2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破24 反比例函数与一次函数综合

试卷更新日期：2024-06-01 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C(点C在原点的右侧)，并分别与直线y=x和双曲线y= $\frac{2}{x}$ 相交于点A，B，且AC+BC=4，则△OAB的面积为（）

A、2+ $\sqrt{2}$ 或2- $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ +2或2 $\sqrt{2}$ -2 C、2- $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$ +2

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2. 如图，反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} \neq 0)$ 和正比例函数 $y_{2} = k_{2} x (k_{2} \neq 0)$ 的图象相交于A(-1，-3)，B(1，3)两点.若 $\frac{k_{1}}{x} > k_{2} x ，$ 则x的取值范围是（）

A、 $-$ 1<x<0 B、 $-$ 1<x<1 C、x< $-$ 1或0<x<1 D、 $-$ 1<x<0或x>1

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3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，点D的坐标为(4，3).若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，则当菱形的顶点D落在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上时，菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为（）

A、3 B、5 C、 $\frac{20}{3}$ D、8

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4. 如图，一次函数y=ax+b(a≠0)与反比例函数y $= \frac{k}{x} (k⟩ 0)$ 的图象相交于点A(1，2)，B(m，-1)，则关于x的不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解是（）

A、x<-2或0<x<1 B、x<-1或0<x<2 C、-2<x<0或x>1 D、-1<x<0或x>2

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5. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，及函数 $y_{1} = \frac{a}{x}$ ， $y_{2} = c x + b$ （a，b，c为常数，且 $a c \neq 0$ ），则（）

A、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有解，则函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象一定有交点 B、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有解，则函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象一定没有交点 C、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无解，则函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象一定有交点 D、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无解，则函数 $y_{1} ， y_{2}$ 的图象一定没有交点

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6. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图像上有两个点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) < 0$ ，则 $y = k x - k$ 的图像不经过第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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7. 如图，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作 $A E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，交 $O B$ 于点 $F$ ．设点A的横坐标为 $m$ ．若 $S_{△ O A F} + S_{四边形 E F B C} = 4$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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二、填空题

8. 如图，在平面直角坐标系中，直线y₁=k₁x+b与双曲线y₂= $\frac{k_{2}}{x}$ (其中k₁ ， k₂≠0)相交于A(-2，3)，B(m，-2)两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是

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9. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，已知点A(1，m)，C(3，m+6)，则图象同时经过点B与点D的反比例函数的表达式为.

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10. 若在反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x}$ 的图象的每一分支上，y都随x的增大而减小，且整式 $x^{2} - k x + 4$ 是一个完全平方式，则该反比例函数的表达式为.

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11. 如图，正比例函数：y=ax(a≠0)的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象相交于点A，B.若点A的坐标为( $-$ 2，3)，则点B的坐标为.

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12. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ ( $k_{1}$ 和 $b$ 均为常数且 $k_{1} > 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2}$ 为常数且 $k_{2} < 0)$ 的图象交于A，B两点，其横坐标分别为1和2.5，则关于 $x$ 的不等式 $\frac{k_{2}}{x} - k_{1} x - b > 0$ 的解集是.

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13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx(k <0)与反比例函数 $y = \frac{n}{x} (n \neq 0)$ 的图象相交于A，C两点，D为x轴负半轴上一点，连结CD 并延长，交反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象于点B.若CB =2CD，△CDO的面积为1，则m-n=.

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三、综合题

14. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = x + 1$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x} (a \neq 0)$ 的图象交于点 $A (2 ， m)$ 和点 $B$ ，与 $x$ 轴交于点 $D$ ，

(1)、求 $a ， m$ 的值及点 $B$ 的坐标；

(2)、写出 $x + 1 - \frac{a}{x} \leq 0$ 时 $x$ 的取值范围；

(3)、 $P$ 是 $x$ 轴上一点，且满足 $△ P A B$ 的面积等于 $5$ .求点 $P$ 坐标.

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15. 如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数 $y_{1} = \frac{m}{x}$ 与 $y_{2} = \frac{n}{x} (x > 0，0 < m < n)$ 的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.

(1)、当m=4，n=20时，
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式.
②若P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由.

(2)、四边形ABCD能否为正方形?若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由.

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16. 已知一次函数y=2x-1和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象的一个交点的坐标为(1，a).

(1)、求反比例函数的表达式.

(2)、若这两个函数图象的另一个交点为A，求点A的坐标.

(3)、在(2)的条件下，若点B的坐标为(2，0)，且以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 的图象与坐标轴分别相交于A(5，0)，B.(0， $\frac{5}{2}$ )两点，且与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象在第一象限内相交于P，K两点，连结OP，△OAP的面积为 $\frac{5}{4}$ .

(1)、求一次函数与反比例函数的表达式.

(2)、当y₂>y₁时，求x的取值范围.

(3)、若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC的值最小时，求△PKC的面积.

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18. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y =ax+b(a≠0)的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k$ ≠0)的图象相交于 P，Q两点，点 P(-4，3)，点 Q 的纵坐标为-2.求：

(1)、反比例函数与一次函数的表达式.

(2)、△POQ的面积.

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19. 已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象相交于点A(1，m)，B(n，-2).

(1)、求一次函数的表达式，并在如图所示的直角坐标系中画出这个一次函数的图象.

(2)、根据(1)中的函数图象，直接写出不等式 $k x + b > \frac{4}{x}$ 的解.

(3)、若点 C 是点 B 关于 y 轴的对称点，连结AC，BC，求△ABC的面积.

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20. 如图，菱形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在 $x$ 轴上，点A的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点 $D (4 ， 4)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，直线 $y = \frac{2}{3} x + b$ 经过点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，连接 $A C 、 A E$ ．

(1)、求 $k 、 b$ 的值．

(2)、求 $△ A C E$ 的面积．

(3)、已知点 $M$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $M$ 的横坐标为 $m$ ．若 $S_{△ M A E} > S_{△ A C E}$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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21. 如图，正比例函数 $y = - \frac{2}{3} x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象都经过点 A(a，2).

(1)、求点 A 的坐标和反比例函数的表达式.

(2)、若点 P(m，n)在该反比例函数的图象上，且它到 y轴的距离小于 3，请根据图象直接写出 n的取值范围.

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22. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(-1，6)，B( $\frac{3}{a}$ ， a-3)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．

(1)、求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)、点M在x轴上，若S_△_O_AM=S_△_O_AB ，求点M的坐标．

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23. 设函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ 函数 $y_{2} = k_{2} x + b$ （k₁、k₂、b是常熟，k₁≠0，k₂≠0）.

(1)、若函数y₁和函数 y₂的图象相交于点 A (1，m)，B(3，1)，
①求函数 y₁，y₂ 的表达式.
②当2<x<3时，比较 y₁ 与y₂的大小（直接写出结果）.

(2)、若点 C（2，n）在函数 y₁ 的图像上，点 C 先向下平移 2个单位，再向左平移4 个单位，得点D.若点 D 恰好落在函数 y₁ 的图像上，求 n 的值.

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四、实践探究题

24. 阅读材料：
已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝ $\frac{4}{x}$ （x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围.

(1)、方方给出了下列解答：
﹣x+b＝ $\frac{4}{x}$

x²﹣bx+4＝0

∵两个函数有交点

∴△＝b²﹣16≥0

但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b²﹣16≥0这个不等式；

此时，圆圆提供了另一种解题思路；

第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝ ▲ ；

第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；

第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是 ▲ .

应用：

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S_△ABC＝12.

(2)、求y关于x的函数表达式；

(3)、设x+y＝m，求m的取值范围.

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