2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破20图形变换（1）：折叠问题

试卷更新日期：2024-06-01 类型：复习试卷

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一、矩形的折叠问题

1. 如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C^'处，BC^'交AD于E ， AD＝8，AB＝4，则重叠部分（即 $△ B D E$ ）的面积为（）

A、6 B、7.5 C、10 D、20

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2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 4$ ，将矩形沿 $B D$ 折叠，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，则重叠部分 $Δ D E B$ 的面积为（）

A、10 B、12 C、16 D、20

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3. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后点 $D$ 与 $B$ 重合.若原矩形的长宽之比为 $3 : 1$ ，则 $\frac{A E}{B F}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 上一点，将矩形的一角沿 $C E$ 向上折叠，点 $B$ 的对应点 $F$ 恰好落在边 $A D$ 上．若 $△ A E F$ 的周长为6， $△ C D F$ 的周长为12，则 $A F$ 的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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5. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为.

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6. 如图，将长宽比为 $3 ： 2$ 的矩形 $A B C D$ 沿着 $E F$ 折叠，使点C落到宽 $A D$ 上点 $C^{'}$ 处，点B落到点 $B^{'}$ 处，且满足 $A C^{'} = C^{'} F$ ，则 $\frac{A C^{'}}{A D} =$ ．

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 3$ ， $A B = 5$ ，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将 $△ P B C$ 沿 $P C$ 翻折得到 $△ P E C$ ，将 $△ P A Q$ 沿 $P Q$ 翻折得到 $△ P F Q$ 在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线， $C F = \sqrt{10}$ 时， $A P =$ ．

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8. 如图，矩形纸片ABCD中， $A B = 6 ， A D = 8 ， E$ 是AD上一点，将 $△ C D E$ 沿CE对折得到 $△ C F E$ ，延长CF交AB于点 $G$ ，恰有 $G B = G F$ ，则AE的长为.

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9. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使点D落在点B处，点C落在点 $C^{'}$ 处，P为折痕 $E F$ 上的任意一点，过点P作 $P G ⊥ B E$ ， $P H ⊥ B C$ ，垂足分别为G，H．若 $A D = 13$ ， $C F = 5$ ，
则

(1)、 $A E =$ ；

(2)、则 $P G + P H =$ ．

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10. 如图，在矩形纸片 ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交AD 于点 F.

(1)、求证：△AEF≌△CDF.

(2)、求 DF 的长.

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11. 如图1，在矩形ABCD中， $A B = 6 ， B C = 8$ ，点E，F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点 $B$ 落在CD边上的 $B^{^{'}}$ 处，点 $A$ 落在 $A^{^{'}}$ 处，连接 $B B^{^{'}}$ .

(1)、如图2，若点 $B^{^{'}}$ 与点 $D$ 重合，连接EB
①请你判断四边形 $E B F B'$ 的形状，并证明；
②求 $E F$ 的长；

(2)、如图3，P为 $A' B'$ 中点，连接BP.
①当 $C B^{^{'}}$ =2时，求BP的长；

②直接写出BP的取值范围.

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12.

(1)、【猜想证明】
如图1，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN，MN.观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明.

(2)、【拓展延伸】
在(1)的基础上，再沿 MN 所在的直线折叠，点 B落在AD 上的点B'处，得到折痕MG，同时得到线段 B'G，展开如图2.猜想四边形MBGB'的形状，并证明.

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13. [探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
[动手操作]如图①，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'．请完成：

(1)、观察图①中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；

(2)、证明(1)中的猜想；

(3)、[类比操作]如图②，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接BB'，P'B'．请完成：
求证：BB'是∠NBC的一条三等分线．

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14. 如图，已知矩形纸片 $A B C D$ ， $A B = a$ ， $B C = b$ （ $a > b$ ）．

(1)、如图1，将矩形纸片 $A B C D$ 沿过点D的直线折叠，使点A落在 $C D$ 边上的点 $A^{'}$ 处，折痕 $D E$ 交边 $A B$ 于点E．求证：四边形 $A E A^{'} D$ 是正方形．

