命题新趋势4 整体思想——2024年浙教版数学七(下)期末复习

试卷更新日期:2024-06-02 类型:复习试卷

一、选择题

  • 1. 把(x-y)看作一个整体,下面计算正确的是(   )
    A、(xy)2(yx)3=(xy)5 B、(xy)5(yx)3=(xy)7 C、(xy)(yx)3(xy)2=(xy)6 D、(yx)(yx)2(yx)3=(xy)6
  • 2. 解二元一次方程组 {4x+5y=174x+7y=19 时,用代入消元法整体消去4x,得到的方程是(    )
     
    A、2y=-2 B、2y=-36 C、12y=-36 D、12y=-2

二、填空题

  • 3. 把某个式子看成一个整体,用一个变量取代替它,从而使问题得到简化,这叫整体代换或换元思想,请根据上面的思想解决下面问题:若关于x,y的方程组 {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 的解是 {x=6y=2 ,则关于x,y的方程组 {3a1(x+y)+2b1(xy)=5c13a2(x+y)+2b2(xy)=5c2 的解是.
  • 4. 阅读感悟:有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的式子的值,如以下问题:

    已知实数xy满足3xy=52x+3y=7 , 求x4y7x+5y的值.

    本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得xy的值再代入欲求值的整式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得整式的值,如由可得x4y=2 , 由+×2可得7x+5y=19 . 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用上面的知识解答下列问题:

    (1)、已知xy满足方程组{x+2y=92x+y=6 , 则xy的值为x+y的值为
    (2)、已知方程组{2m3n=23m+5n=35的解是{m=5n=4 , 则方程组{2(x+2)3(y1)=23(x+2)+5(y1)=35的解是

三、计算题

  • 5. 利用整体代入法解方程组: {x323y=02(x3)11=2y
  • 6. 先阅读材料,后解方程组:

    材料:解方程组 {xy1=04(xy)y=5 时,可由①得:x﹣y=1③,然后再将③代入②得4×1﹣y=5,求得y=﹣1,从而进一步求得: {x=0y=1 ,这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解下列方程组: {2x3y2=02x3y+57+2y=9

四、综合题

  • 7. 阅读以下材料:

    解方程组:{x+y1=03(x+y)+y=2 , 小阳在解决这个问题时,发现了一种新的方法,他把这种方法叫做“整体代入法”,解题过程如下:

    解:由①得x+y=1③,将③代入②得:

    (1)、请你替小阳补全完整的解题过程;
    (2)、请你用这种方法解方程组:{3xy+1=06x2y+23+2y=4.
  • 8. 你知道数学中的整体思想吗?解题中,若把注意力和着眼点放在问题的整体上,多方位思考、联想、探究,进行整体思考、整体加减,能使问题迅速获解.

    例题:已知x2+xy=4,xy+y2=-1.求代数式x2-y2的值.

    解:将两式相减,得(x2+xy)-(xy+y2)=4-(-1),即x2-y2=5;请用整体思想解答下列问题:

    (1)、在例题的基础上求(x+y)2的值;
    (2)、若关于x、y的二元一次方程组 {4x+y=10kx2y=4k 的解也是二元一次方程x+y=6的解,求k的值.
  • 9. 阅读感悟:

    有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:

    已知实数x、y满足 3xy=5 ①, 2x+3y=7 ②,求 x4y7x+5y 的值.

    本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由 可得 x4y=2 ,由 +×2 可得 7x+5y=19 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.

    解决问题:

    (1)、已知二元一次方程组 {2x+y=7x+2y=8 ,则 xy=
    (2)、某班级组织活动购买小奖品,买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需元.
    (3)、对于实数x、y,定义新运算: x*y=ax+by+c ,其中a、b、c是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算,已知 3*5=154*7=28 ,那么 1*1= .
  • 10. 把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫整体代换或换元思想,请根据上面的思想解决下面问题:

    若关于x、y的方程组 {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 的解是 {x=6y=2 ,求关于x,y的方程组 {3a1x+y+2b1xy=5c13a2x+y+2b2xy=5c2 的解.

五、实践探究题

  • 11. 在解方程组2x+5y=34x+11y=5时,明明采用了一种“整体代换”的解法.

    解:将方程②变形为4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5.③

    把①代入③,得2×3+y=5,解得y=-1.

    把y=-1代入①,得x=4,

    ∴方程组的解决为x=4y=-1.

