2024年浙教版数学八（下）微素养核心突破19 正方形的十字架模型

试卷更新日期：2024-06-01 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF ， AE、BF相交于点O ，下列结论：

（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） $S_{Δ A O B} = S_{四边形 D E O F}$ 中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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2. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　）

A、BE＝AF B、∠DAF＝∠BEC C、∠AFB+∠BEC＝90° D、AG⊥BE

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3. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S_△AOB=S_四边形_DEOF中，正确结论的个数为（　）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上（不与端点重合），且BF＝CE，BE与AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）

A、BE＝AF B、∠DAF＝∠BEC C、AG＝EG D、AG⊥EG

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5. 如图，点E、F分别是正方形 $A B C D$ 的边 $C D 、 B C$ 上的点，且 $C E = B F ， A F 、 B E$ 相交于点G，下列结论错误的是（）

A、 $A F = B E$ B、 $A F ⊥ B E$ C、 $A G = G E$ D、 $S_{△ A B G} = S_{四边形 C E G F}$

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6. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H.若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为（）

A、3 $\sqrt{2}$ ﹣4 B、3﹣2 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2} - 5}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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7. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且AE=DF，AF，BE交于点G。若 $\frac{S_{△ A E G}}{S_{四边形 D E G F}} = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{S_{△ A E G}}{S_{△ A B E}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $C E ⊥ M N ， ∠ M C E = 40 °$ ，则 $∠ A N M =$ （）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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9. 如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF，你认为（）

A、仅小明对 B、仅小亮对 C、两人都对 D、两人都不对

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二、填空题

10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $M ， N ， E$ 分别是边 $A D ， B C ， C D$ 上的点，连接 $B E ， M N$ ，若 $B E = M N ， ∠ C B E = 3 0^{∘}$ ，则 $∠ D M N$ 的度数为．

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三、解答题

11. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连结DE，过点A作AG⊥ED交DE 于点F，交CD于点G.

(1)、求证：△ADG≌△DCE.

(2)、连结 BF.求证：AB=BF.

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12. 如图，正方形ABCD中，点E ， F ， H分别是AB ， BC ， CD的中点，CE ， DF交于点G ，连接HG ．

(1)、求证：△BCE≌△CDF；

(2)、若BE＝4，求GH的值．

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13. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且 $D E = C F, A F$ 与BE相交于点 $G$ ．

(1)、求证： $B E = A F$ ．

(2)、若 $A B = 4, D E = 1$ ，求AG的长．

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14.

(1)、如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM=CN，连结AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．

(2)、如图②，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动，连结AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．

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15. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连结AE交BD于点M，过点B作BF⊥AE于点P，交AC于点G，交CD于点F.

(1)、求证：△ABE≌△BCF.

(2)、求证：OM=OG.

(3)、若AE平分∠BAC，求证：BM²=2OM².

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16. 如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，点D重合)，连结BE，作 AG⊥BE于点F，交边 CD于点G，连结 CF.

(1)、求证：BE=AG.

(2)、已知E 是边AD 的中点，AD=10.
①分别求AF，BF的长.
②求证：CB=CF.

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四、综合题

17. 如图 1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $A D$ 边上一点，连接 $B E$ ．点 $M$ 在 $C D$ 边上运动．

(1)、当点 $M$ 和点 $C$ 重合时（如图2），过点 $C$ 做 $B E$ 的垂线，垂足为点 $P$ ，交直线 $A B$ 于点 $N$ ．请直接写出 $M N$ 与 $B E$ 的数量关系；

(2)、当点 $M$ 在 $C D$ 边上运动时，过点 $M$ 做 $B E$ 的垂线，垂足为点 $P$ ，交直线 $A B$ 于点 $N$ （如图 3 ），（1）中的结论依旧成立吗？请证明；

(3)、如图 4 ，当点 $M$ 在 $C D$ 边上运动时， $N$ 为直线 $A B$ 上一点，若 $M N = B E$ ，请问是否始终能证明 $M N ⊥ B E$ ？请你说明理由．

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18. 问题背景：如图，在正方形 $A B C D$ 中，边长为4．点M，N是边 $A B$ ， $B C$ 上两点，且 $B M = C N = 1$ ，连接 $C M$ ， $D N$ ， $C M$ 与 $D N$ 相交于点O．

(1)、探索发现：探索线段 $D N$ 与 $C M$ 的关系，并说明理由；

(2)、探索发现：若点E，F分别是 $D N$ 与 $C M$ 的中点，计算 $E F$ 的长；

(3)、拓展提高：延长 $C M$ 至P，连接 $B P$ ，若 $∠ B P C = 45 °$ ，请直接写出线段 $P M$ 的长．

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五、实践探究题

19. 如图

(1)、【问题原型】华师版教材八年级下册第 $121$ 页有这样一道题：
如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $C E ⊥ D F .$ 求证： $C E = D F$ ．
请你完成这一问题的证明过程．

(2)、【问题应用】如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $B C$ 上的点，且 $A E = B F$ ．
①如图 $2$ ，连接 $C E$ 、 $D F$ 交于点 $G$ ， $H$ 为 $G E$ 的中点，连接 $D H$ ， $F H .$ 当 $E$ 为 $A B$ 的中点时，四边形 $C D H F$ 的面积为；

②如图 $3$ ，连接 $D E$ 、 $D F$ ，当点 $E$ 在边 $A B$ 上运动时， $D E + D F$ 的最小值为．

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20. 在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $C D$ 上一点 $($ 点 $E$ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合 $)$ ，连结 $B E$ ．

(1)、【感知】如图 $①$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ B E$ 交 $B C$ 于点 $F .$ 易证 $△ A B F$ ≌ $△ B C E . ($ 不需要证明 $)$

(2)、【探究】如图 $②$ ，取 $B E$ 的中点 $M$ ，过点 $M$ 作 $F G ⊥ B E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $A D$ 于点 $G$ ．
①求证： $B E = F G$ ．

②连结 $C M$ ，若 $C M = 1$ ，则 $F G$ 的长为 ▲ ．

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21. 材料：“八年级下册课本第187页例2：四边形 $A B C D$ 是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分．你有哪些不同的方案？画出图形，并说明理由．”
小亮在学习了上述解决方案后，发现三种分割方案的图形都是中心对称图形．这对于他创作数学社团图标注入了灵感，经过思考，小亮设计了一个中心对称图形的社团图标，如图所示．已知O为正方形 $A B C D$ 的对称中心， $E F$ 为 $⊙ O$ 的直径，连接 $B E$ ， $D F$ ．

(1)、请你说明此图标是中心对称图形；

(2)、若 $D F ⊥ E F$ ，则 $A D$ ， $D F$ ， $E F$ 三者满足 $D F^{2} ＋ \frac{1}{4} E F^{2} = \frac{1}{2} A D^{2}$ ．请证明．

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