(2)、将图1中的矩形纸片 $A B C D$ 沿过点E的直线折叠，使点C落在 $A D$ 边上的点 $C^{'}$ 处，点B落在点 $B^{'}$ 处，折痕 $E F$ 交边 $D C$ 于点F，连结 $E C^{'}$ ，如图2，
①求证： $A C^{'} = B^{'} E$ ．
②若 $a = 8$ ， $b = 6$ ，求折痕 $E F$ 的长．
③当 $△ E F C^{'}$ 为等腰三角形时，直接写出a，b之间应满足的数量关系．

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二、菱形的折叠问题

15. 如图，将菱形 $A B C D$ 沿 $A E$ 折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设 $∠ A B E = α$ ， $∠ B A E = β$ ， $∠ C = γ$ ，则关系正确的是（）

A、 $γ = α + 2 β - 180 °$ B、 $3 β + γ = 180 °$ C、 $3 α + 2 β = 360 °$ D、 $2 α + γ = 180 °$

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16. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC'的大小为（）

A、20° B、25° C、30° D、35°

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17. 如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABE沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：
①若∠A=70°，则∠ABE=35°；②若点F是CD的中点，则S_△_ABE $= \frac{1}{3}$ S_菱形_ABCD

下列判断正确的是（）

A、①，②都对 B、①，②都错 C、①对，②错 D、①错，②对

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18. 如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC，②MN=AM.下列说法正确的是（）

A、①②都错 B、①对②错 C、①错②对 D、①②都对

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19. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， M为边 $A B$ 上的一点，将菱形沿 $D M$ 折叠后，点A恰好落在 $B C$ 的中点E处，则 $A M =$ ．

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20. 如图1，菱形纸片ABCD的边长为6cm，∠ABC＝60°，将菱形ABCD沿EF，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线BD上的点P（如图2）.若AE＝2BE，则六边形AEFCHG的面积为cm² ．

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21. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为.

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22. 对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B'两点重合，MN是折痕．若B'M=1，求CN的长．

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23. 如图，菱形ABCD中，E是AD上的点，沿BE折叠OABE，点A恰好落在BD上的点F处，连结CF，若∠DFC=110°，求∠BAD的度数．

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24. 如图矩形OABC的顶点A，C在x，y轴正半轴上，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (x>0)过OB的中点D，与BC，AB交于M，N，且已知D(m，2)，N(8，n)

(1)、求此反比例函数的解析式；

(2)、若将矩形一角折叠，使点O与点M重合，折痕为PQ，求点P的坐标；

(3)、如图2，若将△OQM沿OM向左翻折，得到菱形OQMR，将该菱形沿射线OB以每秒 $\sqrt{5}$ 个单位向上平移t秒。
①用t的代数式表示O'和R'的坐标；

②要使该菱形始终与反比例函数图象有交点，求t的取值范围。

(4)、求此反比例函数的解析式；

(5)、若将矩形一角折叠，使点O与点M重合，折痕为PQ，求点P的坐标；

(6)、如图2，若将△OQM沿OM向左翻折，得到菱形OQMR，将该菱形沿射线OB以每秒 $\sqrt{5}$ 个单位向上平移t秒。
①用t的代数式表示O'和R'的坐标；

②要使该菱形始终与反比例函数图象有交点，求t的取值范围。

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25. 已知：如图，将矩形纸片 $A B C D$ 的两个角分别沿 $B E$ ， $D F$ 向内折起，恰好使点A和点C落在对角线BD上同一点O处．

(1)、判断四边形 $B F D E$ 的形状，并说明理由；

(2)、若 $A B = 1$ ，求四边形 $B F D E$ 的面积．

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26. 将一个直角三角形纸片 $A B O$ 放置在平面直角坐标系中，已知点 $A (\sqrt{3} ， 0)$ ，点 $B (0 ， 1)$ ，点 $O (0 ， 0)$ .P是边 $A B$ 上的一动点（点P不与点A、B重合），沿着 $O P$ 折叠该纸片，得点A的对应点 $A'$ .

(1)、如图1，当点 $A'$ 在第一象限，且满足 $A' B ⊥ O B$ 时，求点 $A'$ 的坐标；

(2)、如图2，当P为 $A B$ 中点时，求 $A' B$ 的长；

(3)、当 $∠ B P A' = 30 °$ 时，直接写出点P的坐标.