    请用“整体代换”法解下列方程组:

    (1)、4x-3y=68x-7y=18
    (2)、2x+3+2y-1=114x+3-32y-1=17.
  • 12. 阅读材料:

    整体代换是一个重要的数学思想,有着广泛的应用.例如:计算4(a+b)-7(a+b)+(a+b)时可将(a+b)看成一个整体,合并同类项得-2(a+b),再利用分配律去括号得-2a-2b.同时,我们也知道,代数的基本要义就是用字母表示数,使之更具一般性.所以,在计算a(a+b)时,同样可以利用分配律得a2+ab

    解决问题:

    (1)、请你尝试着把(a-2)或(b-2)看成整体,计算:(a-2)(b-2).
    (2)、如果两个数的乘积等于它们的和的两倍,那么我们称这两个数为“积倍和数对”,即:若ab=2(a+b),则a,b是一对“积倍和数对”,记为(a,b).例如:∵3×6=2(3+6),∴3和6是一对“积倍和数对”,记为(3,6).

    请你找出所有的a,b均为整数的“积倍和数对”

  • 13. 善于思考的小明在解方程组4x+10y=68x+22y=10时,采用了一种“整体代换”的思想,解法如下:

    解:将方程8x+22y=10变形为2(4x+10y)+2y=10.③

    把方程①代入③,得2×6+2y=10,解得 y=-1.

    把y=-1代入①,得x=4,

    ∴原方程组的解为x=4y=-1.

    请你运用“整体代换”的思想解决下列问题:

    (1)、解方程组2x-3y=76x-5y=25
    (2)、已知x,y,z满足3x-2z+12y=47x+z+4y=19试求 z 的值.
  • 14. 阅读感悟:

    有些关于方程组的问题,需要求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:

    已知实数xy满足3xy=5①,2x+3y=7②,求x4y7x+5y的值.

    本题常规思路是将①②两式联立组成方程组,解得xy的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值,如由①-②可得x4y=2 , 由①+②×2可得7x+5y=19 . 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.

    解决问题:

    (1)、已知二元一次方程组{2x+3y=173x+2y=13 , 则xy=x+y=
    (2)、对于实数xy , 定义新运算:x*y=axby+c , 其中abc是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5=154*7=28 , 那么求1*1的值.
  • 15. 问题情境:小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题:

    解方程组:{4x+3y3+6xy8=84x+3y6+6xy2=11

    观察发现:如果用代入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,容易出错.如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体,把(6xy)看成一个整体,通过换元,可以解决问题.

    (1)、设4x+3y=m6xy=n , 则原方程组可化为 , 解关于mn的方程组,得{m=18n=16 , 所以{4x+3y=186xy=16 , 解方程组,得
    (2)、探索猜想:运用上述方法解下列方程组:{3(2x+y)2(x2y)=262(2x+y)+3(x2y)=13
    (3)、拓展延伸:已知关于xy的二元一次方程组{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为{x=4y=3 , 求关于xy的方程组{2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解.
  • 16. 阅读材料:

    已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.

    分析:考虑到x,y的可能值较多,不能逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入.

    解:2xy(x5y2-3x3y-4x)

    =2x6y3-6x4y2-8x2y

    =2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y

    =2×33-6×32-8×3

    =54-54-24

    =-24

    你能用上述方法解决以下问题吗?试一试!

    (1)、已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.
    (2)、已知a2+a-1=0,求代数式a3+2a2+2021的值.
  • 17. 先阅读材料,再回答问题:

    分解因式:(ab)22(ab)+1

    解:设ab=M , 则原式=M22M+1=(M1)2

    再将ab=M还原,得到:原式=(ab1)2

    上述解题中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想,请你用整体思想解决下列问题:

    (1)、分解因式:(x+y)(x+y4)+4
    (2)、若a为正整数,则(a1)(a2)(a3)(a4)+1为整数的平方,试说明理由.
  • 18. 阅读材料:善于思考的小军在解方程组{2x+5y=34x+11y=5时,采用了一种“整体代换”的解法:

    解:将方程②变形:4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5,③

    把方程①代人③得:2x3+y=5,∴y=-1.

    把y=-1代人①得x=4,∴方程组的解为{x=4y=1

    请你解决以下问题:

    (1)、模仿小军的“整体代换"法解方程组{3x2y=59x4y=19
    (2)、已知x,y满足方程组{3x22xy+12y2=472x2+xy+8y2=36

    ①求x2+4y2的值.

    ②求1x+12y的值.