2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破23 反比例函数k的几何意义

试卷更新日期：2024-06-01 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，两个反比例函数y= $\frac{4}{x}$ 和y= $\frac{2}{x}$ 在第一象限内的图象分别是C₁和C₂ ，设点P在C₁上，PA⊥x轴于A，交C₂于点B，则△POB的面积为（）

A、1 B、2 C、4 D、无法计算

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2. 如图，A，B两点在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图像上，分别过 A，B两点向坐标轴作垂线段，已知 S_阴影=1 ，则 S₁+S₂的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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3. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱OBAD的顶点 B 在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，顶点 A 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，顶点 D在x轴的负半轴上.若▱OBAD 的面积是5，则k的值为（）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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4. 如图，正方形 ABCD的顶点分别在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ （k₁＞0）和 $y = \frac{k_{2}}{x}$ （k₂＞0）的图象上.若 BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k₁+k₂等于（）

A、36 B、18 C、12 D、9

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5. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ k ＞ 0 ， x > 0 ）$ 的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点 D.若矩形 OABC 的面积为8，则k的值为（）

A、1 B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{5}$

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6. 如图， ▱ ABCD的顶点A 在x轴上，点 D在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k> 0 ， x > 0)$ 的图象上，且 AD ⊥x轴.若 CA 的延长线交 y 轴于点 E，S_△ABE= $\frac{3}{2}$ ，则 k的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，过点 M 的直线l∥y轴，且分别与反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 和 $y = \frac{k}{x}$ （x＞0，k≠0）的图象相交于 P，Q两点.若 $S_{F O Q} = 15$ ，则 k 的值为（）

A、38 B、22 C、-7 D、-22

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8. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图像经过 Rt△OAB斜边OA 的中点 D，且与直角边AB 相交于点 C.若点 A 的坐标为(-8，6)，点B 在x轴的负半轴上，则△AOC的面积为（）

A、20 B、18 C、16 D、12

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9. 若图中反比例函数的表达式均为 $y = \frac{4}{x} ，$ 则阴影部分面积为 2的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，A是反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x⟩ 0)$ 的图象上任意一点，AB∥x轴，交反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ 的图象于点B，以AB为边作□ABCD，其中点C，D在x轴上，则 S▱ABCD等于（）

A、2.5 B、3 C、5 D、6

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二、填空题

11. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $O A B C$ 是矩形，点 $A ， C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上，点 $B$ 在函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ （ $k > 2 ， x > 0$ ) 的图象上，边 $A B$ 与函数 $y_{2} = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点 D，则阴影部分ODBC的面积为(结果用含k 的代数式表示).

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12. 如图，Rt△OAB的直角顶点A在y轴上，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k>0，x>0）的图象过线段OB的中点D交线段AB于点C，连结CD，若△BCD的面积为3，则k的值等于．

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13. 如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y= $\frac{k_{1}}{x}$ (k₁>0)和y= $\frac{k_{2}}{x}$ (k₂>0)的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k₁+k₂= ．

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14. 如图，点A，B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC.若四边形AOBC的面积为6， $\frac{A D}{A C} = \frac{1}{2} ，$ 则k的值为.

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15. 如图，点 P，Q，R 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k＞0，x>0)的图象上，分别过这三个点作 x轴、y轴的平行线.图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S₁，S₂，S₃.若 OE=ED=DC，S₁ +S₃=27 ，则 S₂ 的值为.

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16. 如图，函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x⟩ 0)$ 的图象经过矩形OBCD一边的中点，且矩形OAPE 的顶点P 也在这个反比例函数的图象上，若阴影部分的面积为6，则k的值为.

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三、解答题

17. 如图是反比例函数y= $\frac{2}{x}$ 与反比例函数y= $\frac{4}{x}$ 在第一象限中的图象，点P是y= $\frac{4}{x}$ 图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交函数y= $\frac{2}{x}$ 的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交函数y= $\frac{2}{x}$ 的图象于点D，点D的横坐标为a．

(1)、用字母a表示点P的坐标；

(2)、求四边形ODPC的面积；

(3)、连结DC，其延长线交x轴于点E，连结DA，PE，求证：四边形DAEP是平行四边形

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18. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(-1，6)，B( $\frac{3}{a}$ ， a-3)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．

(1)、求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)、点M在x轴上，若S_△_O_AM=S_△_O_AB ，求点M的坐标．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (x>0)的图象上，点D的坐标为(4，3)．

(1)、求k的值．

(2)、若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．
①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；
②在平移过程中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．

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四、综合题

20. 如图，正比例函数 $y_{1} = - 3 x$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于A，B两点.点 $C$ 在 $x$ 轴负半轴上， $A C = A O ， △ A C O$ 的面积为12.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、根据图象，当 $y_{1} > y_{2}$ 时，写出 $x$ 的取值范围.

