决这个问题时,发现了一种新的方法,他把这种方法叫做“整体代入法”,解题过程如下:
解:由①得x+y=1③,将③代入②得:
(1)、请你替小阳补全完整的解题过程;(2)、请你用这种方法解方程组:.8. 你知道数学中的整体思想吗?解题中,若把注意力和着眼点放在问题的整体上,多方位思考、联想、探究,进行整体思考、整体加减,能使问题迅速获解.例题:已知x2+xy=4,xy+y2=-1.求代数式x2-y2的值.
解:将两式相减,得(x2+xy)-(xy+y2)=4-(-1),即x2-y2=5;请用整体思想解答下列问题:
(1)、在例题的基础上求(x+y)2的值;(2)、若关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程x+y=6的解,求k的值.9. 阅读感悟:有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:
已知实数x、y满足 ①, ②,求 和 的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由 可得 ,由 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题:
(1)、已知二元一次方程组 ,则 ;(2)、某班级组织活动购买小奖品,买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需元.(3)、对于实数x、y,定义新运算: ,其中a、b、c是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算,已知 , ,那么 .10. 把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫整体代换或换元思想,请根据上面的思想解决下面问题:若关于x、y的方程组 的解是 ,求关于x,y的方程组 的解.
五、实践探究题
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11. 在解方程组时,明明采用了一种“整体代换”的解法.
解:将方程②变形为4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5.③
把①代入③,得2×3+y=5,解得y=-1.
把y=-1代入①,得x=4,
∴方程组的解决为
请用“整体代换”法解下列方程组:
(1)、。(2)、12. 阅读材料:整体代换是一个重要的数学思想,有着广泛的应用.例如:计算4(a+b)-7(a+b)+(a+b)时可将(a+b)看成一个整体,合并同类项得-2(a+b),再利用分配律去括号得-2a-2b.同时,我们也知道,代数的基本要义就是用字母表示数,使之更具一般性.所以,在计算a(a+b)时,同样可以利用分配律得
解决问题:
(1)、请你尝试着把(a-2)或(b-2)看成整体,计算:(a-2)(b-2).(2)、如果两个数的乘积等于它们的和的两倍,那么我们称这两个数为“积倍和数对”,即:若ab=2(a+b),则a,b是一对“积倍和数对”,记为(a,b).例如:∵3×6=2(3+6),∴3和6是一对“积倍和数对”,记为(3,6).请你找出所有的a,b均为整数的“积倍和数对”
13. 善于思考的小明在解方程组时,采用了一种“整体代换”的思想,解法如下:解:将方程8x+22y=10变形为2(4x+10y)+2y=10.③
把方程①代入③,得2×6+2y=10,解得 y=-1.
把y=-1代入①,得x=4,
∴原方程组的解为
请你运用“整体代换”的思想解决下列问题:
(1)、解方程组(2)、已知x,y,z满足试求 z 的值.14. 阅读感悟:有些关于方程组的问题,需要求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:
已知实数x , y满足①,②,求和的值.
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得x , y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①-②可得 , 由①+②×2可得 . 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题:
(1)、已知二元一次方程组 , 则 , ;(2)、对于实数x , y , 定义新运算: , 其中a , b , c是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知 , , 那么求的值.15. 问题情境:小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题:解方程组: .
观察发现:如果用代入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,容易出错.如果把方程组中的看成一个整体,把看成一个整体,通过换元,可以解决问题.
(1)、设 , , 则原方程组可化为 , 解关于m , n的方程组,得 , 所以 , 解方程组,得 .(2)、探索猜想:运用上述方法解下列方程组: .(3)、拓展延伸:已知关于x , y的二元一次方程组的解为 , 求关于x , y的方程组的解.16. 阅读材料:已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.
分析:考虑到x,y的可能值较多,不能逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入.
解:2xy(x5y2-3x3y-4x)
=2x6y3-6x4y2-8x2y
=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y
=2×33-6×32-8×3
=54-54-24
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你能用上述方法解决以下问题吗?试一试!
(1)、已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.(2)、已知a2+a-1=0,求代数式a3+2a2+2021的值.17. 先阅读材料,再回答问题:分解因式:
解:设 , 则原式
再将还原,得到:原式
上述解题中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想,请你用整体思想解决下列问题:
(1)、分解因式:(2)、若为正整数,则为整数的平方,试说明理由.18. 阅读材料:善于思考的小军在解方程组时,采用了一种“整体代换”的解法:解:将方程②变形:4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5,③
把方程①代人③得:2x3+y=5,∴y=-1.
把y=-1代人①得x=4,∴方程组的解为
请你解决以下问题:
(1)、模仿小军的“整体代换"法解方程组(2)、已知x,y满足方程组①求x2+4y2的值.
②求的值.