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三、正方形的折叠问题

27. 如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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28. 如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线 $A C$ 上再展开，折痕所成四边形 $A E C F$ 即为菱形），已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，则菱形 $A E C F$ 的面积为（）.

A、 $4 \sqrt{2} - 4$ B、 $8 - 4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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29. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上的一点，把△ABE沿BE翻折到△FBE，若 $∠ D F C = 90 °$ ，则DF的长为（）

A、2 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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30. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{7}{10}$

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31. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为边 $B C$ 上一点，将 $Δ A B E$ 沿 $A E$ 折叠至 $Δ A B' E$ 处， $B' E$ 与 $A C$ 交于点F，若 $∠ E F C = 69^{°}$ ，则 $∠ C A E$ 的大小为（）

A、 $10^{°}$ B、 $12^{°}$ C、 $14^{°}$ D、 $15^{°}$

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32. 如图，将边长为 6 cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点 D 落在AB边的中点 E 处，点 C 落在点Q处，折痕为 FH，则线段 AF的长为cm.

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33. 如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(点A，C都落在点G处).若GF=4，EG=6，则DG的长为.

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34. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A D = 2$ ，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，连结 $C E$ ，则 $C E =$ ；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，连结EF，则 $S_{△ C E F} =$ ．

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35. 如图，在正方形ABCD中，点M是AB边上的中点，将正方形ABCD沿DM折叠，使点A落在点E处，延长ME交BC于点N，连结DN．

(1)、求证：Rt△CDN≌Rt△EDN；

(2)、求∠MDN的度数；

(3)、若AB=12，求BN的长．

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36. 如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点(不与点A，D重合) ，将正方形纸片沿EF折叠使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，连结BP．

(1)、求证：∠APB=∠BPH．

(2)、若P为AD中点，求四边形EFGP的面积

(3)、当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．

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37. 如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF.若AD=4 cm，求CF的长.

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38. 如图，边长为2的正方形纸片ABCD中，点M为边CD上一点（不与C，D重合），将△ADM沿AM折叠得到△AME，延长ME交边BC于点N，连结AN.

(1)、猜想∠MAN的大小是否变化，并说明理由；

(2)、如图1，当N点恰为BC中点时，求DM的长度；

(3)、如图2，连结BD，分别交AN，AM于点Q，H.若BQ＝ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求线段QH的长度.

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39. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽 $A D = 6$ ．

(1)、动手实践：如图1，A小组将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，点D落在 $A B$ 边上的点E处，折痕为 $A F$ ，连接 $E F$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $A E F D$ ．试判断四边形 $A E F D$ 的形状，并加以证明．

(2)、如图2，B小组将矩形纸片 $A B C D$ 对折使 $A B$ 与 $D C$ 重合，展平后得到折痕 $P Q$ ，再次过点A折叠使点D落在折痕 $P Q$ 上的点N处，得到折痕 $A M$ ，连结 $M N$ ，展平后得到四边形 $A N M D$ ，请求出四边形 $A N M D$ 的面积．

(3)、深度探究：
如图 3，C小组将图1中的四边形 $E F C B$ 剪去，然后在边 $A D ， E F$ 上取点G，H，将四边形 $A E F D$ 沿 $G H$ 折叠，使A点的对应点 $A^{'}$ 始终落在边 $D F$ 上（点 $A^{'}$ 不与点D，F重合），点E落在点 $E^{'}$ 处， $A^{'} E^{'}$ 与 $E F$ 交于点T．
探究①当 $A^{'}$ 在 $D F$ 上运动时， $△ F T A^{'}$ 的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．

探究②直接写出四边形 $G A E H$ 面积的最小值．

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40. 如图，在△ABC中，已知∠BAC =45°，AD⊥BC于点 D，BD=2，DC=3，求AD 的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：

(1)、分别以 AB，AC 为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点 D 的对称点分别为E，F，延长 EB，FC相交于点G.求证：四边形AEGF 是正方形.

(2)、设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x的方程，求出 AD的长.

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