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21. 已知点A在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）的图像上，Rt△OAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，直角边AC⊥x轴，交x轴于点，把Rt△OAC绕AC中点M逆时针旋转180°，得到△BCA ，四边形OABC的面积为4 $\sqrt{3}$ ，边BC与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）图象交于点E ．

(1)、求该反比例函数的表达式．

(2)、当∠AOC＝60°时，求点E的坐标．

(3)、若直线y＝mx+2与y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）有2个交点．求m的取值范围。

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22. 如图，已知点A（2，m）是反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连结OA，△ABO的面积为6.

(1)、求k和m的值；

(2)、直线y＝2x+a（a≤0）与直线AB交于点C与反比例函数图象交于点E，F；
①若a＝0，已知E（p，q），则F的坐标为▲（用含p，q的坐标表示）；

②若a＝﹣2.求AC的长.

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23. 如图所示，点 $A$ 是反比例函数 $y_{1} = \frac{2}{x} (x > 0)$ 图象上的任意一点，过点 $A$ 作 $A B / / x$ 轴，交另一个反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 的图象于点 $B$ .

(1)、若 $S_{△ A O B} = 3$ ，则 $k =$ ；

(2)、当 $k = - 8$ 时，若点 $A$ 的横坐标是1，求 $∠ A O B$ 的度数；

(3)、若无论点 $A$ 在何处，反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 图象上总存在一点 $D$ ，使得四边形AOBD为平行四边形，求 $k$ 的值.

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24. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+5与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象相交于点A（3，a）和点B（b ， 3），点D ， C分别是x轴和y轴的正半轴上的动点，且满足
CD∥AB.

(1)、求a ， b的值及反比例函数的解析式；

(2)、若OD=1，求点C的坐标，判断四边形ABCD的形状并说明理由；

(3)、若点M是反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）图象上的一个动点，当△AMD是以AM为直角边的等腰直角三角形时，求点M的坐标.

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25. 如图，点 $A$ 、 $B$ 分别在反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 和 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 的图象上，线段 $A B$ 与 $x$ 轴相交于点 $P$ ．

图① 图②

(1)、如图①，若 $A B ⊥ x$ 轴，且 $| A P | = 2 | P B |$ ， $k_{1} + k_{2} = 1$ ．求 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 的值；

(2)、如图②，若点 $P$ 是线段 $A B$ 的中点，且 $△ O A B$ 的面积为2．求 $k_{1} - k_{2}$ 的值．

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26. 如图，点 $A$ 是函数 $y_{1} = \frac{4}{x} (x > 0)$ 图像上的任意一点，过点 $A$ 作AB $∥$ x轴，交另一个函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 的图像于点 $B$ ．

(1)、若 $S_{△ A O B} = 5$ ，则k= ．

(2)、当 $k = - 8$ 时，若点 $A$ 的横坐标是1，则线段 $O B =$ ．

(3)、若无论点 $A$ 在何处，函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 图像上总存在一点 $D$ ，使得四边形 $A O B D$ 为平行四边形，求 $k$ 的值．

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五、实践探究题

27. 【提出定义】已知y是x的函数，当 $x = m$ 时，函数值 $y = p$ ；当 $x = n$ 时，函数值 $y = q$ ，若 $q = i p$ （i为正整数），则称 $m \leq x \leq n$ 为该函数的i倍区间．如，函数 $y = - x - 2$ 中，当 $x = 2$ 时， $y = - 4$ ，当 $x = 10$ 时， $y = - 12$ ， $- 12 = 3 \times (- 4)$ ，所以 $2 \leq x \leq 10$ 是函数 $y = - x - 2$ 的3倍区间．

(1)、【理解内化】
若 $- 6 \leq x \leq - 3$ 是函数 $y = \frac{6}{x}$ 的i倍区间，则 $i =$ ；

(2)、已知 $m \leq x \leq n$ 是函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）的i倍区间（i为正整数），点 $A (m ， p)$ 、 $B (n ， q)$ 是函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）图象上的两点．
①试说明： $n ＜ 0$ ；
②当 $k = 4$ ， $i = 2$ 时，求 $△ O A B$ 的面积；

(3)、【拓展应用】
已知 $a \leq x \leq a + 4$ 是函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为 $\frac{5}{2}$ ，求a、k的值．

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